精品解析：湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（A卷）

名校联考联合体2025年春季高一年级期中联考 数学（A卷） 时量：120分钟 满分：150分 （考试范围：必修第一册，必修第二册第六､七､八章） 得分：__________ 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组，计算出，得到交集. 【详解】由方程组，解得，则. 故选：C． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案. 【详解】，则. 故选：B． 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】若， 则，即， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】利用反例说明A，根据面面平行的性质判断B，根据线面平行的性质判断C，根据线线位置关系判断D. 【详解】对于A：共线的三点不能确定一个平面，故A错误； 对于B：平行于同一个平面的两个平面平行，故B正确； 对于C：若直线与平面平行，则与平面内的直线可能平行或异面，故C错误； 对于D：垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故D错误. 故选：B. 5. 若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数量积的定义求，，，再根据可求. 【详解】，. 则，则. 故选：C 6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，利用由余弦定理计算即可. 【详解】设，则， 在中，，则， 解得，则. 故选：B． 7. 已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案. 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 8. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的函数 B. C. 函数为奇函数 D. 函数有5个零点 【答案】D 【解析】 【分析】由题设有，再作进一步变形判断A；利用周期性及已知区间解析式求函数值判断B；由奇偶性定义判断C；问题化为和的图象的交点个数，数形结合判断D. 【详解】A，为上的奇函数，为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 即，则是以4为周期的函数，错误； B，是上的奇函数，则是以4为周期的函数，则， 当时，，则，则， 所以，错误； C，为偶函数，所以，即，故是偶函数，错误； D，函数的零点个数等价于和的图象的交点个数， 而，结合和的图象，共有5个交点，正确． 故选：D 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要永，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，令，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的解集为 C. 是奇函数 D. 在区间上单调递增，在区间上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据函数单调性和定义域得到不等式，求出不等式解集；C选项，先求出函数定义域，再得到，C正确；D选项，在上单调递增，在上单调递减，从而得到D错误. 【详解】A选项，由已知，，故， 解得，所以的定义域为，A正确； B选项，由，得解得正确； C选项，的定义域为， 又， ∴为奇函数，C正确； D选项，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，D错误． 故选：ABC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 在区间上的值域为 C. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 D. 若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦型函数的性质，图象的平移变换及函数的零点问题逐项判断求解即可. 【详解】对于A，由，解得，选项A正确； 对于B，令，由得在上单调递增，在上单调递减， 的值域为，选项B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又， 即 ， ，即，选项C正确； 对于D，令在区间上恰有两个零点， 在区间上恰有两个零点， ，解得，选项D正确． 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为2 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理证明判定A，连接，根据异面直线夹角定义知为与所成的角，然后由余弦定理求解即可判断B，将点到平面的距离即为点到平面的距离，利用等体积法求解判断C，利用补体法求得外接球的半径，代入球的体积公式求解判断D. 【详解】平面， 平面，又平面，， 同理可证，又平面， 平面，A正确； 连接，四边形为平行四边形，， 则为与所成的角. 在中由余弦定理可得，B正确； 点到平面的距离即为点到平面的距离， ， 在中，， ， 点到平面的距离为，C错误； 四面体的外接球即正方体的外接球，所以直径为， 故其外接球体积为，D正确. 故选：ABD 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数及对数运算律计算求解. 【详解】． 故答案为：. 13. 如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转所成的两个半球，且可合为一个半径为10的球体，即可求表面积. 【详解】由图象知，以直线为轴旋转，弧和线段旋转一周形成的面所围成的 几何体是两个半径均为10的半球，可合为一个完整的球， 故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积， 即． 故答案为： 14. 如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是______；若，则的值是______． 【答案】 ①. ②. ##0.4 【解析】 【分析】根据向量的线性运算表示出，结合数量积的运算求解，即可得第一空答案；过点作交于点，设，表示出，结合求出，即得，继而推得，即可得第二空答案. 【详解】因为， 所以， 所以 ． 过点作交于点，设， 则 ， ， 解得，所以， 又，而， 所以，解得， 所以， 所以，即得． 故答案为：； 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，，． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及此时x的值． 【答案】（1） （2）时，的最小值为0 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得的解析式，利用正弦函数周期公式，即可求得答案； （2）根据，确定，利用正弦函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 故函数的最小正周期为． 【小问2详解】 由，可知， 结合正弦函数单调性知在时取得最小值，此时， 所以取得，． 16. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． （1）求顶点D的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）方法一：根据求点坐标. 方法二：根据先求，再根据可求点坐标. （2）先求，判断的形状，再求其面积. 【小问1详解】 法一：设顶点的坐标为， 因为，， 又，所以， 即，解得.所以点的坐标为． 法二：由向量加法的平行四边形法则可知，其中为坐标原点， ， 而，所以点的坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，故， 因此是直角三角形． . 17. 如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） 点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面，∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴，∴， 又，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 18. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且． （1）判断的形状； （2）若D为AC的中点，且，求面积的最大值及此时的三边长． 【答案】（1）等腰三角形． （2）最大值为6， 【解析】 【分析】（1）方法一：根据正弦定理、余弦定理，从边的角度判断三角形的形状. 方法二：利用正弦定理实现边化角，再结合三角形内角和公式与两角和的余弦公式，从角的角度判断三角形的形状. （2）方法一：在和中，利用余弦定理表示，列式可得的数量关系，再结合基本不等式可求面积的最大值及对应的边长. 方法二：建立平面直角坐标系，用解析法探索的关系，再结合基本不等式可求面积的最大值及对应的边长. 【小问1详解】 法一：，由正弦定理得， 由余弦定理得， 化简得，即， 故为等腰三角形． 法二：， 由正弦定理得， 整理得， 即， ，即， ， 整理得，即， 故为等腰三角形． 【小问2详解】 法一：由为的中点，且，可得， 由余弦定理得，， 整理得， 如图1，过点向作垂线，垂足为点，由（1）易知， 在中，由勾股定理可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时面积的最大值为6， 由解得， 综上，面积的最大值为6，此时． 法二：建立平面直角坐标系如图2，由（1）可得， 由为的中点可得， 因为，由两点间距离公式可得， 整理得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时面积的最大值为6， 由，可得，则， 综上，面积的最大值为6，此时. 19. 将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性． （1）判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向． ①； ②（其中表示不超过x的最大整数）； ③． （2）已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，． （ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标； （ⅱ）证明在方向上具有平移不变性； （ⅲ）求． 【答案】（1）在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性． （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明如下： 设点在函数的图象上，则由题 点关于直线对称后的点在函数的图象上，则点关于点对称后的点在函数的图象上，则关于直线对称后的点在函数 的图象上，则关于点对称的点在函数的图象上．所以在方向上具有平移不变性． （ⅲ） 【解析】 【分析】（1）由平移不变性定义结合函数周期性可得答案； （2）（ⅰ）由题中所提及信息可得答案；（ⅱ）设点在函数的图象上，由题中信息可得在函数的图象上，即可完成证明；（ⅲ）由（ⅱ）可得，然后令，结合，在上可得答案. 【小问1详解】 注意到； ； ． 所以函数在方向上具有平移不变性； 函数在方向上具有平移不变性； 函数在方向上具有平移不变性，其中； 【小问2详解】 （ⅰ）由题目中所给信息可得：点关于直线对称的点是 ，点关于点对称的点是． （ⅱ）略 （ⅲ）由（2）， ，注意到. 设点在函数的图象上，其中， 则在函数的图象上，其中， 令，则， 所以． 【点睛】关键点睛：对于函数新定义问题，关键为读懂定义；将新问题转化为与已解决问题有关的问题，是我们常见处理问题的手段. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体2025年春季高一年级期中联考 数学（A卷） 时量：120分钟 满分：150分 （考试范围：必修第一册，必修第二册第六､七､八章） 得分：__________ 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 5. 若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的函数 B. C. 函数为奇函数 D. 函数有5个零点 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要永，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，令，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的解集为 C. 是奇函数 D. 在区间上单调递增，在区间上单调递减 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 在区间上的值域为 C. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 D. 若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 11. 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为2 D. 四面体的外接球的体积为 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______． 13. 如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______． 14. 如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是______；若，则的值是______． 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，，． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及此时x的值． 16. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． （1）求顶点D的坐标； （2）求的面积． 17. 如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且． （1）判断的形状； （2）若D为AC的中点，且，求面积的最大值及此时的三边长． 19. 将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性． （1）判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向． ①； ②（其中表示不超过x的最大整数）； ③． （2）已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，． （ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标； （ⅱ）证明在方向上具有平移不变性； （ⅲ）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $