题型一 弧长的计算，阴影部分周长、面积的计算课件 2025年中考数学二轮题型精讲（河南）

题型一 弧长的计算，阴影部分周长、面积的计算 1 历年考法通览 2 类型1 弧长的计算、阴影部分周长的计算 知识铺垫 1.弧长计算公式：①____.（圆心角为 ，半径为 ） 2.求弧长的一般步骤： 第一步：找圆心（确定所求弧所在圆的圆心）； 第二步：求半径和圆心角（计算半径长和所求弧所对圆心角度数）； 第三步：求弧长（利用弧长计算公式进行计算）. 3 （第1题） 1.[2024包头中考] 如图，在扇形 中， ，半径，是 上一点，连接 ，是上一点，且，连接 .若 ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 4 （第2题） 2.如图，在扇形中， ， . 将绕点逆时针旋转 ，得到 ，则图中阴 影部分的周长为( ) D A. B. C. D. [解析] 设，交于点 ， ， .又 ，，， 阴影部分的周长为 . 5 3.如图，以的边的中点为圆心， 长 为半径作圆，再将下方的部分沿 折叠，交 于点.若 ，，则 的长 度为( ) B A. B. C. D. [解析] 设与的另一个交点为, 所在的圆是等圆，所对的圆周 角均为 ，,所对的圆心角均为 .由折叠的性质，易得 所对的 圆心角为 ，故的长度为 . 6 4.如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ，均为格点（即小正方形的顶点），经过点，.若 ，则 的长为_ _____． 7 [解析] 设所在圆的圆心为，易知点是格点，位置如图所示，连接， ，则 ， ， . 8 5.[2024河师大附中三模] 如图，内接于 , 于点,延长交于点,已知 , ,,则 的长为_ ____. （第5题） [解析] 如图，.连接， ，则 .延长交于点，连接 ，则 ， ， ，， . 9 6.[2024南阳一模] 如图,是的直径,点在上（点不与点， 重 合）,过点作的切线交的延长线于点,连接.若 , , 则图中阴影部分的周长是_______. （第6题） 10 [解析] 如图，连接与相切于点 ， ， ， ， . ， 的长为 ， 阴影部分的周长是 . （第6题） 11 7.如图是由相同的边长为1的菱形组成的网格，已知 ，点，， 均 在小菱形的格点（网格线的交点）上，且点在上，则 的长为_ ____. （第7题） 12 （第7题） [解析] 如图，易得点为 所在圆的圆心，且 , ， ， 的长为 . 13 8.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网 格中，点,,,,均为格点，过,,作 ，连接 交于点,则 的长是_ ____. （第8题） [解析] 如图，取的中点，易知点为格点.连接, ,,则, 所在圆的圆心是 ,半径是.取格点，连接,,则 , ,, ， .易知, ， ， 的长是 . 14 类型2 阴影部分面积的计算 知识铺垫 1.扇形面积的计算公式：如图（1），②_ ____ ③___. 图（1） 15 2.阴影部分面积的计算方法： 图（2） （1）分割求和（差）法：如图（2），连接④____， ⑤ _________________. 16 （2）等积转化法：如图（3），，连接⑥____， ⑦________； 如图（4）， ⑧__________. 图（3） 图（4） 17 （3）容斥原理法：如图（5）， ⑨_______________. 图（5） 18 角度1 分割求和（差）法 （第9题） 9.[2024泰安中考] 两个半径相等的半圆按 如图方式放置，半圆 直径的一个端点与半 圆 的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴 影部分的面积是( ) A A. B. C. D. 19 [解析] 如图，连接， ，过点A作 于点 ， 是等边三角形，， ， .故选A. 20 （第10题） 10.如图，在扇形中， ，，点 为的中点，将扇形绕点 顺时针旋转，得到扇形 ，连接，当 时，阴影部分的面积为 ( ) A A. B. C. D. [解析] 连接， ， .又 ，是等边三角形， , .易知, ， ，，，三点共线，, 阴影部分的面积为 . 21 （第11题） 11.[2024三门峡二模] 如图，在 的网格图中，每 个小正方形的边长均为1,点,,均在格点上，以点 为圆心，的长为半径的弧交于点 ,则图中阴影部 分的面积为________.（结果保留 ） [解析] 由题图，易知 ， ， ， . 22 （第12题） 12.如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点 ， 与轴、轴分别交于，两点，点为 上一点，且 ，则阴影部分的面积为 __________. 23 （第12题） [解析] 如图，连接 ，是 的直径. ， ， ， ，即的半径为2， ． 24 13.[2023驻马店二模] 如图,将扇形沿射线平移得到扇形,线段 交于点.当时，平移停止.若 , ,则阴影部分的 面积为_ ______. 25 （第13题） [解析] 如图，连接.由平移的性质，得 ， ， ， .过点 作 于点，则 ， ， .又 ， . 26 14.[2024重庆育才中学一模] 如图，在扇形 中， ，以点为圆心、的长为半径画弧交 于 [解析] 如图，连接，过作 于 ， 是等边三角形， ， . 点，得扇形.若 ，则图中阴影部分的面积为_________． ， ， 阴影部分的面积为 . 27 15.如图，在扇形中， ， .利用尺规对其进行如下操作：①以点 为圆心，长为半径画弧，交于点 ，连 接和；②分别以点，为圆心，以 为 半径作弧，两弧交于点，作射线 ， 交于点，连接 ，则图中阴影部分的面 积为_ _________. 28 [解析] 由作图，知，又， 是等边三角形， .结合尺规作图，可知平分 ， ，. ， ，， ， . 29 16.如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在反比例函数的图象上，顶点 在 轴正半轴上，顶点，在轴正半轴上.以点 为 圆心，长为半径作弧，该弧经过点 ，则图中阴 影部分的面积为_________. 30 （第16题） [解析] 如图，连接，则 ， 是等边三角形， ， .过点作于点 ，则 .易知 ， , ， . 31 17.[2024重庆育才中学三模] 如图，在菱形 中， ，，连接，以 为直径画弧， 分别交，于点， ，则图中阴影部分的面积为 _________. 4 32 （第17题） [解析] 如图，设的中点为，连接交于点 ， 连接，， 在菱形 中， ， ， ， ， .由题意知 ， ，，是 的中点， , , , , 易得,, 均为等边三角形. , ,, , .易知， ， 33 ． 角度2 等积转化法 （第18题） 18.[2024开封二模] 如图,点是反比例函数 的图象与的一个交点,图中两块阴影部分的面积为, 则反比例函数的表达式为( ) D A. B. C. D. 35 [解析] 如图，连接与反比例函数 的图 象均是关于原点的中心对称图形， 阴影①与空白 ②关于原点对称， ， .过点A作轴于点B，则 ， ， ，解得 （正值已舍去），，， ，即 反比例函数的表达式 为 . 36 （第19题） 19.[2024威海中考] 如图，在扇形中， ， 点是的中点，过点作交于点，过点 作 ，垂足为点.在扇形内随机选取一点，则点 落在 阴影部分的概率是( ) B A. B. C. D. [解析] ，，， 四边形 是矩形， ,， 点C是 的中点， ,, , .又， 点 落在阴影部分的概率是 . 37 20.[2023河南省实验五模] 如图，在中， ，点在 上，与，相切，切点分别为点，.若 ，则阴影部分 的面积为___． （第20题） 38 （第20题） [解析] 如图，连接，，与交于点 与，相切，切点分别为点,， ， ，，又 , 四边形 是正方形， ， ， , .又 ， ， ， ， . 39 21.[2024河南省实验三模] 如图，四边形是平行四边形，是 的 直径，点在上，且 ，则图中阴影部分的面积为_ __. （第21题） 40 （第21题） [解析] 如图，连接，， ， ， 是等边三角形， ， ， .又， 是等边 三角形，， ， ， ， .过点作 于 点，则 ， . 41 22.如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点，且分别与轴、 轴相 交于点，.反比例函数的图象经过圆心 ，作射线 ，则图中阴影部分的面积为________. 42 （第22题） [解析] 如图，连接，设与 的另一个交 点为 ，为 的直径， .又 ， ， ， . 反比例函数 的图象、均关于直线对称， . 43 （第23题） 23.如图，是半圆的直径，点在半圆 上，把半 圆沿弦折叠，恰好经过点.若 ，则阴影 部分的面积是___. 44 （第23题） [解析] 如图，补全半圆，过点作 交半圆 于点，垂足为点,则点,关于对称，点 是 的中点.易知,,, 四边 形是菱形，， .易 知点是所在圆的圆心，记以点 为圆心的扇形 的面积为, ， . 45 （第24题） 24.[2024重庆九龙坡区模拟] 如图，在正六边形 中，和交于点，过点的直线交于点 （不与，重合），交于点．以点为圆心， 的 长为半径的圆交直线于点，．若 ，则图中两 块阴影部分的面积和为_ ______．（结果保留 ） 46 [解析] 六边形 是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， ，.易知交于点 ，则 ， ， . 47 角度3 容斥原理法 （第25题） 25.[2024洛阳一模] 如图,在中, , ,以点为圆心,长为半径作交边于点 , 以边为直径作半圆交边于点 ,则图中阴影部分的面积 为______. [解析] , , , . 48 （第26题） 26.如图，在中，, , ，以点为圆心， 长为半径画弧,分别 交,于点,，再以点为圆心， 长为半径 画弧,交于点 ，则图中阴影部分的面积是 _ ________. 49 [解析] 如图，连接, , ， 是等边三角形， ,， .又 ， , , ， ，, . 50 类型3 与最值相关的弧长或阴影面积的计算 27.如图，在中， ， ，.以点 为圆心，4为半径长 作弧，分别交边，于点，.点是边 上一动点，连接， ,则阴影部分的周长的 最小值为( ) B A. B. C. D. 51 [解析] 如图，作点D关于的对称点 ，连接 ，与的交点就是最小时点 的位置，的最小值为的长.过点 作 于点.在 中， ， ， .又 ， ， . , 阴影部分周长的最小值为 . 52 28.[2024平顶山三模] 如图，在扇形中， ,为的中点， 为 上任意一点，其中,当 的值最小时，图中阴影部分的面积 为________.（结果保留 ） （第28题） 53 [解析] 如图（1），作点关于 的 对称点，连接 ，则 ，当点,, 共 线时， 的值最小，如图（2）， 连接 ，则 ，，是等边三角形.又为 的 中点，，， ， . 54 29.[2023三门峡二模] 如图,在扇形中, ,,点是 的中点,点,分别为线段,上的点,连接,,当 的值最小时,图 中阴影部分的面积为_ ________. （第29题） 55 [解析] 当点,，共线，且时， 的值 最小，如图所示，连接，，，则点 为的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， . ， ， ， ， .又 ， . 56 （第30题） 30.如图，在中， ， , ,点是边上一动点，将绕点 顺时针 旋转，得到，点的对应点恰好落在 的延 长线上，连接,则的最小值为___，此时线段 扫过的面积（阴影部分）是___. 1 57 （第30题） [解析] ，, , ,, , .易得 .由题意知 , .易知当时， 的值 最小，最小值为1,如图,此时 .又 ， , , 线段扫过的面积 . 58 31.如图，在扇形中， ，，点,分别是， 上 的动点，且，点为的中点.点为的一个三等分点（靠近点 ）， 连接，.当 的值最小时，阴影部分的面积为__________. （第31题） 59 （第31题） [解析] 连接，则 .连接 ， ，点为的中点， . 易知，即,且点，, 共 线时，等号成立，此时 的长度最小，如图所示.过点 作于点，则， . 60 $$