2024-2025学年八年级第二学期期末检测数学试卷二（苏科版）

· 2024-2025学年八年级第二学期期末检测 · 数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．为了解我市中学生的防骗意识和反诈能力，下列最适合抽样调查的是（   ） A．在全市随机抽取2名学生 B．在全市中学生中随机抽取200名女生 C．在某一所中学随机抽取200名学生 D．在全市中学生中随机抽取200名学 3．下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 4．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 5．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 6．将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，的值随值的增大而减小 C．当时，函数在时取得最小值 D．函数值不可能为 第6题 第7题 7．如图，点，，分别是各边的中点，连接，，．下列说法错误的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是正方形 8．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 9．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．若，则的值为 ． 12．若，则的值为 ． 13．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 14．周末，王芳和李华相约去图书馆看书．王芳家距离图书馆5千米．李华家距离图书馆8千米．王芳骑自行车前往．李华坐公交车前往，李华坐公交车的平均速度是王芳骑自行车平均速度的两倍，他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆．设王芳的速度为x千米/小时，则可列方程： ． 15．若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ． 16．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 第16题 第17题 17．在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 第18题 三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 20．（本题6分）解分式方程： (1) (2) 21．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题6分）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A．乒乓球；B．足球；C．篮球；D．武术．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表． (1)本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“A．乒乓球”对应的扇形圆心角的度数是______； (3)若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数． 23．（本题8分）如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且．连接、、．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)当满足________条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 24．（本题8分）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． (1)填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． (3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 25．（本题8分）已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． (1)如图1，连接、．求证：四边形为菱形； (2)如图1，求的长； (3)如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 26．（本题8分）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______； (2)求分式的最小值 (3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 27．（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由。 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年八年级第二学期期末检测 · 数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2．为了解我市中学生的防骗意识和反诈能力，下列最适合抽样调查的是（   ） A．在全市随机抽取2名学生 B．在全市中学生中随机抽取200名女生 C．在某一所中学随机抽取200名学生 D．在全市中学生中随机抽取200名学 【答案】D 【分析】本题主要考查抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 根据抽样调查的样本要具有代表性和广泛性解答即可． 【详解】解：为了解我市中学生的防骗意识和反诈能力，最适合抽样调查的是在全市中学生中随机抽取200名学． 故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意； B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意； D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意； 故选：． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数不含开的尽方的因式或因数，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 5．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 6．将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，的值随值的增大而减小 C．当时，函数在时取得最小值 D．函数值不可能为 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握并利用正比例函数、反比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称， ∴叠加得到函数的图象也关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； B．在第一象限内，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，原说法不正确，故此选项符合题意； C．由图象可知：当时，函数在时取得最小值，原说法正确，故此选项不符合题意； D．由图象可知：或，因此函数值不可能为，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 7．如图，点，，分别是各边的中点，连接，，．下列说法错误的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，则可证四边形是平行四边形，由此可判断A正确；再根据矩形和菱形的判定可得B和C正确；先根据等腰三角形的判定可得，再根据菱形的判定可得四边形是菱形，由此即可判断D错误． 【详解】解：∵点，，分别是各边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，则选项A正确； 若，则四边形是矩形，选项B正确； 若，则， ∴四边形是菱形，选项C正确； 若平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵在题中，与不一定垂直， ∴无法得出四边形是正方形，则选项D错误； 故选：D． 8．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 9．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设 ，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， 由折叠可得：，，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设 ，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 12．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据题意求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解． 【详解】解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个）， 故答案为：15． 14．周末，王芳和李华相约去图书馆看书．王芳家距离图书馆5千米．李华家距离图书馆8千米．王芳骑自行车前往．李华坐公交车前往，李华坐公交车的平均速度是王芳骑自行车平均速度的两倍，他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆．设王芳的速度为x千米/小时，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，设王芳的速度为x千米/小时，则李华的速度为千米/小时，根据“他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设王芳的速度为x千米/小时，则李华的速度为千米/小时， 由题意可得：， 故答案为：． 15．若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先求出分式方程的解，再根据有整数解即可求得整数的值，计算即可得到答案． 【详解】解： 方程有解，则，则， ， 方程有整数解， ，， 或或或， 当时，，此时方程无解， 的值的和为， 故答案为：． 16．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 【答案】 【分析】分别求出矩形与的面积，再根据“矩形的面积是的面积的2倍”列出方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴取，则；取，则，解得：． ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ， ∵点是反比例函数的图象在第一象限内一点， ∴矩形的面积为， 当矩形的面积是的面积的2倍时，， 解得：（舍去）或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解． 17．在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键． 过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，可证，得到，，根据一次函数可得，，即得，，得到，即得反比例函数，同理得到，再根据平移得，最后代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵一次函数，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点向左平移个单位后为， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题6分）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键． （1）先把分式方程两边同时乘以，转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可； （2）先把分式方程两边同时乘以，转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得，， 解得：， 当时，， ∴是原方程的增根，此方程无解； （2）解： 去分母得， 解得： 当时，， ∴是原方程根． 21．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 其中，则原式． 22．（本题6分）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A．乒乓球；B．足球；C．篮球；D．武术．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表． (1)本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“A．乒乓球”对应的扇形圆心角的度数是______； (3)若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数为名 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键． （1）首先根据C项目的人数和百分比求出总人数，然后计算出B项目的人数，进而补全条形统计图； （2）求出“A．乒乓球”人数占总人数的比例，再乘以，可得答案； （3）用全校人数乘样本中喜欢“B．足球”的百分比得出人数． 【详解】（1）解：（1）(名)， 喜欢“B．足球”的人数为（名）． 补全条形统计图如图． （2）， 故答案为． （3）（名）． 答：估计该校最喜欢“B．足球”的学生人数为名． 23．（本题8分）如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且．连接、、．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)当满足________条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当满足时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，因为，所以，再结合，即可得证； （2）当满足时，四边形是矩形，由平行四边形的性质得，因为，所以，再结合四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：当满足时，四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 24．（本题8分）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． (1)填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． (3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 【答案】(1)是 (2)时，；时，；时， (3) 【分析】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可； （2）先根据“分裂分式”的定义列式求得分式A的表达式；再根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“分裂分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“分裂分式”； 故答案为：是； （2）解：∵分式是分式A的“分裂分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，； （3）解：设关于的分式的“分裂分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“分裂分式”， ∴， 整理得：， 解得：． 25．（本题8分）已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． (1)如图1，连接、．求证：四边形为菱形； (2)如图1，求的长； (3)如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了菱形的判定、三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，推出四边形为平行四边形，结合即可得证； （2）设菱形的边长，则，由勾股定理计算即可得出答案； （3）分情况讨论可得只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长，则， 在中，，由勾股定理得：， 解得：， ； （3）解：由作图可以知道，在上时，在上，此时四点不能构成平行四边形；同理，在上时，在或上，此时四点也不能构成平行四边形， 只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形， ， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒， ，， ， 解得：， 以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 26．（本题8分）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______； (2)求分式的最小值 (3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 【答案】(1)； (2)6 (3)用来做对角线的竹条至少要100厘米长 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）将化为根据题意即可解答； （3）得到，在根据题中公式即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得； ， 故式子的最小值为， 故答案为：；； （2）解：， ∴的最小值为6； （3）解：四边形的面积； ∴， ∴， 答：用来做对角线的竹条至少要100厘米长． 27．（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) (2) (3)存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数解析式等知识点，掌握交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后运用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）如图：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，可得，则设点B，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标；然后分是平行四边形的对角线三种情况，并通过邻边验证即可解答． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴， 将代入 得：，解得， ∴反比例函数表达式为 ． （2）解：设点，那么点， 由可得：， ∴，解得 （舍去）， ∴． （3）解：如图2：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，则， ∴， ∵点A绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点B，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ∴，解得 （舍去）． ∴，． 如图：当是平行四边形的对角线时， 设， ∵，，，四边形是平行四边形． ∴，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是菱形，符合题意； 当是平行四边形的对角线时，同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意； 当是平行四边形的对角线时，． ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意． 综上，存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$