专题02 平行线的判定与性质【六大题型】（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 平行线的判定与性质【六大题型】 【题型1 平行线的判定】 1．（2024•东城区校级期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件是（　　） A．∠D+∠BCD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠B＝∠D D．∠B＝∠5 解：∵∠D+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， 故A不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， 故B不符合题意； 由∠B＝∠D，不能判定AB∥CD， 故C不符合题意； ∵∠B＝∠5， ∴AB∥CD， 故D符合题意； 答案：D． 2．（2024•房山区期末）如图，直线AB，CD被EF所截，下列条件不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠2＝180° 解：A、∵∠1＝∠4， ∴AB∥CD，故本选项不符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD，故本选项不符合题意； C、∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠3＝4， ∴AB∥CD，故本选项不符合题意； D、由∠1+∠2＝180°，不能推出AB∥CD，故本选项符合题意 答案：D． 3．（2024•东城区期末）如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠E C．∠2＝∠B D．∠BCD+∠D＝180° 解：由∠1＝∠3，不能判定AD∥BC，故A符合题意； ∵∠3＝∠E， ∴AD∥BC， 故B不符合题意； ∵∠2＝∠B， ∴AD∥BC， 故C不符合题意； ∵∠BCD+∠D＝180°， ∴AD∥BC， 故D不符合题意； 答案：A． 4．（2024•大兴区期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，连接DE，DF，CD，下列条件中，不能推理出AC∥DE的是（　　） A．∠EDC＝∠DCF B．∠DEB＝∠FCE C．∠DEC+∠FCE＝180° D．∠FDE+∠DEC＝180° 解：由∠EDC＝∠DCF，能判定DE∥AC，故A不符合题意； 由∠DEB＝∠FCE，能判定DE∥AC，故B不符合题意； 由DEC+∠FCE＝180°，能判定DE∥AC，故C符合题意； 由∠FDE+∠DEC＝180°，不能判定DE∥AC，故D符合题意； 答案：D． 5．（2024•房山区校级期末）如图，请你添加一个条件，使AB∥CD，这个条件是　∠CDA＝∠DAB　 ，你的依据是　内错角相等，两直线平行　 ． 解：若要证AB∥CD，只需找出∠CDA＝∠DAB， 所用的理论依据为：内错角相等，两直线平行． 答案：∠CDA＝∠DAB；内错角相等，两直线平行． 6．（2024•延庆区期末）已知：如图，点D，点E分别在三角形ABC的边AB，AC上，连接DE，∠CBD+∠BDE＝180°，直线MN经过点A，且∠AED＝∠EAN．求证：MN∥BC． 证明：∵∠CBD+∠BDE＝180°， ∴DE∥BC， ∵∠AED＝∠EAN， ∴MN∥DE， ∴MN∥BC． 【题型2 利用平行线的性质求角度】 7．（2024•海淀区期末）如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 解：∵m∥n， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 而∠1＝105°， ∴∠2＝180°﹣105°＝75°． 答案：D． 8．（2023•平谷区期末）如图，点O在直线AB上，AB∥CD，EO⊥OF，若∠BOF＝55°，则∠DEO的度数是（　　） A．145° B．45° C．35° D．135° 解：∵EO⊥OF， ∴∠EOF＝90°， 又∠BOF＝55°， ∴∠EOB＝∠EOF﹣∠BOF＝90°﹣55°＝35°， ∵AB∥CD， ∴∠DEO+∠EOB＝180°， ∴∠DEO＝180°﹣∠EOB＝145°． 答案：A． 9．（2024•昌平区期末）如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（　　） A．30° B．120° C．130° D．150° 解：∵AB∥CD，∠ABC＝150°， ∴∠BCD＝∠ABC＝150°． 答案：D． 10．（2024•石景山区期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，PM⊥c于点P，若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　） A．38° B．48° C．52° D．64° 解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝52°， ∵PM⊥c于点P， ∴∠MPQ＝90°， ∴∠2＝90°﹣52°＝38°． 答案：A． 11．（2024•西城区期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，AD⊥AE，且AD∥BF，∠CBF＝α，则∠CAE＝　90°+α　 （用含α的代数式表示）． 解：∵∠CBF＝α， ∴∠ABF＝180°﹣∠CBF＝180°﹣α， ∵AD∥BF， ∴∠BAD＝∠ABF＝180°﹣α， ∵AD⊥AE， ∴∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝360°﹣∠BAD﹣∠DAE＝360°﹣（180°﹣α）﹣90°＝90°+α， 答案：90°+α． 12．（2024•东城区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为 120 °． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得AB∥CD，得到∠DOB＝∠ODC＝30°，由OE∥DM，可得∠ODB＝∠EOF＝90°，再根据三角形的外角性质即可求解． 解：根据题意可得AB∥CD， ∴∠DOB＝∠ODC＝30°， ∵OE∥DM， ∴∠ODB＝∠EOF＝90°， ∴∠ANM＝∠DOB+∠ODB＝30°+90°＝120°， 答案：120． 13．（2023•朝阳区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠DFE＝135°，求∠ABE的度数． 解：∵∠DFE＝135°， ∴∠CFE＝180°﹣∠DFE＝180°﹣135°＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CFE＝45°， ∴∠ABE的度数为45°． 14．（2024•门头沟区期末）如图，AB∥CD，直线l与AB，CD分别交于点E，F，FM平分∠EFD交AB于M，已知∠1＝120°，求∠2的度数． 解：∵∠1＝120°，∠1+∠AEF＝180°， ∴∠AEF＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝60°， ∵FM平分∠EFD交AB于M， ∴∠MFD∠EFD＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠MFD＝30°． 【题型3 利用平行线的性质解决三角尺问题】 15．（2024•朝阳区期末）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（　　） A．45° B．40° C．25° D．20° 解：如图， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵CM∥BN， ∴∠MCB＝∠α＝20°， ∴∠β＝∠ACB﹣∠MCB＝25°， 答案：C． 16．（2023•丰台区期末）如图所示，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝145°，则∠2的大小是（　　） A．60° B．55° C．45° D．35° 解：如图， ∠3＝360°﹣∠1﹣90°＝360°﹣145°﹣90°＝125°， ∵直尺的对边互相平行， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣125°＝55°． 答案：B． 17．（2023•门头沟区期末）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°． 答案：D． 18．（2024•东城区期末）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠2的度数为 　70　 °． 解：如图， 由题意得：∠ABC＝90°，∠BCD＝45°， ∵∠1＝25°， ∴∠CBE＝∠ABC+∠1＝115°， ∵BE∥CF， ∴∠BCF＝∠CBE＝115°， ∴∠2＝∠BCF﹣∠BCD＝70°． 答案：70． 19．（2024•通州区期末）如图，直尺和含30°角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果∠1＝140°，则∠2的度数为 　70　 °． 解：∵∠1＝140°， ∴∠CDA＝180°﹣140°＝40°， ∵CD∥AB， ∴∠BAD＝∠CDA＝40°，∠2＝∠BAC， ∵∠CAD＝30°， ∴∠BAC＝30°+40°＝70°， ∴∠2＝70°． 答案：70． 20．（2024•东城区校级期末）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是 　25°　 ． 解：∵直尺的对边平行，∠1＝20°， ∴∠3＝∠1＝20°， ∴∠2＝45°﹣∠3＝45°﹣20°＝25°． 答案：25°． 【题型4 利用平行线的性质解决折叠问题】 21．（2024•西城区校级期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕．若∠DBA＝70°，则∠ABC等于（　　） A．45° B．55° C．70° D．110° 解：根据题意，得：2∠ABC+∠DBA＝180°， 则∠ABC＝（180°﹣70°）÷2＝55°． 答案：B． 22．（2024•东城区期末）如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEB′＝80°， ∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°， 由折叠得： ∠2＝∠FEB′∠BEB′＝50°， 答案：A． 23．（2024•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝　56　 °． 解：∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°， ∴∠EFC＝118°， 由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°， ∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°， 答案：56． 24．（2024•海淀区校级期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1＝m°，则用关于m的代数式表示∠2＝　90°　 ． 解： ∵AB∥CD， ∴∠5＝∠1＝m°，∠3＝∠2， ∵将一条上下两边互相平行的纸带折叠 ∴∠3＝∠4（180°﹣∠5）＝90°m°， ∴∠2＝∠3＝90°m°＝90°． 答案：90°． 25．（2024•海淀区校级期末）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝　58°　 ． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∵∠BAD＝90°． ∵∠ADB＝26°， ∴∠ABD＝90°﹣26°＝64°． ∵AE∥BD， ∴∠BAE＝180°﹣64°＝116°， ∴∠BAF∠BAE＝58°． 答案：58°． 26．（2023•西城区期末）如图，四边形纸片ABCD，AD∥BC，折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点D1处，点C落在点C1处，折痕为EF．若∠EFC＝102°，则∠AED1＝　24　 °． 解：∵AD∥BC， ∴∠EFC+∠DEF＝180°， ∵∠EFC＝102°， ∴∠DEF＝78°， 由折叠性质可得∠D1EF＝∠DEF＝78°， ∴∠DED1＝78°+78°＝156°， ∴∠AED1＝180°﹣156°＝24°， 答案：24． 【题型5 利用平行线的性质进行计算与证明】 27．（2023•海淀区期末）如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数． （1）证明：∵AC∥DE， ∴∠D+∠ACD＝180°， 又∵∠D+∠BAC＝180°， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴AB∥CD． （2）解：连接CE， ∵AC∥DE，∠CED＝35°， ∴∠ACE＝∠CED＝35°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠ACE＝70°， 由（1）知：AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝70°， 又∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°． 28．（2024•大兴区期末）如图，点E，G在线段AB上，点F在线段CD上，EF∥DG，∠1＝∠2． （1）判断AB与CD的位置关系，并证明； （2）若∠A＝80°，BC平分∠ACD，∠1与∠BCF互余，求∠2的度数． 解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵EF∥DG， ∴∠2＝∠D， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠D， ∴AB∥CD； （2）∵AB∥CD， ∴∠A+∠ACD＝180°， ∵∠A＝80°， ∴∠ACD＝100°， ∵BC平分∠ACD， ∴∠BCF∠ACD＝50°， ∵∠1与∠BCF互余， ∴∠1+∠BCF＝90°， ∴∠1＝40°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝40°． 29．（2023•通州区期末）如图，AE∥CD，∠DAE＝∠C． （1）求证：AD∥BC； （2）如果∠CEF＝∠B，∠BAE＝50°，求∠EFD的度数． （1）证明：∵AE∥CD， ∴∠AEB＝∠C， ∵∠DAE＝∠C， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴AD∥BC； （2）解：∵∠CEF＝∠B， ∴AB∥FE， ∴∠BAE＝∠AEF＝50°， ∵AE∥DC， ∴∠EFD＝180°﹣∠AEF＝130°， ∴∠EFD的度数为130°． 30．（2024•石景山区期末）已知：直线AB∥CD，O是AB，CD间的一点，∠EOF与直线AB，CD分别交于点E，F． （1）如图，∠EOF＝90°，过O点作射线OG，∠GOF与∠AEO互余．求证：OG∥CD； （2）若∠EOF＝α（0°＜α＜180°），∠AEO﹣∠CFO＝β（β＞0°），请用含α，β的式子表示∠AEO． （1）证明：∵∠GOF与∠AEO互余， ∴∠GOF+∠AEO＝90°， ∵∠EOF＝∠EOG+∠GOF＝90°， ∴∠AEO＝∠EOG， ∴AB∥OG， ∵AB∥CD， ∴OG∥CD； （2）解：如图1，过O作OQ∥AB，则OQ∥AB∥CD， ∴∠AEO＝∠EOQ，∠CFO＝∠FOQ， ∴∠EOF＝∠EOQ+∠FOQ＝∠AEO+∠CFO， ∵∠AEO﹣∠CFO＝β， ∴∠COF＝∠AEO﹣β，又∠EOF＝α， ∴∠AEO+∠AEO﹣β＝α， ∴； 如图2，过O作OQ∥AB，则OQ∥AB∥CD， ∴∠AEO+∠EOQ＝180°，∠CFO+∠FOQ＝180°， ∴∠EOF＝∠EOQ+∠FOQ＝180°﹣∠AEO+180°﹣∠CFO＝360°﹣（∠AEO+∠CFO）， ∴∠EOF+∠AEO+∠CFO＝360°， ∵∠AEO﹣∠CFO＝β， ∴∠COF＝∠AEO﹣β，又∠EOF＝α， ∴α+∠AEO﹣β+∠AEO＝360°， ∴； 综上， 或 ． 【题型6 利用平行线的性质探究角度之间的关系】 31．（2024•东城区校级期末）已知直线EF∥MN，点A，B分别为EF，MN上的点，C为平面内一点，AC⊥BC，BD平分∠CBN交EF于点D． （1）如图1，若∠ADB＝70°，求∠EAC的度数； （2）如图2，直接写出∠EAC与∠ADB的数量关系． 解：（1）过点C作CH∥EF， ∴∠EAC＝∠ACH， ∵EF∥MN，∠ADB＝70°， ∴∠ADB＝∠DBN＝70°， ∵BD平分∠CBN， ∴∠CBN＝2∠DBN＝140°， ∴∠MBC＝40°， ∵EF∥MN， ∴CH∥MN， ∴∠MBC＝∠BCH＝40°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACH＝∠EAC＝50°； （2）∠EAC+90°＝2∠ADB或∠EAC﹣90°＝2∠ADB． 如图1： ∵CH∥EF， ∴∠EAC＝∠ACH， ∵EF∥MN， ∴∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠CBN， ∴∠CBN＝2∠DBN＝2∠ADB， ∴∠MBC＝180°﹣2∠ADB， ∵EF∥MN， ∴CH∥MN， ∴∠MBC＝∠BCH＝180°﹣2∠ADB， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACH+∠BCH＝90°， ∴∠EAC+∠BCH＝90°， ∴∠EAC+90°＝2∠ADB； 如图2： ∵CH∥EF， ∴∠EAC+∠ACH＝180°①， ∵EF∥MN， ∴∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠CBN， ∴∠CBN＝2∠DBN＝2∠ADB， ∴∠MBC＝180°﹣2∠ADB， ∵EF∥MN， ∴CH∥MN， ∴∠MBC+∠BCH＝180°， ∴180°﹣2∠ADB+∠BCH＝180°， ∴∠BCH﹣2∠ADB＝0②， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACH+∠BCH＝90°， ∴∠EAC﹣90°＝2∠ADB． 综上所述，∠EAC与∠ADB的数量关系为∠EAC+90°＝2∠ADB或∠EAC﹣90°＝2∠ADB． 32．（2024•西城区期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠AEF的平分线交CD于点P． （1）求证：∠FEP＝∠FPE； （2）点G是射线PF上一个动点（点G不与点P，F重合），∠FEG的平分线交直线CD于点H，过点H作HN∥PE交直线AB于点N， ①当点G在线段PF上时，依题意补全图形，用等式表示∠EHN和∠EGF之间的数量关系，并证明； ②当点G在线段PF的延长线上时，直接写出用等式表示的∠EHN和∠EGF之间的数量关系． 解：（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠FPE＝∠AEP， 又∵EP平分∠AEF， ∴∠AEP＝∠FEP， ∴∠FEP＝∠FPE． （2）①∠EGF＝2∠EHN．图形如下： 证明：∵AB∥CD， ∴∠EHN＝∠CFH． 又∵∠CFH＝∠PEG+∠GEH， ∴∠EHN＝∠PEG+∠GEH， ∵HN∥PE， ∴∠EGF＝∠AEG． ∵EP平分∠AEF， ∴∠AEP＝∠PEF， ∴∠AEP＝∠PEG+2∠GEH， ∴∠EGF＝∠PEG+2∠GEH+∠PEG ＝2∠GEH+2∠PEG， 即：∠EGF＝2∠EHN． ②∠EHN＝90°∠EGF． 证明：∵EH平分∠GEF，EP平分∠AEF， ∴∠FEH＝∠GEH，∠AEP＝∠FEP， ∵AB∥CD，HN∥PE， ∴∠EHN＝∠PFH，∠∠EGF＝∠GEN， ∴∠PEG＝∠FEP+∠FEH， ∴∠AEG＝2（∠FEP+∠FEH）＝2∠PEH＝2∠EHN， 又∵∠AEG+∠GEN＝180°， ∴2∠EHN+∠EGF＝180°， 即：∠EHN＝90°∠EGF． 33．（2023•东城区期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α． （1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝　60　 °； （2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系； ②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）． 解：（1）∵AB∥CD， ∴∠KFB＝∠FED＝α， ∵∠AFK+∠KFB＝180°， ∴∠AFK＝180°﹣∠KFB＝180°﹣α， ∵FG平分∠AFK， ∴ ∵α＝60°， ∴． （2）①∠BMP与∠PNE的数量关系是：∠BMP﹣∠PNE＝90°．理由如下： 延长MP交CD于点H， ∵AB∥CD， ∴∠BMP+∠PHN＝180°， ∵PN⊥PM， ∴∠MPN＝90°， ∴∠PHN+∠PNE＝∠MPN＝90°， ∴∠PHN＝90°﹣∠PNE， ∴∠BMP+90°﹣∠PNE＝180°， ∴∠BMP﹣∠PNE＝90°． ②∠PNE的度数为：或． 理由如下： ∵∠MPN的一边恰好与射线FG平行， ∴有以下两种情况， （ⅰ）当PN与射线FG平行时，设∠PNE＝θ， 延长NP∠AB于点H， ∵AB∥CD， ∴∠PHF＝∠PNE＝θ，∠PFH＝∠FED＝α， ∵PN∥FG， ∴∠HPF＝∠GFK， 由（1）可知：， ∴， ∵∠PHF+∠PFH+∠HPF＝180°， ∴， ∴， ∴， （ⅱ）当PM与射线FG平行时， ∵PM∥FG， ∴， ∵PN⊥PM， ∴∠MPN＝90°， ∴∠MPF+∠NPE＝90°， ∴， ∵∠FED＝∠NPE+∠PNE， ∴∠PNE＝∠FED﹣∠NPE＝α． 34．（2024•丰台区期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段AB，CD所在直线之间的一点，且AB∥CD，连接PA，PC． 小马同学通过观察，度量，提出猜想： ∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 接着他对猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD． 根据平行线的性质，可得∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°． 从而得证∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且AB∥CD，连接PA，PC．用等式表示∠BAP，∠APC，∠PCD之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，∠BAP和∠PCD的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示∠AMC与∠APC之间的数量关系． 解：（1）如图2，过点P作PN∥AB， ∴∠A＝∠APN， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠C＝∠1， ∴∠APC＝∠APN﹣∠1， ∴∠APC＝∠A﹣∠C，即∠APC＝∠BAP﹣∠PCD； （2）根据题意，补全图形如下： ∵NM平分∠BAP，FM平分∠PCD， ∴∠PAN∠BAP，∠FCE∠PCD， ∵∠PAN＝∠PEN+∠APC，∠FCE＝∠AMC+∠CEM，且∠PEN＝∠CEM， ∴∠PAN﹣∠APC＝∠FCE﹣∠AMC， ∴∠APC＝∠PAN﹣∠FCE+∠AMC， ∴∠APC∠BAP∠PCD+∠AMC（∠BAP﹣∠PCD）+∠AMC， 由（1）知∠APC＝∠BAP﹣∠PCD， ∴∠APC∠APC+∠AMC，即∠AMC∠APC（或∠APC＝2∠AMC）． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的判定与性质【六大题型】 【题型1 平行线的判定】 1．（2024•东城区校级期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件是（　　） A．∠D+∠BCD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠B＝∠D D．∠B＝∠5 2．（2024•房山区期末）如图，直线AB，CD被EF所截，下列条件不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠2＝180° 3．（2024•东城区期末）如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠E C．∠2＝∠B D．∠BCD+∠D＝180° 4．（2024•大兴区期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，连接DE，DF，CD，下列条件中，不能推理出AC∥DE的是（　　） A．∠EDC＝∠DCF B．∠DEB＝∠FCE C．∠DEC+∠FCE＝180° D．∠FDE+∠DEC＝180° 5．（2024•房山区校级期末）如图，请你添加一个条件，使AB∥CD，这个条件是　 　 ，你的依据是　 　 ． 6．（2024•延庆区期末）已知：如图，点D，点E分别在三角形ABC的边AB，AC上，连接DE，∠CBD+∠BDE＝180°，直线MN经过点A，且∠AED＝∠EAN．求证：MN∥BC． 【题型2 利用平行线的性质求角度】 7．（2024•海淀区期末）如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 8．（2023•平谷区期末）如图，点O在直线AB上，AB∥CD，EO⊥OF，若∠BOF＝55°，则∠DEO的度数是（　　） A．145° B．45° C．35° D．135° 9．（2024•昌平区期末）如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（　　） A．30° B．120° C．130° D．150° 10．（2024•石景山区期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，PM⊥c于点P，若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　） A．38° B．48° C．52° D．64° 11．（2024•西城区期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，AD⊥AE，且AD∥BF，∠CBF＝α，则∠CAE＝　 　 （用含α的代数式表示）． 12．（2024•东城区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为 　 　 °． 13．（2023•朝阳区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠DFE＝135°，求∠ABE的度数． 14．（2024•门头沟区期末）如图，AB∥CD，直线l与AB，CD分别交于点E，F，FM平分∠EFD交AB于M，已知∠1＝120°，求∠2的度数． 【题型3 利用平行线的性质解决三角尺问题】 15．（2024•朝阳区期末）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（　　） A．45° B．40° C．25° D．20° 16．（2023•丰台区期末）如图所示，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝145°，则∠2的大小是（　　） A．60° B．55° C．45° D．35° 17．（2023•门头沟区期末）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 18．（2024•东城区期末）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　 °． 19．（2024•通州区期末）如图，直尺和含30°角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果∠1＝140°，则∠2的度数为 　 　 °． 20．（2024•东城区校级期末）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是 　 　 ． 【题型4 利用平行线的性质解决折叠问题】 21．（2024•西城区校级期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕．若∠DBA＝70°，则∠ABC等于（　　） A．45° B．55° C．70° D．110° 22．（2024•东城区期末）如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 23．（2024•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝　 　 °． 24．（2024•海淀区校级期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1＝m°，则用关于m的代数式表示∠2＝　 　 ． 25．（2024•海淀区校级期末）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝　 　 ． 26．（2023•西城区期末）如图，四边形纸片ABCD，AD∥BC，折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点D1处，点C落在点C1处，折痕为EF．若∠EFC＝102°，则∠AED1＝　 　 °． 【题型5 利用平行线的性质进行计算与证明】 27．（2023•海淀区期末）如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数． 28．（2024•大兴区期末）如图，点E，G在线段AB上，点F在线段CD上，EF∥DG，∠1＝∠2． （1）判断AB与CD的位置关系，并证明； （2）若∠A＝80°，BC平分∠ACD，∠1与∠BCF互余，求∠2的度数． 29．（2023•通州区期末）如图，AE∥CD，∠DAE＝∠C． （1）求证：AD∥BC； （2）如果∠CEF＝∠B，∠BAE＝50°，求∠EFD的度数． 30．（2024•石景山区期末）已知：直线AB∥CD，O是AB，CD间的一点，∠EOF与直线AB，CD分别交于点E，F． （1）如图，∠EOF＝90°，过O点作射线OG，∠GOF与∠AEO互余．求证：OG∥CD； （2）若∠EOF＝α（0°＜α＜180°），∠AEO﹣∠CFO＝β（β＞0°），请用含α，β的式子表示∠AEO． 【题型6 利用平行线的性质探究角度之间的关系】 31．（2024•东城区校级期末）已知直线EF∥MN，点A，B分别为EF，MN上的点，C为平面内一点，AC⊥BC，BD平分∠CBN交EF于点D． （1）如图1，若∠ADB＝70°，求∠EAC的度数； （2）如图2，直接写出∠EAC与∠ADB的数量关系． 32．（2024•西城区期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠AEF的平分线交CD于点P． （1）求证：∠FEP＝∠FPE； （2）点G是射线PF上一个动点（点G不与点P，F重合），∠FEG的平分线交直线CD于点H，过点H作HN∥PE交直线AB于点N， ①当点G在线段PF上时，依题意补全图形，用等式表示∠EHN和∠EGF之间的数量关系，并证明； ②当点G在线段PF的延长线上时，直接写出用等式表示的∠EHN和∠EGF之间的数量关系． 33．（2023•东城区期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α． （1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝　 　 °； （2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系； ②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）． 34．（2024•丰台区期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段AB，CD所在直线之间的一点，且AB∥CD，连接PA，PC． 小马同学通过观察，度量，提出猜想： ∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 接着他对猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD． 根据平行线的性质，可得∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°． 从而得证∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且AB∥CD，连接PA，PC．用等式表示∠BAP，∠APC，∠PCD之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，∠BAP和∠PCD的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示∠AMC与∠APC之间的数量关系． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$