加练10 锐角三角函数的实际应用（含综合与实践）-【一战成名新中考】2025贵州中考数学中考必考知识点专题特训

加练10 锐角三角函数的实际应用（含综合与实践） 类型1 共高型 1．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） （1）求AB的长； （2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）． 2．如图，为了计算风筝的垂直高度AC的长，现测得如下数据：放出的风筝线长AB＝30m，风筝的仰角∠ABC＝65°． （1）求AC的长； （2）收回一部分风筝线后，风筝从A下降到了D的位置，D在A的正下方，此时风筝的仰角∠DBC＝60°，求收回的风筝线长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 类型2 等高型 3．如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个长2米的水平面BC． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 1：20 1：16 1：12 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由； （2）相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 4．数学兴趣小组借助无人机开展实地测量．如图所示，在河岸边的C处，兴趣小组控制一架无人机沿60°的仰角方向飞行100米到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行30米至点B处，此时测得河对岸D处的俯角为38°（图中A，B，C，D在同一个竖直平面内）． （1）求无人机从A飞到B时的飞行高度（结果保留根号）； （2）求河道的宽度CD（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，） 5．图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度AB＝980m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求西安电视塔的高度CD．（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75） 类型3 标杆型 6．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰AB的高度，直立两根高3m的标杆EF和MN，两杆间距FN相距8m，在点E处观察山顶点A，测得仰角为45°；在点M处观察山顶点A，测得仰角为30°，求山峰的高度AB．（结果精确到0.1米．参考数据：） 7．如图，为了测量某电子厂AB的高度，小明用高1.8m的测角仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测角仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为多少米？ （参考数据：sin53°） 类型4 构造矩形型 8．如图，某高楼OB上有一旗杆CB，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度i＝1：的山坡从坡脚的A处前行50米到达P处，测得旗杆顶部C的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为37°（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高BC＝15米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 9．如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为37°，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为30°，已知乙的位置A到商场的距离AB＝60m，商场的高度BC＝24m，BC⊥AB，DE⊥AB，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，tan37°） 类型5 共直角型 10．湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是金海湖景区的主要景观之一．某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的目标是测量湖光塔的高度，但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们把任务确定为测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角仪测得塔顶A的仰角为45°，此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点D处用测角仪测得塔底B的仰角为26.5°．请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山BE的高度约为多少米？（参考数据：sin26.5°≈0.45；cos26.5°≈0.89；tan26.5°≈0.50） 11．随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检…，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度AO为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为52°，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为40°，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离．（参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3，sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8，结果保留整数） 综合与实践 12．上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 测量项目 CD α β 方案一 10m 12° 11.5° 方案二 1.3m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：　 　． 13．某校数学实践小组利用周末来到河边，发现河对岸东西方向上两棵树A和B． 接下来他们准备利用所学的数学知识测量A和B的距离，并设计了如下实践报告单： 【实践课题】 测量两棵树A和B之间的距离 【实践工具】 皮尺，测角仪，计算器等测量工具 【实践活动】 测量小组根据河岸地形状况，在岸边选取合适的点位于树B正南方向的点C．然后向西走120米到点D，测量∠BDC和∠ADB，测量三次取平均值，得到数据：∠BDC＝53°，∠ADB＝64°，并利用计算器计算了如下参考数据：cos53°≈0.60，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，sin63°≈0.89，tan63°≈1.96，画出如下示意图： 【问题解决】 请你根据以上报告单，求AB间的距离（结果保留到0.1米）． 14．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度． 【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度． 【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆AB到校门所在位置DE在斜坡上有15块地砖． 【素材2】在点A处测得仰角tan∠1，俯角tan∠2；在点B处直立一面镜子，光线BD反射至斜坡CE的点N处，测得点B的仰角tan∠3；测量杆上AB：BC＝5：8，斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线． 【讨论】只需要在∠1，∠2，∠3中选择两个角，再通过计算，可得CE的坡度． 任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值：　 　和 　 　．（填“∠1”，“∠2”或“∠3） 求NE：CN的值． 任务2 推理计算 求坡度tan∠ECM的值． 15．综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度 【测角原理】如图1，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成．铅垂线OA始终与地面垂直，零刻度线始终与度盘顶线PQ垂直．测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的零刻度线重合，然后转动顶线PQ，使其对准目标点，此时通过OA指向的度数即可确定仰角的大小． 【数学证明】如图2，直线CD为水平地面，旗杆MN⊥CD，OB为零刻度线方向，请根据材料说明∠BOA的大小即为仰角∠MOE的大小． 【理论设计】在图2中，若∠BOA＝α，测角仪的支杆OA＝a，点O离MN的距离OE＝b，请据此表示出线段MN的长度（用含α，a，b的字母表示）． 【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案．测量时，先在点A处测得仰角∠MOE为65°，然后沿直线NA后退6m至点B处，测得仰角∠MO′E为55°，其中支杆OA的长为1米．请根据测量数据，求出旗杆MN的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4） 参考答案与试题解析 1．解：（1）由题意得：∠BCA＝90°， ∵AC＝3m，∠CAB＝60°， 在Rt△ABC中，由cos∠A， 得：cos60°， ∴AB＝6m； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC3（m）， 在Rt△BCD中，sin∠CDB， ∴sin37°0.6， ∴BD＝5m， 由题意得，BC+AB＝BE+BD， ∴BE＝BC+AB﹣BD＝36﹣56﹣2（m）， ∴CE＝BC﹣BE＝3（6﹣2）＝56≈2.7（m）， 答：物体上升的高度约为2.7m． 2．解：（1）由题意得：AC⊥CB， 在Rt△ABC中，∠ABC＝65°，AB＝30m， ∴AC＝AB•sin∠ABC＝30×sin65°≈30×0.91＝27.3（m）， ∴AC的长约为27.3m； （2）在Rt△ABC中，∠ABC＝65°，AB＝30m ∴BC＝AB•cos65°≈30×0.42＝12.6（m）， 在Rt△DBC中，∠DBC＝60°， ∴DB2×12.6＝25.2（m）， ∴AB﹣BD＝30﹣25.2＝4.8（m）， ∴收回的风筝线长约为4.8m． 3．解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米， ∴最大高度为0.15×10＝1.5（米）， 由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20； （2）如图，过B作BG⊥AD于点G， 由（1）可知BG＝1.5米，坡度是1：20， ∴， ∴AG＝30米， ∴S＝30×1.5＝45平方米． 即第一层的台阶坡道建造需要规划45平方米的用地． 4．解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，如图所示： ∵AC＝100m，∠ACE＝60°， ∴； 答：无人机从A飞到B时的飞行高度为米； （2）如图，过点D作DH⊥AB于H， 由条件可知四边形AEDH是矩形， ∴， ∴，， ∵AB＝30m， ∴ED＝AH＝AB+BH＝140.9m， ∴CD＝ED﹣EC＝90.9m； 答：河道的宽度CD约为90.9米． 5．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD， ∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°． ∴四边形CDBF是矩形． ∴BF＝CD，CF＝BD＝980m． ∵CF∥BD∥AE， ∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°． 在Rt△ACF中， ∵tan∠ACF， ∴AF＝tan∠ACF•CF ＝tan37°×980 ≈0.75×980 ≈735（m）． ∴CD＝FB＝AB﹣AF ＝980﹣735 ＝245（m）． 答：西安电视塔的高度CD为245m． 6．解：由题意得EF⊥BC，MN⊥BC， ∴∠EFD＝∠MNC＝90°．在Rt△EFD中，∠EDF＝45°，EF＝3， ∴． 在Rt△MNC中，∠MCN＝30°，MN＝3， ∴， ∴． 设AB的长为xm，则， ∵BC＝BD+CD， ∴， 解得． 答：山峰的高度AB约为13.9m． 7．解：由题意得：EM⊥AB，CN⊥AB，BD＝CN，EF＝BM＝1.8m，EM＝BF，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m， 设BD＝CN＝x m，则EM＝BF＝DF+BD＝（5+x）m， 在Rt△AEM中，∠AEM＝45°， ∴AM＝EM•tan45°＝（5+x）m， 在Rt△ACN中，∠ACN＝53°， ∴AN＝CN•tan53°x（m）， ∵AM+BM＝AN+BN， ∴5+x+1.8x+1.5， 解得：x＝15.9， ∴AB＝AM+BM＝5+x+1.8＝22.7（m）， ∴电子厂AB的高度约为22.7m． 8．解：过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形， ∴PE＝OD， ∵AP坡的坡度i＝1：， ∴tan∠PAE， ∴∠PAE＝30°， ∴PEAP＝25， 在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠BPD＝37°， ∴BD＝PD•tan∠BPDPD， 在Rt△CPD中，∠CDP＝90°，∠CPD＝45°， ∴CD＝PD， ∵CD﹣BD＝BC， ∴PDPD＝15， 解得，PD＝60， ∴BD60＝45， ∴OB＝OD+BD＝25+45＝70（m）． 答：该高楼OB的高度是70m． 9．解：过点C作CG⊥DE， 由题意可得：四边形BCGE是矩形， ∴EG＝BC＝24m．CG＝BE， ∵∠DCG＝37°，， ∴设DG＝3x，CG＝4x， 则BE＝4x，DE＝24+3x，AE＝60﹣4x． ∵∠DAE＝30°， ∴，即， 解得x≈2， ∴DE＝24+3x＝24+6＝30（m）， ∴此时无人机的高度DE为30m． 10．解：由题意，∠AED＝90°，∠ACE＝45°，∠BDE＝26.5°，AB＝30米，CD＝64米， 设BE＝x米，则EC＝（x+30）米， ∴tan∠BDE＝tan26.5°， 解得x≈94， 答：小山高度约为94米． 11．解：延长AB交CD于点O， 由题意得：∠C＝52°，∠D＝40°，AO＝120米，AB＝40米， ∴BO＝AO﹣AB＝80（米）， 在Rt△AOC中， tanCtan52°， ∴OC92.31（米）， 在Rt△BOD中， tanDtan40°， ∴OD100.0（米）， ∴CD＝OC+OD＝92.31+100.0≈192（米）． 答：点C与点D的距离为192米． 12．解：（1）选择方案一： 由题意得：AB⊥BD， ∴∠B＝90°， 设BC长x米，则BD长（x+10）米， ∵∠α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， ∵∠β＝11.5°， ∴（x+10）•tan11.5°＝0.213x， 即0.204（x+10）＝0.213x， 解得：x≈226.67， ∴AB≈48.3米； 选择方案二： 由题意得：∠AED＝∠ABC＝90°． 设BC为x米，则DE为x米． ∵β＝11.7°， ∴AE＝x•tanβ≈0.207x米， ∵α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， 由题意得：BE＝CD＝1.3米， ∴0.207x+1.3＝0.213x， 解得：x≈216.67， ∴AB≈46.2米． （2）测量有误差（答案不唯一）． 13．解：过点B作BH⊥AD于点H． 由题意知CD＝120，∠BCD＝90°，∠BDC＝53°，AB∥CD． 在Rt△BCD中， ∵， ∴． 在Rt△BDH中， ∵， ∴BH＝sin∠BDC•BD≈0.9×200＝180． ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC＝53°． ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣53°﹣64°＝63°． 在Rt△ABH中， ∵， ∴（米）． 答：AB间的距离约为202.2米． 14．解：任务1，选择两个测量角的正切值∠2和∠3， ∵CE＝15，CN＝9， ∴NE＝15﹣9＝6， ∴NE：CN＝6：9＝2：3． 任务2，过点E和N作AC的垂线，垂足分别为点H和G， ∴GN∥HE， ∴△CGN∽△CHE， ∴， 设CG＝3x，CH＝5x，HG＝2x，BH＝a，则 BG＝a+2x， ∵AB：BC＝5：8，即AB：（a+5x）＝5：8， ∴AB（a+5x），AH＝AB+BHax， 由题意得∠BNG＝∠4＝∠3，∠AEH＝∠2， tan∠2，tan∠3， ∴，， ∴HE＝5（ax）ax，GNBGax， ∵， ∴， 整理得xa， ∴tan∠ECM＝tan∠HEC． 15．解：【数学证明】由题意可得：OE⊥MN，MN⊥AN，OA⊥AN， ∴∠OEN＝∠ENA＝∠OAN＝90°， ∴四边形OANE是矩形， ∴∠AOE＝90° 由题意可得：OB⊥PQ， ∴∠QOB＝90°， ∴∠AOE﹣∠BOE＝∠QOB﹣∠BOE， ∴∠AOB＝∠MOE； 【理论设计】由题意得：∠MOE＝∠BOA＝a，OA＝EN＝a， 在Rt△MOE中，OE＝b， ∴ME＝OE•tanα＝btanα， ∴MN＝ME+EN＝a+btanα， ∴线段MN的长度为a+btanα； 【实践操作】由题意得：O′B＝OA＝EN＝1米，O′E＝BN，OO′＝BA＝6m， 设OE＝x米， ∴O′E＝BN＝OO′+OE＝（x+6）米， 在Rt△MOE中，∠MOE＝65°， ∴ME＝OE•tan65°≈2.1x（米）， 在Rt△MO′E中，∠MO′E＝55°， ∴ME＝O′E•tan55°≈1.4（x+6）米， ∴2.1x＝1.4（x+6）， 解得：x＝12， ∴ME＝2.1x＝25.2（米）， ∴MN＝ME+EN＝25.2+1≈26（米）， 答：旗杆MN的高度约为26米． 学科网（北京）股份有限公司 $$