2025年中考数学二轮题型精讲 题型二 规律探究题 （河南）

题型二 规律探究题 1 历年考法通览 2 类型1 数式或图形的规律探究 知识铺垫 解决数式或图形规律题的一般思路 1.标序号； 2.分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”,应结合各 式或图形的序号进行前后对比分析； 3.猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来; 4.验证所归纳的结论，从而进行后续解答. 3 1.[2024扬州中考改编] 1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列 数:1,1,2,3,5, ,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数 之和.则在这一列数的前2 025个数中,奇数的个数为_______. 1 350 [解析] 这一列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34， .奇数奇数 偶数， 奇数偶数奇数，偶数奇数 奇数，观察可知，每3个数为一组，每一组 前2个数为奇数，第3个数为偶数．由于 ，即前2 025个数共 有675组， ，因此奇数有1 350个． 4 2.[2024眉山中考改编] 已知且， , , ,，则 的值为____. [解析] ， ， ， ， 由上可知，每三个为一个循环. ， ． 5 3.[2024宁夏中考] 观察下列等式： 第1个： ； 第2个： ； 第3个： ； 第4个： ; …… 按照以上规律，第 个等式为________________________________________. 6 4.[2024重庆中考A改编] 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,如图 是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表 氢原子.第1种化合物有4个氢原子,第2种化合物有6个氢原子,第3种化合物有8 个氢原子……按照这一规律,第10种化合物中氢原子的个数是____. 22 [解析] 由题意知第1种化合物中氢原子的个数为 ，第2种化合物 中氢原子的个数为 ，第3种化合物中氢原子的个数为 第10种化合物中氢原子的个数为 ． 7 5.[2024泰安中考] 如图是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第____个“小屋子”中图形“ ”的个数是图形“ ”的个 数的3倍. 12 8 [解析] 分析如下： “小屋子”编号 “小屋子”中“_____”的个数 “小屋子”中“______”的个数 第1个 第2个 第3个 第4个 … … … 第 个 令，解得，为正整数， .故第 12个“小屋子”中图形“ ”的个数是图形“ ”的个数的3倍. 9 6.[2024遂宁中考] 在等边三角形三边上分别取点,, ，使得 ，连接三点得到，易得 ，设 ，则 . 如图（1），当时， ； 如图（2），当时， ； 如图（3），当 时， ； …… 10 直接写出，当时， ____. [解析] 根据题意，可得当时，， 当 时， . 11 类型2 平面直角坐标系中的规律探究 知识铺垫 解决平面直角坐标系中的规律探究题的一般步骤 第一步：分析图形的变化规律，根据图形的变化规律求出前面几个关键点的 坐标. 第二步：通过分析变化规律得到一般规律（如点变换的循环规律或点运动的 循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）. 第三步：根据最后的变换次数或运动时间等，确定要求的点与哪个关键点重 合，或要求的点与哪个关键点在同一象限内，或要求的点的横、纵坐标与哪 个关键点的横、纵坐标相等，等等. 12 角度1 旋转型 （第7题） 7.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与 轴的 正半轴交于点.点从点出发，沿 按逆时针方向运 动，运动速度为每秒个单位长度，则第200秒后点 的 坐标为( ) B A. B. C. D. 13 [解析] 如图，连接，设第1秒后， ，则 ，解得，故点每秒绕点 逆时针旋转 ，故点 每12秒为一个循环. ， ， 第200秒 后点在第三象限，过点作 轴于点B，易知 ， ， ， 点的坐标为 . 14 （第8题） 8.如图,在平面直角坐标系中,风车图案的中心为 正方形（正方形的中心为 ），四个叶片为全 等的平行四边形,其中一个叶片上的点, 的坐 标分别为,,将风车绕点 逆时针旋转, 每次旋转 ，则第2 025次旋转结束时,点 的 坐标为( ) B A. B. C. D. 15 [解析] 易求 风车绕点逆时针旋转，每次旋转 ，而 ， 每旋转12次为一个循环.而 ， ， 第2 025次旋转结束时点D的位置与第9次旋转结束时点 D的位置相同，即在第四象限，且此时点D到轴的距离为1，到 轴的距离为 3， . 16 （第9题） 9.如图，在中， ，顶点 在第一象 限，点，分别在轴、轴上，， ， .将绕点顺时针旋转，每次旋转 ，若 旋转结束时,点的对应点的坐标是 ，则旋转的次数 可能是( ) C A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 [解析] 绕点顺时针旋转，每次旋转 ， 每旋转4次为一个循环， 且第1,2,3,4,5， 次旋转结束时，点A的对应点 分别在第四象限、第三象 限、第二象限、第一象限、第四象限……若旋转结束时，点的坐标为 ， 则说明 旋转了整数个循环，故旋转的次数为4的整数倍，故选C. 17 （第10题） 10.[2024石家庄裕华区模拟] 如图，在平面直角坐标 系中，正八边形的中心与原点 重合，顶 点，在轴上，顶点，在轴上，连接 ，过点 作的垂线，垂足为，将绕点 顺时针旋转， 每次旋转 ，已知 ，则第82次旋转结束时， 点 的坐标为________. 18 [解析] 点是正八边形 的中心， .又, 点 的坐标为 绕点顺时针旋转，每次旋转 ， ， 每旋转8次是一个循环. , 第82次旋转结束时点 的位置 与第2次旋转结束时点的位置相同.如图，设点绕点顺时针旋转 后得 到的点为点，易知点,关于轴对称， 点的坐标为 ，故第82 次旋转结束时，点的坐标为 . 19 11.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点 重合，轴，交轴于点.将绕点顺时针旋转，每次旋转 ， 则第302次旋转结束时，点 的坐标为_ _______. ， （第11题） 20 [解析] 方法一：由题意可知， ， ，是等边三角形， ， ，. ， ， ， 旋转302次之后，位置如图所示，点 的对应点为 点，此时，过点分别作轴、 轴的垂 线，垂足分别为， ，则 ， ， ，， . 21 方法二：求点的坐标时，也可用中点坐标公式求解，易知点是 的中 点，，，1， 点的横坐标为，纵坐标为 ， ， . 22 （第12题） 12.[2024洛阳三模改编] 如图，在平面直角坐标系中，大正 方形 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成 的“赵爽弦图”,正方形的中心与原点重合， 轴， 正方形的面积为5,正方形的面积为1,将 绕 点顺时针旋转，每次旋转 ,则第2 024次旋转结束时， 点 的坐标为_ __________. 23 [解析] 绕点顺时针旋转，每次旋转 ， 每4 次为一个循环.又， 第2 024次旋转结 束时，点回到起点.如图，过点作于点 正 方形的面积为5，正方形 的面积为1， ，.设，则 .在 中,由勾股定理，得，解得， （舍去），， .易 证，， ， ，， ， ， . 24 角度2 平移或翻滚型 13.[2024内江中考改编] 如图,在平面 直角坐标系中,轴,垂足为点 ,将 绕点逆时针旋转到 的 位置,使点的对应点 落在直线 上,再将绕点 逆时 针旋转到的位置,使点 的对 应点也落在直线 上……如 此下去,若点的坐标为,则点 的坐标为_____________. 25 14.如图，矩形的顶点与原点 重合，顶点在轴负半轴上，顶点 在轴正半轴上，点的坐标为 . 将矩形沿 轴向右无滑动翻滚， 经过第1次翻滚，点的对应点记为；经过第2次翻滚，点 的对应点记为 以此类推，则经过第95次翻滚，点的对应点 的坐标为_________. 26 [解析] 矩形从第1次翻滚开始，每翻滚4次为一个循环节，且在每个循环节中， 点 的对应点的纵坐标依次为1,0，0，2，每个循环节的水平宽度为 , 经过第95次翻滚，点的对应点 的纵坐标与点的纵坐标相同，为0，横坐标为 ， ． 27 15.如图，，， ， ， ，均是边长为 的 等边三角形，边在轴上，点，， ， ， ，，都在经过原点的直线 上， 点，，， ，都在直线 的上方，则 点 的纵坐标为________. [解析] 易知,轴.过点作轴于点 ，则 ，故点的纵坐标为，同理可得点，，， 的 纵坐标依次为,,, ， 点的纵坐标为， 点 的纵坐 标为， 点的纵坐标为 . 28 角度3 渐变型 16.[2024武汉中考] 如图,小好同学用计算机软件绘制 函数的图象,发现它关于点 中心对称.若点,,, , , 都在函数图象上,这20个点的 横坐标从0.1开始依次增加 ,则 的值是( ) D A. B. C.0 D.1 29 [解析] 这20个点的横坐标从0.1开始依次增加 ， .又 该函数图象关于点 中心对称， ， .易知，即 .把 代入，得， ， ． 30 17.[2024广安中考改编] 如图，已知直线 与轴相交于点，以 为边作等 边三角形，点在第一象限内，过点作 轴的平行线与直线交于点，与轴交于点 ，以 为边作等边三角形（点在点 的上 方），以同样的方式依次作等边三角形 、等 边三角形 则点 的横坐标为 ________. 31 [解析] 令，解得， 点 的坐标 为，.如图，过点作轴于点 ， 过点作轴于点，交于点 为 等边三角形，， ， ，.当时，，解得 ， ，， ， ，.当 时， 32 ，解得，，， . 同理可得点的横坐标为 以此类推，点的横坐标为 . 18.[2023南阳宛城区二模改编] 如图，正 方形的中心与坐标原点 重合，将 顶点绕点逆时针旋转 得 点，再将绕点逆时针旋转 得点 ，再将绕点逆时针旋转 得点 ， 再将绕点逆时针旋转 得点 ，再 将绕点逆时针旋转 得点 以此类推，则点 的坐标是 ______________． 34 [解析] 点，，，，, 分别在第一象限、第二象限、第三象限、 第四象限、第一象限又， 点 在第三象限.易 知，，，，， 可 知当为奇数时，点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 点的坐标为 . 35 角度4 徘徊型 19.[2023三门峡二模改编] 如图,菱形 的四个顶点均 在坐标轴上.已知，,.点 是菱形 边上的一个动点,连接,把绕着点 顺时针旋转 得到，连接.若点从点 出发,以每秒5个单位长 度的速度沿 方向运动,则第2 026秒时, 点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 36 [解析] 由题意易知，， ，即菱形的边长为5.由题意， 可知点 第1秒运动至点D处，第2秒运动至点C处，第3秒运动至点B处，第4 秒运动至点A处……每4秒为一个循环.， 第2 026 秒时，点运动至点C处，此时,点在第一象限， 点 的坐标 为 . 37 20.如图，在平面直角坐标系中，对抛物 线 进 行如下变换：将抛物线向右平移2个单位长度，并沿 轴作轴对称变换，得到 一个新抛物线，然后将得到的新抛物线再向右平移2个单位长度，并沿 轴作 轴对称变换……将这样的变换无限进行下去，得到一条首尾相接的曲线.垂直 于轴的直线从点出发，沿轴正方向平移，每秒平移 个单位长度， 则第110秒结束时，直线 与该曲线的交点的纵坐标为____. 38 [解析] 由题意，可知每两段抛物线的水平宽为， 直线 每平 移8秒，其与该曲线的交点的纵坐标为1个循环.， 第 110秒结束时直线与该曲线的交点的纵坐标与第6秒结束时直线 与该曲线的 交点的纵坐标相同.由题意，可知，， 抛物线的表达式为 ， 抛物线 的顶点的纵坐标 为.第6秒结束时，直线与该曲线的交点为第二段抛物线的顶点， 其纵坐 标为 . 39 $$