期末押题卷（一）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

期末押题卷（浙教版）（一） 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：浙教版八年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·山东青岛·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）下列各式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 4．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于 5．（2025·广东·一模）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南岳阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是 7．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）某学习小组5名同学测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是（    ） A．小刚的成绩位于组内中上等水平 B．该小组成绩不存在中位数 C．小组的成绩稳定性增加，方差变小 D．小组平均分增加2分 8．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（2025·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A．36 B．48 C．49 D．64 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上） 11．（2025·黑龙江绥化·一模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可） 13．（2025·广东珠海·一模）若是方程的一个根，则的值为 14．（24-25八年级下·浙江·期中）在一次数学测验中，五位同学的成绩分别是90、x、80、85、85，若这五位同学成绩的众数与平均数恰好相等，则他们成绩的中位数是 ． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的图象交于点，则代数式的值为 ． 16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，，，交对角线于点，点E、F分别在线段和射线上，且，连接、，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上） 17．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）计算题 (1)； (2)． 18．（23-24八年级下·浙江·期中）解方程：(1)；(2)． 19．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：(1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的；(3)求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 20．（2025·广东清远·一模）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．；B．；C．；D．）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题(1)补全条形统计图；(2)表格中的 ， ；(3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）． (4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 21．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 22．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】（1）写出的一个有理化因式：______；（2）化去式子分母中的根号：______； （3）化去式子分子中的根号：______；（直接写结果） 【拓展应用】（4）求的最大值． 23．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 24．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________；(2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由；(3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（浙教版）（一） 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：浙教版八年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·山东青岛·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B． 2．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）下列各式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、不能与合并，故本选项不符合题意；B、不能与合并，故本选项不符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，所以能与合并，故本选项符合题意，故选：D． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【详解】解：反比例函数，∵，∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，∴只有B选项符合题意，故选：B ． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于 【答案】C 【详解】解：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于， 题设是：三角形，结论是：至少有一个内角小于或等于，∴与“至少有一个”意义相反的是“每个都”， ∴反证法的第一步是先假设：三角形中每个内角都大于，故选：C ． 5．（2025·广东·一模）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该盒子的高为，根据题意可得．故选：D． 6．（2025·湖南岳阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是 【答案】D 【详解】解：A. 菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A为假命题，故A选项错误； B. 矩形的对角线相等，但不一定垂直，故为假命题，故B选项错误； C. 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C为假命题，故C选项错误； D. 将代入中，得，故五边形的内角和是，故D为真命题，故D选项正确，故选：D． 7．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）某学习小组5名同学测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是（    ） A．小刚的成绩位于组内中上等水平 B．该小组成绩不存在中位数 C．小组的成绩稳定性增加，方差变小 D．小组平均分增加2分 【答案】C 【详解】解：从图表可以看出由图可知，除小刚外其他4名同学成绩分别为81，89，90，93，小刚加分前成绩为69分， A、小刚加分后成绩为分，将5名同学成绩从小到大排列为81，84，89，90，93，小刚成绩处于中间位置，是中等水平，并非中上等水平，所以A选项错误； B、将5名同学成绩从小到大排列为81，84，89，90，93，最中间的数是89，所以中位数是89，该小组成绩存在中位数，B选项错误； C、设原来5个数为，原来平均数， ， 小刚加分后5个数为， 此时平均数， ， 因为，方差变小，成绩稳定性增加，C选项正确； D、原来平均分，加分后平均分，平均分增加了分，并非2分，D选项错误．综上，答案是C选项．故选：C． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根，∴，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则：，， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③若是方程的一个根，则：，， 当时：；当时，不一定等于 0 ，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则：， ∴，∴，故④正确；综上，正确的是①②④；故选：C． 9．（2025·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A．36 B．48 C．49 D．64 【答案】A 【详解】解：过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示： 把代入得：，把代入得：， 解得：，∴，，∴，，∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴，， ∴，设，则，∵ ∴解得，∴， 把代入得．故选：A． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵，∴四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①正确；     ②由①可知，四边形是矩形，∴， ∵O，F分别是，的中点，点在上，∴是的中位线，∴， ∵，∴，∴点E是的中点，故②正确； ③∵是的中位线，∴，∴当的值最大时，的值最大， 当点E与点D重合时，的值最大，此时， ∴线段长度的最大值是2，故③正确；     ④当点E在边上，且时，， ∴不是等边三角形，故④错误．综上所述，正确的结论有3个，故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上） 11．（2025·黑龙江绥化·一模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意知：，解得：且 故答案为：且． 12．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可） 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌． ∵正方形的一个内角的度数为，且， ∴只用正方形可以进行平面镶嵌，故答案为：4（答案不唯一）． 13．（2025·广东珠海·一模）若是方程的一个根，则的值为 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ，，，故答案为：． 14．（24-25八年级下·浙江·期中）在一次数学测验中，五位同学的成绩分别是90、x、80、85、85，若这五位同学成绩的众数与平均数恰好相等，则他们成绩的中位数是 ． 【答案】85 【详解】解：因为众数与平均数恰好相等，说明众数是一个数，则有，所以， 将这5个数从小到大排列如下：80，85，85，85，90， 中间的数是85，所以成绩的中位数是85，故答案为：85． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的图象交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：把代入与得：，， ∴，故答案为：． 16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，，，交对角线于点，点E、F分别在线段和射线上，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在菱形中， ， ∴是等边三角形，，，点A与点关于所在直线对称， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，即：，∴， 以、为一组邻边作平行四边形，∴，∴， ∴当点在线段上的点时，取得最小值，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上） 17．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（23-24八年级下·浙江·期中）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以，； （2）解：， ， ， 或， 所以，． 19．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图所示，沿三角形的顶点构造矩形， ， ，∴的面积是． 20．（2025·广东清远·一模）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．；B．；C．；D．）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题(1)补全条形统计图；(2)表格中的 ， ；(3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）． (4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)；(3)款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析； (4)选择甲款车更合适，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为，补全条形统计图如下： （2）330  375  435  410  410  470  380  365  365  410中，410出现的次数最多，∴众数； 在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， ∴中位数 ；故答案为：； （3）解：款的实际续航里程更长，理由如下： ∵款的平均数较大，∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）； （4）解：选择甲款车更合适，理由如下： 甲款车综合得分为： （分）， 乙款车综合得分为： （分）， ，∴选择甲款车更合适． 21．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 22．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】（1）写出的一个有理化因式：______；（2）化去式子分母中的根号：______； （3）化去式子分子中的根号：______；（直接写结果） 【拓展应用】（4）求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）最大值是 【详解】解：（1） 的有理化因式是，故答案为：； （2）：，故答案为：； （3），故答案为：； （4）由题意得：，解得：， ， 当时，值最大，即值最大， 此时，的最大值是． 23．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)(3)是定值，2 【详解】（1）解：将代入直线得，，解得，， 再将代入得，          联立得：，解得：（舍去），∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则，∴， ∴，解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ，解得，∴直线解析式为， 令得，即，令得，即， 同理可得直线解析式为，令得，即， 令得，即，∴，∴为定值． 24．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________；(2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由；(3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)或 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，点共线，，∴，，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下，∵四边形是平行四边形，∴， ∵折叠，点共线，，∴，，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，即（1）中两个结论仍然成立； （3）解：如图，当时，过点作交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，，， ，，， 根据折叠可得，， ，四边形为矩形，， 设，则，则，根据勾股定理可得， 即，解得，； 如图，当时，过点作交的延长线于点， 同理可得四边形为矩形，则，，， 设，则，根据勾股定理可得， 即，解得，； 综上，点的坐标为或． 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$