加练13 圆的综合题-【一战成名新中考】2025贵州中考数学中考必考知识点专题特训

加练13 圆的性质综合题 类型1 圆的性质综合题 1．如图，点A，B，C在⊙O上，CO⊥AB于点G，交⊙O于点E，连接AC．BD⊥AC于点D，BD与CE相交于点F． （1）求证：BF＝BE； （2）若AB＝8，BF＝5，求⊙O的半径． 2.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C＝∠E． （1）求证：BD＝CD； （2）若AC＝4，，求阴影部分的面积． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝40°，以边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E． （1）求证：CE＝BE； （2）求的长． 4.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，CD＝CB，过点C作CE⊥AB于点E，连接OC，BD相交于点F． （1）求证：△OCE≌△OBF； （2）若，BD＝8．求OA的长． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD． （1）求证：AB＝BC； （2）若∠A＝66°，求∠ADB的度数． 7．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ADC，∠ABD＝∠CAD． （1）求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AB交AD的延长线于点F．若AC＝AB，DF＝3，求圆的半径． 8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD，AE＝3，DE＝1． （1）求证：∠ABD＝∠BED； （2）求BD的长； （3）若∠AEB＝126°，求阴影部分的面积（结果保留π）． 9．如图，已知⊙O的半径为2，弦CD⊥直径AB，垂足为点E，点F在上（不与点A，点C重合），连接AF，AC，AD，FC． （1）求证：AC＝AD． （2）若． ①求∠ACD的度数． ②当FC∥AD时，求的长． 10.如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连接AD分别交OC，OE于点F，G． （1）请直接写出∠AOC与∠EGD的度数； （2）求证：△ACF∽△OGF； （3）△AFC，△ODG的面积分别记为S1，S2．若CF＝2OF，求的值． 类型2 圆切线的性质及相关计算 1．如图，已知△ABD内接于⊙O，以A、B、D为顶点在△ABD上方作▱ABCD，且边CD与⊙O相切于点D，连接DO并延长交AB于点E，对角线AC与BD相交于点F． （1）求证：∠DAB＝∠DBA； （2）若⊙O的半径r＝6，，求▱ABCD的面积． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若∠BEF＝∠CAE． （1）求证：AE平分∠BAC； （2）若BF＝10，EF＝20，求AC的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为弧AC的中点，过D点作DE⊥AB于点E，交过C点的切线于点F，交弦AC于点G，连接CD． （1）求证：FC＝FG； （2）若DC∥AB，AB＝4，求弧CD的长． 4．如图，点C是的中点，直线EF与⊙O相切于点C，直线AO与切线EF相交于点E，与⊙O相交于另一点D，连接AB，CD． （1）求证：AB∥EF； （2）若∠DEF＝3∠D，求∠DCF的度数． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA． （1）求证：∠BDC＝∠BCE； （2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE； （3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 6.如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交BD的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝10． （1）求∠ACB的度数； （2）求AC的长度； （3）判定四边形AFBC的形状，并证明你的结论． 类型3 圆切线的判定及相关计算 1.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，⊙O与AC相切于点D，连接CO交⊙O于点E． （1）判断CB所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π） 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinB，求FD的长． 3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝60°，点D在BO的延长线上，且AB＝AD． （1）求证：DA是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号） 4.如图，△ABC中，，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，⊙O是△ACD的外接圆，CE是⊙O的直径，且． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求BC的长； （3）求⊙O的半径． 5.如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，OC＝4，求PA的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 6.如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． 参考答案 类型1 圆的性质综合题 1.（1）证明：∵BD⊥AC，CG⊥AB， ∴∠CDF＝∠AGC＝90°， ∴∠CFD+∠C＝∠A+∠C＝90°，∴∠CFD＝∠A， ∵∠BFG＝∠CFD，∴∠BFG＝∠A， ∵∠E＝∠A，∴∠E＝∠BFG， ∴BF＝BE； （2）解：如解图，连接OB， ∵直径CE⊥AB，∴BGAB8＝4， ∵BE＝BF＝5，∴EG3， 设圆的半径是r，∴OB＝r，OG＝r﹣3， ∵OB2＝OG2+BG2， ∴r2＝（r﹣3）2+42， ∴r．∴⊙O的半径长是． 2.（1）证明：如解图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD， 又∵∠E＝∠B，∠C＝∠E， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴BD＝CD； （2）解：如解图，连接OD，OE， ∵，∴∠BOD＝2∠AOD＝120°， ∴∠AOD＝60°，∴∠B＝30°， ∵∠B＝∠C＝30°，∴∠OAE＝60°， ∵OA＝OE，∴△AOE是等边三角形， ∵AB＝AC＝4，∴OA＝OE＝AE＝2， ∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAEπ． 3.（1）证明：如解图，连接AE， ∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°， ∵AB＝AC，∴BE＝EC． （2）解：如解图，连接OE，OD， ∵∠BAC＝40°，OA＝OD，∴∠ODA＝40°， ∵BO＝OA，BE＝CE， ∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC， ∵AB＝AC＝6，∴， ∴∠DOE＝∠ODA＝40°， ∴的长为． 4.（1）证明；方法一：如解图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，∴CD＝BD， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED＝∠ABC， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠CED，∴DE＝DC， ∴DE＝BD，∴； 方法二：如解图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，∴∠EAD＝∠BAD， ∴； （2）解：如解图，连接OD交BE于H，过点O作OF⊥BD于点F，BDBC＝3，AB＝5， 又勾股定理得AD4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OFAD＝2，则BH3×2，解得BH， ∵，∴BE＝2BH． 5.（1）证明：∵CD＝CB， ∴，∴OC⊥BD，BF＝DF， ∵CE⊥AB，∴∠OEC＝∠OFB＝90°， ∵∠COE＝∠BOF，OC＝OB， ∴△OCE≌△OBF（AAS）； （2）解：∵BD＝8， 由（1）可知△OCE≌△OBF，BF＝DF＝CE＝4， ∵，∴BE＝3， 设OA＝OB＝OC＝r，则OE＝r﹣3， 在Rt△OCE中，（r﹣3）2+42＝r2，解得， ∴． 6.（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴，∴AB＝BC； （2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝66°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣66°＝114°， ∵OC⊥BD，∴， ∴BC＝CD， ∴， ∴∠ADB＝∠CDB＝33°． 7.解：（1）∵∠ABD＝∠CAD，∠CBD＝∠CAD， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°， ∴2∠ABD+2∠ADB＝180°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°； （2）由（1）知∠BAD＝90°， ∴∠CAD+∠BAE＝90°，BD为直径， ∵∠ABD＝∠CAD， ∴∠ABD+∠BAE＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵BD为直径，∴BD垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∵AC＝AB，∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CDF＝∠ABC＝60°， ∵CF∥AB，∴∠BAD+∠AFC＝180°， ∵∠BAD＝90°，∴∠AFC＝90°， ∴∠FCD＝30°，∴CD＝2DF， ∵DF＝3，∴CD＝6， ∵BD为直径，∴∠BCD＝90°， ∵∠CBD＝30°， ∴BD＝2CD＝12，即圆的直径为12，所以圆的半径为6． 8.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠CBD+∠BED＝90°， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠BED； （2）解：∵∠ABD＝∠BED，∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB， ∴，即BD2＝DE•AD＝1×4＝4，∴BD＝2（负值舍去）； （3）解：如解图，连接OD，过点O作OH⊥DB于H，则BH＝BDBD＝1， 由勾股定理得：AB2， ∴OH2， ∵∠AEB＝126°，∴∠AEC＝180°﹣126°＝54°， ∴∠CAD＝90°﹣54°＝36°，∴∠DOB＝72°， ∴S阴影部分＝S扇形BOD﹣S△BOD2×2＝π﹣2． 9.（1）证明：∵弦CD⊥直径AB， ∴A平分，即，∴AC＝AD； （2）①∵四边形AFCD内接于⊙O， ∴∠AFC+∠ADC＝180°①， ∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ADC②， 由①②得：∠ADC＝67.5°，∠AFC＝112.5°，∴∠ACD＝67.5°； ②如解图，连接OC，OD， ∵∠ADC＝∠ACD＝67.5°， ∴∠CAD＝180°﹣2×67.5°＝45°， ∴∠COD＝90°， ∵FC∥AD，∴， ∵的长为：π， ∴的长为π． 10.（1）解：∠AOC＝60°，∠EGD＝60°；【解法提示】∵AC＝OA，OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴△OAC为等边三角形，∴∠AOC＝∠ACF＝60°，∴，∵点E是CD中点，OE经过圆心，∴OE⊥CD，∴∠EGD＝90°﹣∠ADC＝60°. （2）证明：∵∠EGD＝60°，∴∠FGO＝∠EGD＝60°， ∵∠ACF＝60°，∴∠ACF＝∠OGF， ∵∠AFC＝∠OFG，∴△ACF∽△OGF； （3）解：如解图，过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H， 由CF＝2OF，设OF＝1，则CF＝2， ∴AC＝AO＝OC＝3， ∵∠AOC＝60°，∴，， ∴， ∴在Rt△AFH中，由勾股定理得，， ∵△ACF∽△OGF，∴， ∴，∴， ∵∠CDA＝30°，∴在Rt△CMD 中，， ∴，， ∴． 类型2 圆切线的性质及相关计算 1.（1）证明：∵边CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，AE＝BE， 在△AED和△BED中 ∴△AED≌△BED（SAS）， ∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA； （2）如解图，过点O作OG⊥BD于点G， ∴∠DGO＝90°，， ∴2， ∴∠DEB＝∠DGO＝90°， ∵∠ODG＝∠BDE，∴△ODG∽△BDE， ∴，解得，， ∴， ∴S▱ABCD＝AB•DE ． 2.（1）证明：如解图，连接OE交BC于点G， ∵EF与⊙O相切于点E， ∴∠OEF＝90°，∴∠BEF+∠OEB＝90°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB+∠OBE＝90°， ∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠BEF＝∠EAB， ∵∠BEF＝∠CAE，∴∠CAE＝∠EAB，∴AE平分∠BAC； （2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°， ∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO， ∵∠CAE＝∠EAB，∴∠CAE＝∠AEO， ∴AC∥OE，∴∠C＝∠OGB＝90°， ∴CG＝BG， ∵OA＝OB，∴OG是△ACB的中位线， ∴AC＝2OG， ∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE， ∴△FEB∽△FAE， ∴，∴， ∴AF＝40，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣10＝30， ∴OA＝OB＝OEAB＝15， ∵∠OGB＝∠OEF＝90°，∴BC∥EF， ∴，∴，解得OG＝9， ∴AC＝2OG＝18，∴AC的长为18． 3.（1）证明：连接OC，如解图1， ∵CF为⊙O的切线，∴OC⊥CF， ∴∠FCG+∠ACO＝90°， ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC， ∵DE⊥AB，∴∠AGE+∠A＝90°， ∴∠FGC＝∠AGE＝∠FCG，∴FG＝FC； （2）解：如解图2，连接DO， ∵D点为弧AC的中点，∴∠AOD＝∠COD， 又∵CD∥AB，∴∠CDO＝∠AOD， ∴∠CDO＝∠COD＝∠DCO＝60°， ∵AB＝4，∴弧． 4.（1）证明：如解图，连接OC， ∵直线EF与⊙O相切于点C，∴OC⊥EF． ∵点C是的中点，∴OC⊥AB， ∴AB∥EF； （2）解：由（1）知OC⊥EF，∴∠OCE＝90°， ∴∠DEF+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝2∠D，∠DEF＝3∠D， ∴5∠D＝90°，∴∠D＝18°， ∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠D＝18°， ∴∠DCF＝90°﹣∠OCD＝72°． 5.（1）证明：连接OC，如图， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵直线CE为⊙O的切线， ∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°， ∵∠OCB+∠ACO＝90°，∠OCB+∠BCE＝90°， ∴∠ACO＝∠BCE， ∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO， ∵∠CAO＝∠BDC，∴∠BDC＝∠BCE； （2）证明：如解图， ∵F点为AC的中点，∴DF⊥AC，即DF垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∵CD⊥AB，∴AB平分CD，即AB垂直平分CD， ∴AC＝AD，∴AC＝CD＝AD， ∴△ACD为等边三角形，∴∠CAD＝60°， ∴∠BAC＝∠BAD＝30°，∴∠BOC＝∠BOD＝60°， ∵OB＝OD，∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°， ∵∠BOC＝∠OBD，∴DG∥OC， ∵OC⊥CE，∴DG⊥CE； （3）解：图中阴影部分面积＝S扇形BOD﹣S△BOD62＝6π﹣9． 6.解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，交BD的延长线于点F，∠F＝30°， ∴AF⊥OA，∴∠AOF＝60°， ∴； （2）∵∠ACB＝∠ADB＝30°，∠BAC＝120°，BC＝10， ∴∠ABC＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC， ∴，∴OA⊥BC， ∴， ∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝∠ABO﹣∠ABC＝30°，∴， 在直角三角形BOE中，由勾股定理得OE2+BE2＝OB2，即OE2+52＝（2OE）2， ∴，∴． （3）四边形AFBC是平行四边形；证明如下： ∵∠OBE＝∠F＝30°，∴AF∥BC， ∵△AOB是等边三角形， ∴∠ABO＝60°，即∠ABF＝120°， ∵∠BAC＝120°，∴∠ABF＝∠BAC＝120°， ∴BF∥AC，∴四边形AFBC是平行四边形． 类型3 圆切线的判定及相关计算 1.解：（1）CB所在直线与⊙O相切，理由如下： 连接OD，过点O作OH⊥BC于点H， ∵⊙O与AC相切，∴OD⊥AC， ∵△ABC是等腰直角三角形，O为AB的中点， ∴OC平分∠AOB， ∵OH⊥BC，∴OH＝OD， ∴BC所在直线与⊙O相切． （2）由（1）知OD⊥AC，∴∠ODC＝90°． ∵OC平分∠ACB，∴∠DCO∠ACB＝45°， ∴∠COD＝90°﹣45°＝45°， ∴ 的长为 ． 2.（1）证明：如解图，连接OC，则OC＝OA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∵∠DCF＝∠CAD，∴∠DCF＝∠OCA， ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°， ∴∠OCF＝∠OCD+∠DCF＝∠OCD+∠OCA＝∠ACD＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC， ∴CF是⊙O的切线． （2）解：∵⊙O的半径为5， ∴OA＝OD＝5，AD＝10， ∵∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B， ∴sin∠ADC＝sinB， ∴ACAD10＝8， ∴CD6， ∵∠DCF＝∠CAF，∠F＝∠F， ∴△DCF∽△CAF， ∴， ∴FCFA（FD+10），且FCFD， ∴（FD+10）FD，解得FD， ∴FD的长为． 3.（1）证明：如解图，连接OA， ∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°， ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB， ∵在△AOB中，∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°， ∴∠OBA＝∠OAB＝30°， ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝30°， 由条件可知∠BAD＝120°， ∵∠BAD＝∠OAB+∠OAD， ∴∠OAD＝90°，即OA⊥AD， ∵OA是⊙O的半径，∴DA是⊙O的切线； （2）解：如解图，过点O作OE⊥AB，垂足为点E ∴∠OEB＝90°，AB＝2BE， ∵在Rt△OEB中，∠OBE＝30°，OB＝2， ∴OE＝1，∴BE2＝22﹣12＝3， ∴，∴， ∴， ∵， ∴， 答：图中阴影部分的面积为． 4.（1）证明：∵CE为⊙O的直径， ∴∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠EAB＝90°， ∵∠BAC＝∠BCD，∴∠BCD+∠EAB＝90°， ∵∠BAB＝∠ECD，∴∠BCD+∠ECD＝90°， ∴∠ECB＝90°， ∵CE为⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD，∴， ∵AB＝4，D为AB中点， ∴BD＝AD＝2， ∴BC2＝16，∴BC＝4； （3）如解图，过点A作AF⊥CD于点F， 在Rt△AFD中，cos∠CDA，AD＝2， ∴DF＝1，∴AF， ∵△BAC∽△BCD，∴， 设CD＝x，则ACx，∴CF＝x﹣1， 在Rt△ACF中，AC2＝CF2+AF2，∴（x）2＝（x﹣1）2+（）2， 整理得x2+2x﹣8＝0，解得x＝2，x＝﹣4（舍去）， ∴CD＝2，AC＝2， ∵∠AEC与∠ADC都是所对的圆周角， ∴∠AEC＝∠ADC， ∵CE为⊙O的直径，∴∠CAE＝90°， ∴sin∠AECsin∠CDA， ∴，∴CE， ∴⊙O的半径为． 5.（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA， ∵PO平分∠APD，OB⊥PD，∴OA＝OB， ∴OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为2，∴OA＝OB＝2， ∵OB⊥PD，OC＝4， ∴，AC＝OA+OC＝2+4＝6， ∵PA，PB都是⊙O的切线， ∴设PA＝PB＝x，则， ∴在Rt△PAC中，PA2+AC2＝PC2， ∴，解得，∴； （3）在Rt△BCO中，∠CBO＝90°，OC＝2OB， ∴∠BCO＝30°，∠BOC＝60°，∴∠BOA＝120°， ∴， ，， ∴． 6.（1）证明：如解图，连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）证明：∵线段AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°， ∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM． （3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $$