精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024—2025学年下学期八年级数学期中试题

哈工大附中2024－2025学年度八年级（下）教学学情检测 数学 学科 检测时间：120分钟 检测满分：120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）． A. 1，，2 B. 3，4，5.5 C. 5，12，13 D. 1，，3 3. 下列说法正确的是（ ）． A. 平行四边形对边平行 B. 平行四边形邻边相等 C. 平行四边形对角线互相垂直 D. 平行四边形对角互补 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 5. 如图，在正方形的外侧，作等边△，连接，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取、的中点、，测得、两点间的距离为30，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，那么四边形EFGH是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在宽为22m、长为30m的矩形地面上修建两条宽度相同的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要560m2，则修建的路宽应为( ) A. 1m B. 1.5m C. 2 D. 2.5m 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 关于的方程有一个根是，则的值为_________． 12. 在平行四边形中，若，则_______． 13. 已知一个三角形的三边长分别为、、2，那么这个三角形的面积为______． 14. 如图，菱形的对角线，，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为______． 15. 如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形_________个． 16. 第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有_________家． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点坐标为，为边上一点，连接，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．则点的坐标为______． 18. 矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分,则该矩形的面积是__． 19. 如图，正方形的边长是，点是边上的一个点，且，是对角线上的一个动点，连接和，则的最小值是______． 20. 如图，中，，分别在边上，连接和，，，，，则__________． 三、解答题（其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 解下列方程 （1） （2） 22. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2中分别画出符合要求的图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个周长为20，面积为24的矩形； （2）在图2中画一个面积为9，有一个内角为的平行四边形． 23. 已知：点、、、在同一直线上，，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 24. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． （1）方程__________（填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值． （3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 25. 在2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场销售的某品牌滑雪服的标价为500元/套，经过两次降价后的价格为405元/套，并且两次降价的百分率相同． （1）求该品牌滑雪服每次降价的百分率； （2）考虑到滑雪服需求不断增加，该滑雪场再次购进A、B两种品牌的滑雪服共100套．已知A品牌滑雪服的进价为350元/套，B品牌滑雪服的进价为380元/套，两种品牌的滑雪服售价均为405元/套，且全部售完后总利润不低于4600元．求该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少多少套？ 26. 如图，矩形中，在边上，连接平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在线段上分别取点，连接，，若，求证：四边形为菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，求的值． 27. 如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，且，点坐标为． （1）如图1，求的长； （2）如图2，为轴负半轴上一点，连接，为线段的中点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的代数式表示；（不要求写出的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，为中点，连接、，且，点在的延长线上，连接、，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中2024－2025学年度八年级（下）教学学情检测 数学 学科 检测时间：120分钟 检测满分：120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为的2整式方程叫做一元二次方程，逐项判断即可熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 【详解】解：A. ，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，含2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D. 是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）． A. 1，，2 B. 3，4，5.5 C. 5，12，13 D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．勾股数指满足勾股定理的三个正整数，即，其中 a、b为直角边，c为斜边． 根据勾股数的定义分别对各组数据进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中存在不是整数的数，都不符合题意， C选项中都是整数且， 所以是勾股数； 故选C． 3. 下列说法正确的是（ ）． A. 平行四边形对边平行 B. 平行四边形邻边相等 C. 平行四边形对角线互相垂直 D. 平行四边形对角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形对边平行，说法正确，符合题意； B、平行四边形邻边不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分，原说法错误，不符合题意； D、平行四边形对角相等，原说法错误，不符合题意； 故选A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根， 故选：． 5. 如图，在正方形的外侧，作等边△，连接，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质等知识，由正方形性质得到，，由等边三角形性质得到，，进而得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取、的中点、，测得、两点间的距离为30，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，易得为的中位线，根据中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选D． 7. 已知，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，那么四边形EFGH是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线定义得出EF＝HG，EF∥HG，证明四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形的判定法则即可判定 【详解】∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴EF＝ AC，EF∥AC， 同理，HG＝ AC，HG∥AC， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵F，G分别是边BC，CD的中点， ∴FG∥BD， ∴∠FGH＝90°， ∴平行四边形EFGH为矩形， 故选B． 【点睛】此题考查三角形中位线的性质，矩形的判定，解题关键在于利用中位线的性质进行解答 8. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设尺，根据题意得出尺，尺，再结合勾股定理列方程，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设尺， 则尺，尺，尺． 在中，，即， 故选：B． 9. 如图，在宽为22m、长为30m的矩形地面上修建两条宽度相同的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要560m2，则修建的路宽应为( ) A. 1m B. 1.5m C. 2 D. 2.5m 【答案】C 【解析】 【分析】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝耕地面积，依此列出等量关系解方程即可． 【详解】设修建的路宽应为x米 根据等量关系列方程得：30×22﹣(22x+30x﹣x2)＝560， 解得：x1＝50(不合题意，舍去)，x2＝2． 故选：C． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，22x+30x中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去x×x面积． 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；求出，根据平行四边形的面积公式可作判断：先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点平分，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论正确，符合题意； ， ，故结论正确，符合题意； ， ， ， ， ，故结论③正确，符合题意； 在中，，由勾股定理得：， ， 在中，，由勾股定理得：， ，故结论正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是，共4个， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 关于的方程有一个根是，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把代入得，求解即可，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：． 12. 在平行四边形中，若，则_______． 【答案】50 【解析】 【分析】由平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，即可得出∠C的度数． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠A=50°， 则∠C=∠A=50°． 故答案为：50． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 13. 已知一个三角形的三边长分别为、、2，那么这个三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线，，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理．根据菱形的性质可得为的中点，由为的中点可得为的中位线，从而可得，即可得到菱形的周长． 【详解】解：菱形的对角线交于点， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， 菱形的周长为， 故答案为：16． 15. 如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形_________个． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据每一个图案比前一个多2个平行四边形可得，第n幅图中共有个平行四边形，由此可计算此题的结果． 【详解】解：第1幅图中有1个； 第2幅图中有 (个) 第3幅图中有 (个)； …… 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个平行四边形， 所以第n幅图有个平行四边形， 所以第6幅图中有平行四边形有个平行四边形． 故答案为：11． 16. 第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有_________家． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程． 【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点坐标为，为边上一点，连接，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，由四边形是矩形，则，，，，，由折叠性质可知，，然后通过勾股定理求出，设，则，最后由勾股定理即可求解．熟练掌握矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵点坐标为， ∴，， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 18. 矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分,则该矩形的面积是__． 【答案】40或24. 【解析】 【分析】根据矩形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，求出AE=AB，分为当AE=3或AE=5两种情况，求出即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AE=AB， ①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8， AB=CD=AE=3， 即矩形ABCD的面积是=8×3=24； ②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8， AB=CD=AE=5， 即矩形ABCD的面积是=8×5=40； 故答案为40或24. 【点睛】此题考查矩形的性质，解题关键在于分情况讨论. 19. 如图，正方形的边长是，点是边上的一个点，且，是对角线上的一个动点，连接和，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路线问题，正方形的性质、勾股定理，连接，由正方形性质可得点与点关于对称，，，则，由，即有，当三点共线时，最小，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴点与点关于对称，，， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，最小， 如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图，中，，分别在边上，连接和，，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，先利用平行线的性质和判定，等边对等角求得，再利用矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定得出，设，，根据勾股定理可得，代入数值求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， ∵，，，， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形和四边形均为矩形，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍），， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，等边对等角，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得 22. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2中分别画出符合要求的图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个周长为20，面积为24的矩形； （2）在图2中画一个面积为9，有一个内角为的平行四边形． 【答案】（1） 如图所示，矩形即为所作； （2） 如图，平行四边形即为所作； 【解析】 【分析】本题考查网格作图，平行四边形与矩形的性质，熟练掌握平行四边形与矩形的性质是解题的关键． （1）根据题意作长和宽分别为和的矩形即可求解； （2）作底为3，高为3，夹角为的平行四边形即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知：点、、、在同一直线上，，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），，， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 24. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． （1）方程__________（填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值． （3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【小问1详解】 解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； 【小问2详解】 解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； 【小问3详解】 解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 25. 在2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场销售的某品牌滑雪服的标价为500元/套，经过两次降价后的价格为405元/套，并且两次降价的百分率相同． （1）求该品牌滑雪服每次降价的百分率； （2）考虑到滑雪服需求不断增加，该滑雪场再次购进A、B两种品牌的滑雪服共100套．已知A品牌滑雪服的进价为350元/套，B品牌滑雪服的进价为380元/套，两种品牌的滑雪服售价均为405元/套，且全部售完后总利润不低于4600元．求该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少多少套？ 【答案】（1） （2）70套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到数量关系，正确的列出方程或不等式． （1）设该商品每次降价的百分率为，根据题意，列方程求解即可； （2）设该滑雪场所购进的A品牌滑雪服套，根据题意，列不等式求最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设：该种商品每次降价的百分率为． 依题意得： 解得：，（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． 【小问2详解】 设：该滑雪场所购进的A品牌滑雪服套． 依题意得： 解得： 答：该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少70套． 26. 如图，矩形中，在边上，连接平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在线段上分别取点，连接，，若，求证：四边形为菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，即，且， ∴四边形是平行四边形， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则，根据等角对等边判定等腰三角形得到，等了待会即可求解； （2）根据题意得到四边形是平行四边形，设，则，根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线的定义得到，根据平角，三角形外加和的性质得到，则，结合菱形的判定即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，作，交延长线于点，四边形，，是矩形，根据勾股定，全等三角形的判定和性质等知识得到，在中，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点，作，交延长线于点， ∴，，， ∴四边形，，是矩形， ∴，，， 由（1）可得，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，，即， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握矩形的性质，勾股定理的运用是关键． 27. 如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，且，点坐标为． （1）如图1，求的长； （2）如图2，为轴负半轴上一点，连接，为线段的中点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的代数式表示；（不要求写出的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，为中点，连接、，且，点在的延长线上，连接、，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理直接求解； （2）先表示出，再由三角形的中线等分面积即可建立函数关系式； （3）过点分别作轴，轴，垂足为点，连接，先证明，设，则，由，点为中点，得到，在中，由勾股定理得，解得：，则，过点作轴于点M，轴于点N，在延长线上截取，连接，可证明四边形为正方形，先证明，再证明，则，，设，则，，可得，则，那么． 【小问1详解】 解：∵，点坐标为， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴， ∵点为的中点， ∴， 即； 【小问3详解】 解：过点分别作轴，轴，垂足为点，连接， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴，而轴， ∴， ∴设， ∵点为中点，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， 过点作轴于点M，轴于点N，在延长线上截取，连接， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，点为中点， ∴平分， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与平面，函数关系式，勾股定理，正方形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，难度很大，识别基本图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $