重难点05 阴影部分图形面积问题-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

重难点05 阴影部分图形面积问题 （1考点+5种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 考点一 阴影部分图形面积求解 题型01 直接公式法 1．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为32，则△BEF的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，连接BE，CE．若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2.4 3．在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，且OB＝2OA，以点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AC相交于点E，若CE＝1，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD且与AD交于点E，连接BC．若AB＝8，∠ABC＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABC＝5∠BAD，以点B为圆心的与AD、CD分别相切，则图中阴影部分（即扇形EBF）的面积是　 　 .（结果保留π） 6．如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 题型02 和差法 1．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示两个班级的基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．16 B．15 C．14 D．12 2．如图，在矩形ABCD中，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E．以E为圆心，AE长为半径画弧，与BC相切于点F．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，且OB＝2OA，以点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AC相交于点E，若CE＝1，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排摆放（即B、C、E三点共线），连接BD，BF．已知正方形ABCD的面积为4，正方形CEFG的面积为2，则图中阴影部分面积为 ． 5．如图，E，F是平行四边形ABCD的边AD上的两点，连接CE，BF交于点O，△EOF的面积为4，△BOC的面积为9，四边形ABOE的面积为8，则图中阴影部分的面积为　 ． 6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．以点A为圆心，AB的长为半径作；再以BC为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为 　　 （用含π的代数式表示）． 7．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长． 8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sin∠CFB，AB＝8，求图中阴影部分的面积． 9．如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 16．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 题型03 割补法 1．如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 2．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型04 旋转法 1．如图，在中，，  点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（    ） A． B．4 C． D． 题型05 容斥原理 1．如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，图中阴影部分的面积等于 ． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$重难点05 阴影部分图形面积问题 （1考点+5种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 考点一 阴影部分图形面积求解 题型01 直接公式法 1．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为32，则△BEF的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据三角形中线平分三角形面积先求出S△ABD＝S△ACD＝16，进而求出S△ABE＝S△BDE＝8，S△ACE＝S△DCE＝8，则S△EBC＝S△BDE+S△CDE＝16，同理即可得到． 【解答】解：∵D是BC的中点， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴S△EBC＝S△BDE+S△CDE＝16， ∵F是CE的中点， ∴， 故选：D． 2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，连接BE，CE．若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2.4 【分析】根据AD是△ABC的中线得S△ABD＝S△ACD，同理可得S△BDE＝S△CDE，然后根据，据此即可解答． 【解答】解：由条件可知S△ABD＝S△ACD，S△BDE＝S△CDE， ∴． 故选：C． 3．在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，且OB＝2OA，以点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AC相交于点E，若CE＝1，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】设AB交⊙O于点F，连接OD、OE、DE，由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODB＝∠ODC＝90°，因为OB＝2OA＝2OD，所以cos∠BOD，则∠BOD＝60°，由AC∥OD，得∠A＝∠BOD＝60°，则△AOE是等边三角形，可证明△DOE是等边三角形，求得∠CDE＝30°，则OD＝DE＝2CE＝2，所以OB＝2OD＝4，则BD＝2，由S阴影＝S△BOD﹣S扇形FOD求得S阴影＝2π，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AB交⊙O于点F，连接OD、OE、DE，则OA＝OE＝OD， ∵以点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D， ∴BC⊥OD， ∴∠ODB＝∠ODC＝90°， ∵OB＝2OA，且OA＝OD， ∴OB＝2OD， ∵cos∠BOD， ∴∠BOD＝60°， ∵∠C＝∠ODB＝90°， ∴AC∥OD， ∴∠A＝∠BOD＝60°， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝60°， ∴△DOE是等边三角形， ∴∠ODE＝60°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝30°， ∵CE＝1， ∴OD＝DE＝2CE＝2， ∴OB＝2OD＝4， ∴BD2， ∴S阴影＝S△BOD﹣S扇形FOD2×22π， 故选：B． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD且与AD交于点E，连接BC．若AB＝8，∠ABC＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，因为OC∥BD，得∠AEO＝∠ADB＝90°，AE＝DE，运用圆周角定理得∠AOD＝120°，EO＝2，则，，，即可算出阴影部分的面积． 【解答】解：连接OD， 由条件可知∠ADB＝90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，AE＝DE， 则， ∴∠AOC＝∠DOC， ∵， ∴∠AOC＝2∠ABC＝2×30°＝60°， ∴∠BAD＝30°，∠AOD＝2∠AOC＝120°， ∴， 则， ∴， ， 则， 故选：D． 5．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABC＝5∠BAD，以点B为圆心的与AD、CD分别相切，则图中阴影部分（即扇形EBF）的面积是　 　 .（结果保留π） 【分析】设以点B为圆心的与AD相切于点H，连接BH，则∠AHB＝90°，由菱形形ABCD的周长为24，求得AB＝6，由∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝5∠BAD，得5∠BAD+∠BAD＝180°，求得∠BAD＝30°，则∠EBF＝150°，BHAB＝3，根据扇形的面积公式求得S阴影，于是得到问题的答案． 【解答】解：设以点B为圆心的与AD相切于点H，连接BH，则AD⊥BH， ∴∠AHB＝90°， ∵菱形形ABCD的周长为24， ∴4AB＝24， ∴AB＝6， ∵BC∥AD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝5∠BAD， ∴5∠BAD+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝30°， ∴∠EBF＝180°﹣∠BAD＝150°，BHAB＝3， ∴S阴影， 故答案为：． 6．如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 由正六边形的边长为2，可得，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ， ， ， 过作于， ， 在中，， ， 同理可证，， ， ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 题型02 和差法 1．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示两个班级的基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．16 B．15 C．14 D．12 【分析】根据题意，，求得S1﹣S2＝（m﹣n）（m+n），再根据m+n＝8，mn＝15，利用完全平方公式求出m﹣n的值，最后整体代入计算即可． 【解答】解：根据图形可知，，， ∴， 又∵m+n＝8，mn＝15， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ＝82﹣4×15 ＝64﹣60 ＝4， ∴m﹣n＝±2， ∵m＞n， ∴m﹣n＝2， ∴S1﹣S2＝（m﹣n）（m+n）＝2×8＝16． 故选：A． 2．如图，在矩形ABCD中，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E．以E为圆心，AE长为半径画弧，与BC相切于点F．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接EF、BE，根据勾股定理求出BE，再根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接EF、BE， ∵以E为圆心，AE长为半径画弧，与BC相切于点F， ∴EF⊥BF，EF＝BF， ∴∠EBF＝45°， ∵∠A＝∠ABF＝90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝1， ∴BE， ∴S阴影部分＝S矩形ABCD﹣S扇形AEF﹣（S扇形EBC﹣S△EBF） 11×1 ， 故选：C． 3．在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，且OB＝2OA，以点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AC相交于点E，若CE＝1，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】设AB交⊙O于点F，连接OD、OE、DE，由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODB＝∠ODC＝90°，因为OB＝2OA＝2OD，所以cos∠BOD，则∠BOD＝60°，由AC∥OD，得∠A＝∠BOD＝60°，则△AOE是等边三角形，可证明△DOE是等边三角形，求得∠CDE＝30°，则OD＝DE＝2CE＝2，所以OB＝2OD＝4，则BD＝2，由S阴影＝S△BOD﹣S扇形FOD求得S阴影＝2π，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AB交⊙O于点F，连接OD、OE、DE，则OA＝OE＝OD， ∵以点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D， ∴BC⊥OD， ∴∠ODB＝∠ODC＝90°， ∵OB＝2OA，且OA＝OD， ∴OB＝2OD， ∵cos∠BOD， ∴∠BOD＝60°， ∵∠C＝∠ODB＝90°， ∴AC∥OD， ∴∠A＝∠BOD＝60°， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝60°， ∴△DOE是等边三角形， ∴∠ODE＝60°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝30°， ∵CE＝1， ∴OD＝DE＝2CE＝2， ∴OB＝2OD＝4， ∴BD2， ∴S阴影＝S△BOD﹣S扇形FOD2×22π， 故选：B． 4．如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排摆放（即B、C、E三点共线），连接BD，BF．已知正方形ABCD的面积为4，正方形CEFG的面积为2，则图中阴影部分面积为 ． 【分析】根据正方形性质得AB＝BC＝AD＝2，CE＝EF，∠A＝∠E＝90°，则BE，进而得S△ABD＝2，S△BEC，再根据S阴影＝S正方形ABCD+S△CEFG﹣（S△ABD+S△BEC）即可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为4，正方形CEFG的面积为2， ∴AB＝BC＝AD＝2，CE＝EF，∠A＝∠E＝90°， ∵点B、C、E三点共线， ∴BE＝BC+CE， ∴S△ABDAD•AB2×2＝2，S△BECBE•EF， ∵S阴影＝S正方形ABCD+S△CEFG﹣（S△ABD+S△BEC）， ∴S阴影． 故答案为：． 5．如图，E，F是平行四边形ABCD的边AD上的两点，连接CE，BF交于点O，△EOF的面积为4，△BOC的面积为9，四边形ABOE的面积为8，则图中阴影部分的面积为　 ． 【分析】连接BE．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出EO：CO＝EF：BC＝2：3．得出三角形BOE的面积，推出▱ABCD 的面积．从而推出结果． 【解答】解：如图，连接BE． ∵EF∥BC， ∴△EOF∽△COB． ∵△EOF的面积为4，△BOC的面积为9， ∴EO：CO＝EF：BC＝2：3． ∴， ∴△BCE的面积为6+9＝15． ∴▱ABCD 的面积为30． 又∵△EOF的面积为4，△BOC的面积为9，四边形ABOE的面积为8， ∴阴影部分的面积＝30﹣4﹣9﹣8＝9． 故答案为：9． 6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．以点A为圆心，AB的长为半径作；再以BC为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为 　　 （用含π的代数式表示）． 【分析】作AD⊥BC于点D，设AB＝x，由垂径定理、三线合一定理及解直角三角形的相关计算表示出，，再分别列代数式表示S阴影部分和S图形，飞镖落在阴影部分的概率即为． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴BD＝CD， ∵AB＝AC， ∴， 设AB＝x，则，， ∴S阴影部分＝S半圆﹣（S扇形ABC﹣S△ABC） ， ， S图形＝S阴影部分+S扇形ABC， ， ， ∴飞镖落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 7．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长． 【分析】（1）计算得出△ABC的面积和扇形的面积，作差得到阴影部分的面积； （2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，通过勾股定理得出BP的长． 【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵⊙A与BC相切于点D， ∴AD， S＝S△ABC﹣S扇形； （2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大， ∵AP，AB＝3， ∴BP． 8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sin∠CFB，AB＝8，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45，°得到CD＝ODOC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB， ∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BE， ∴∠OCF＝∠E＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵sin∠CFB， ∴∠CFB＝45°， ∵∠COF＝90°， ∴∠COF＝∠CFO＝45， ∴CF＝OC4， ∴∠CDO＝90°， ∴∠OCD＝∠COD＝45°， ∴CD＝ODOC＝2， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积222π﹣4． 9．如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质以及弓形面积的计算，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明即可； （2）过点O作，垂足为点E，根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为点E ∴，， ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 答：图中阴影部分的面积为 16．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．    在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．    当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． （3）解：如图3，连接，设，则，    ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 题型03 割补法 1．如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积公式，连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，， ，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 2．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型04 旋转法 1．如图，在中，，  点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，设与交于点D，求出，，，即可求出答案． 【详解】解：设与交于点D， ∵，点 O 为的中点， ∴， 将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C   的对应点分别为．当落在边上时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 即两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为， 题型05 容斥原理 1．如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．连接，首先证明是等边三角形，得出，，再证明，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 3．如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据旋转、圆的对称性、等腰三角形性质，得，因此；根据题意，，根据扇形面积公式，计算出；求出后，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【详解】连接、 ∵半圆绕点顺时针旋转得到半圆， ∴，． ∵是半圆的直径， ∴． ∴． ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案是． 【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、旋转、扇形面积的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等腰三角形、扇形面积的性质，从而完成求解． $$