加练6 反比例函数与一次函数综合-【一战成名新中考】2025贵州中考数学中考必考知识点专题特训

加练6 反比例函数与一次函数综合 1．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣4）和B（1，0）． （1）求该一次函数的解析式； （2）当x≤﹣1时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k1x+b与函数的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2）． （1）求直线l：y＝k1x+b与函数的解析式； （2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线l：y＝k1x+b和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N上方时，直接写出n的取值范围． 3．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标是（3，m）． （1）求反比例函数的表达式． （2）设直线y＝x+b与反比例函数的图象的交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），与直线y＝2x的交点横坐标为x3，若x1＜x3＜x2，求b的取值范围． 4．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与反比例函数的图象交于点A（5，m）． （1）求m，b的值； （2）点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1．若在直线l上存在一点P（点P不与点A重合），使得AP≤AB，结合图象直接写出点P的横坐标xp的取值范围． 5．如图，直线y1＝﹣x+6，都与反比例函数的图象交于点A（2，n），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y和y2的函数解析式； （2）当x＞0时，求不等式的解集； （3）将点A和点C同时向下移动m（m＞0）个单位长度，使得移动之后对应的两点都在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 　 　． 6．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），B两点，一次函数与x轴交于点C，若AB＝BC． （1）求一次函数的解析式． （2）将一次函数y＝kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数图象只有一个交点M时，求a的值及交点M的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长． 8．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点A（2，3）． （1）求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支； （2）若该反比例函数与一次函数y＝x﹣5的图象交于第一象限内一点P（a，b），求代数式的值． 下面是几位同学解决问题（2）时的讨论： 小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可是好像方程组不会解…… 小胜：可以用图象法! 小王：也可以把通分，结合函数表达式求解. 请你结合上述讨论完成此题． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，经过原点O的直线与双曲线交于点A（2，m），点B在射线OA上，点C的坐标为（7，0）． （1）求直线OA的表达式； （2）如果tan∠BCO＝2，求点B的坐标． 10．如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△BOE的面积； （3）直接写出不等式kx+6的解集． 11．如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）求△AOB的面积； （3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EFAD，求出点E的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线y＝﹣x+4交于点A（3，a）、点B，经过点A、点O的直线与第三象限的双曲线交于点C，以AC为斜边作直角△AHC，直角顶点H落在第二象限． （1）求双曲线的解析式； （2）当AH+CH＝8时，求△ACH的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（k≠0）的图象经过矩形ABCD的顶点A和C，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，BC与y轴的交点，AD∥x轴，若，点D的坐标为（1，2）． （1）求该反比例函数的解析式； （2）点P是该反比例函数图象上的任意一点，连接PE，PF得到△PEF，若S△PEF，请求出点P的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，BC＝8，点A、B在y轴的正半轴上，边BC与AD分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为（2，m），点F的坐标为（m+3，1）．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． （1）求k的值； （2）连接PA、PB、PC、PD，当△PBC与△PAD的面积和为矩形ABCD面积的一半时，直接写出n的取值范围； （3）连接PE、PC，当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 15．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且BC＝2AB，反比例函数y（x＞0）的图象与边BC，AB分别交于点M，N．连接OM，ON． （1）若OA＝6，ANAB，求反比例函数的表达式． （2）判断S△OCM　 　S△OAN（填“＞”“＜”或“＝”）． （3）小颖说“若M是边BC的中点，则N是边AB的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由． 16．如图，平面直角坐标系中，四边形AOBC为平行四边形，y1＝k1x+b与双曲线y2（x＞0）交于点A（1，3）和点E（3，m）． （1）求k1，k2和b的值； （2）直接写出y1﹣y2＜0时x的取值范围； （3）如果平行四边形AOBC的对角线OC交双曲线于点P，求点P的坐标． 参考答案 1．解：（1）将A（﹣1，﹣4）和B（1，0）代入一次函数y＝kx+b得： ， 解得， ∴一次函数解析式：y＝2x﹣2； （2）∵直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限，双曲线是关于原点对称的， ∴当x≤﹣1时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值， ∴双曲线位于第一、三象限， ∴m＞0， 故m的取值范围为m＜0或0＜m＜4． 2．解：（1）∵直线l：y＝k1x+b与函数的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2）， ∴把A（2，8）和B（8，2）代入l：y＝k1x+b，得：， 解得：， ∴直线l：y＝k1x+b的解析式为y＝﹣x+10； ∵函数的图象经过点A（2，8）， ∴8， ∴k2＝16， ∴函数的解析式为y； （2）∵直线l：y＝k1x+b与函数的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2）， 如图所示： 观察图象可知，满足条件的n的值为：2＜n＜8． 3．解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A（3，m）， ∴， 解得：m＝6，k＝18， ∴点A（3，6），反比例函数的表达式为：； （2）∴正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝18/x的图象都关于原点O点对称， ∴点A，B关于原点O对称， ∴点B的坐标为（﹣3，﹣6）， 当直线y＝x+b经过点A（3，6）时，则6＝3+b， ∴b＝3， 当直线y＝x+b经过点B（﹣3，﹣6）时，则﹣6＝﹣3+b， ∴b＝﹣3， 结合函数的图象可知：当x1＜x3＜x2时，直线y＝x+b与y＝2x的交点在线段AB上，如图所示： ∴b的取值范围是：﹣3＜b＜3． 4．解：（1）∵直线y＝x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（5，m）， ∴， 解得：； （2）由（1）可知：直线l1的表达式为：y＝x﹣4，点A（5，1）， ∵点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1， ∴点B的坐标为（1，5）， ∴AB， 以点A为圆心，以AB为半径作⊙A交直线l1于点M，N，如图所示： 当点P在线段MN上（不含点A）时，满足PA≤AB， 设点M的坐标为（a，a﹣4）， ∴AM|a﹣5|， ∵AM＝AB， ∴|a﹣5|， ∴|a﹣5|＝4， ∴a﹣5＝4或a﹣5＝﹣4， 解得：a＝9或a＝1， ∴点M（9，5），点N（1，﹣3）， ∵当点P在线段MN上（不含点A）时，满足PA≤AB， ∴点P的横坐标xp的取值范围是：1≤xp≤9且x≠5． 5．解：（1）由条件可得y1＝﹣2+6＝4， ∴A（2，4）， 将A（2，4）代入与中， 则，解得b＝3， ，解得：k＝8， ∴，； （2）如图，设直线y1＝﹣x+6与反比例函数的另一个交点为E， 令，即x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 当x＝4时，， ∴E（4，2）， 根据函数图象：当2＜x＜4时，， ∴当x＞0时，不等式的解集为：2＜x＜4； （3）令，解得：x＝﹣6， ∴C（﹣6，0）， 将点A和点C同时向下移动m（m＞0）个单位长度， ∴A（2，4﹣m），C（﹣6，﹣m）， 由题意得：2×（4﹣m）＝﹣6×（﹣m）， 解得：m＝1． 6．解：（1）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N， ∵反比例函数的图象过点A（m，4）， ∴4m＝4， ∴m＝1， ∴A（1，4）， ∴AM＝4， ∵BN∥AM，AB＝BC， ∴BNAM＝2， ∴B点的纵坐标为2， 把y＝2代入，求得x＝2， ∴B（2，2）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b， 得，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6； （2）将一次函数y＝kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象为y＝﹣2（x+a）+6， ∵新图象与函数图象只有一个交点M， ∴方程2（x+a）+6，即x2+（a﹣3）x+2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（a﹣3）2﹣4×2＝0， ∴a＝3±2， ∵在第一象限， ∴a＝3﹣2． 解x2﹣2x+2＝0，得x1，x2（舍去）， ∴y2， ∴M（，2）． 7．解：（1）∵B（0，1）在直线y＝2x+b的图象上， ∴1＝0+b，即b＝1， ∴直线l的解析式为：y＝2x+1， 当y＝0时，y＝2x+1＝0， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当x＝1时，y＝2x+1＝3， ∴C（1，3）， ∴，即m＝3； （2）∵m＝3， ∴反比例函数解析式为：， 当x＝3时，， ∴D（3，1）， ∵平移直线y＝2x+1到直线l′， ∴设直线l′的解析式为：y＝2x+t， ∵直线l′经过D（3，1）， ∴当x＝3时，y＝2×3+t＝1， ∴t＝﹣5， ∴设直线l′的解析式为：y＝2x﹣5， ∴当y＝0时，2 x﹣5＝0， 解得：， ∴， ∵， ∴． 8．解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数表达式为， 另一支图象如图所示： （2）∵点P（a，b）在反比例函数图象上， ∴ab＝6， ∵点P（a，b）在函数y＝x﹣5图象上， ∴b﹣a＝﹣5， ∴． 9．解：（1）把点A（2，m）代入y中得， ∴m＝3， ∴A（2，3）， 设直线OA的解析式为y＝kx， 把A（2，3）代入y＝kx中得2k＝3， 解得k， ∴直线OA的表达式为yx； （2）过点B作BD⊥x轴于点D， ∵tan∠BCO2， ∴设CD＝x，则BD＝2x， ∴OD＝7﹣x， ∴B（7﹣x，2x）， 把点B代入yx中得， 解得x＝3， ∴OD＝7﹣x＝4，BD＝2x＝6， ∴B（4，6）． 10．解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得， 故，B（0，6）， ∵OB＝2OA∴， ∴k＝2， ∴一次函数解析式为：y＝2x+6， ∵OD＝2， ∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10， 即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得， ∴m＝20， ∴反比例函数的解析式为：； 故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：． （2）将一次函数与反比例函数联立得， 解得或， 故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，； （3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10）， ∵， ∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2． 11．解：（1）设反比例函数的解析式为y， 将B（6，1）的坐标代入y，得k＝6． ∴反比例函数的解析式为y． 将A（m，6）的坐标代入y，得m＝1． （2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b， 把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得： ， 解得：， 故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7， ∴M（0，7），N（7，0）， ∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BONOM×ONOM×|xA|ON×|yB| 7×77×17×1 ． （3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，）， ∴EF＝﹣m+7． ∵EFAD， ∴﹣m+76． 解得m1＝2，m2＝3， 经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根， ∴E的坐标为（2，5）或（3，4）． 12．解：（1）∵双曲线与直线y＝﹣x+4交于点A（3，a）， ∴a＝﹣3+4＝1， ∴点A（3，1）， ∴k＝3×1＝3， ∴双曲线的解析式为：； （2）设直线OA的表达式为：y＝mx， 将点A（3，1）代入y＝mx，得：m， ∴直线OA的表达式为：， 解方程组：， 得：，， ∴点C（﹣3，﹣1）， 又∵点A（3，1）， ∴AC， ∵△AHC为直角三角形，且AC斜边，点H在第二象限， ∴AH2+CH2＝AC2，S△ACHAH•CH， ∴AH2+CH240， ∵AH+CH＝8， ∴（AH+CH）2＝82， ∴AH2+CH2+2AH•CH＝64， ∴2AH•CH＝64﹣（AH2+CH2）＝64﹣40＝24， ∴AH•CH＝12， ∴S△ACHAH•CH＝6． 13．解：（1）∵， ∴， ∵点D的坐标为（1，2）．AD∥x轴， ∴A（﹣3，2）， ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过矩形ABCD的顶点A， ∴k＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为y； （2）由题意可知C点的横坐标为1， ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过矩形ABCD的顶点C， ∴C（1，﹣6）， ∴DC＝EF＝8， ∵AD＝4， ∴S矩形ABCD＝4×8＝32， ∵S△PEF， ∴S△PEF＝4， ∵点P在反比例函数的图象上，EF＝8， ∴点P到EF的距离为1，即P点的横坐标为1或﹣1， ∴P点的坐标为（1，﹣6）或（﹣1，6）． 14．解：（1）∵点E（2，m），点F（m+3，1）在反比例函数的图象上， ∴k＝2m＝（m+3）×1， ∴m＝3， ∴E（2，3），F（6，1）， ∴k＝3×2＝6； （2）∵BC＝8，E（2，3），F（6，1）， ∴S矩形ABCD＝8×（3﹣1）＝16， ∵， ∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件， ∴2＜n＜6； （3）∵E（2，3）、F（6，1）， ∴AB＝2， ∵BC＝8， ∴S矩形ABCD＝2×8＝16，EC＝6， ∴S△PEC＝8，设边CE上高的为h， ∴， ∴， 点P在CE的下方时，时，x＝18， ∴当时，x＝18， ∴点P的坐标为， 点P在CE的上方时，时，x＝18， ∴当时，， ∴点P的坐标为． 15．解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴∠BAO＝90°，OA＝BC＝6，OC＝AB， ∵BC＝2AB， ∴AB＝OC＝3， ∴ANAB＝1， ∴N（6，1）， ∴1， ∴k＝6， ∴反比例函数的表达式为y； （2）∵反比例函数y（x＞0）的图象与边BC，AB分别交于点M，N， ∴S△OCM＝S△OANk， 故答案为：＝； （3）小颖的说法正确， 理由：∵四边形ABCO是矩形， ∴∠BCO＝∠OAB＝90°，BC＝OA，OC＝AB， ∵M是边BC的中点， ∴CMBC， ∵BC＝2AB， ∴CM＝OCBCOA， ∵反比例函数y（x＞0）的图象与边BC，AB分别交于点M，N， ∴S△OCM＝S△OAN， ∴OC•CMABOAAB•OAOA•AN， ∴ANAB， ∴N是边AB的中点． 16．解：（1）把点A（1，3）和点E（3，m）分别代入y2（x＞0），得：k2＝3， ∴3m＝3， 解得：m＝1， 把A（1，3）和E（3，1）分别代入y1＝k1x+b，得 ， 解得：； （2）观察图象可知，当y1﹣y2＜0时，即y1＜y2， x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3； （3）由（1）得： 直线y1＝﹣x+4令y＝0，得：x＝4， ∴B（4，0），再由平行四边形的性质可求出C（5，3）， 将（5，3）代入y＝kx得；5k＝3， 解得：k， ∴直线OC的解析式为：yx， 解方程组 得： 或（舍去） ∴点P的坐标为（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$