专题19 一次函数与方程、不等式的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题19 一次函数与方程、不等式的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 2 类型二、利用图象法解一元一次方程 3 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 5 类型四、图象法解二元一次方程组 7 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 9 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1.一次函数与一元一次方程的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 2.一次函数与二元一次方程的关系 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3. 一次函数与不等式的关系 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 压轴题型讲练 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 类型二、利用图象法解一元一次方程 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数与（是常数，且）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x、y的方程组的解是 ． 2．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为 ． 类型四、图象法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为 . 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 2．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 3．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为 ． 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，一次函数的图象与y轴的交点为，则不等式的解集是 ． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ． 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是__________． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数与的图象相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C．任意数对 D．不能确定 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，函数，交于点，直接写出的解集（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三 7．（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（   ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 二、填空题 8．（2025·湖南长沙·二模）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 10．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 11．（北京市通州区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）如图，直线与直线交于点，则不等式的解集为 ． 12．（24-25八年级下·北京西城·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是 ． 13．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 三、解答题 15．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像与轴交于点，且经过点． (1)求点的坐标和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出的解集． 16．（山东省青岛市西海岸2024—2025学年下学期八年级期中数学试题）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图像如图所示，已知A，B两点的坐标分别为，，观察图像回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是____________； (2)若C点的坐标为，则关于x的不等式的解集是____________； (3)关于x的不等式组的解集是____________． 17．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． (1)填空：不等式的解集是________． (2)若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 18．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 19．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 20．（24-25八年级下·河南郑州·期中）我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 一次函数与方程、不等式的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 2 类型二、利用图象法解一元一次方程 3 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 5 类型四、图象法解二元一次方程组 7 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 9 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1.一次函数与一元一次方程的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 2.一次函数与二元一次方程的关系 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3. 一次函数与不等式的关系 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 压轴题型讲练 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 类型二、利用图象法解一元一次方程 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于的方程一元一次方程的解就是一次函数当函数值为时的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知，一次函数与轴交点的横坐标为， 关于的方程的解为：， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了根据一次函数图象求对应方程的解，理解一次函数中点的关系与方程的解的关系是解题的关键． 根据一次函数经过的点判定方程的解即可求解． 【详解】解：直线经过点，即当时，， ∴方程的解为， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数与（是常数，且）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，理解交点的横纵坐标就是两个解析式联立的二元一次方程的解是解决问题的关键，根据题意得到答案即可； 【详解】解：∵一次函数与是常数，的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点代入直线上，求出的值，再根据交点坐标得到对应二元一次方程组的解即可． 【详解】解：将点代入直线上， 得， 即直线与相交于点， 则关于x、y的方程组的解是， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图像的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：把代入， 可得，， 方程组的解为：， 一次函数和的图象的交点坐标为：， 故答案为：． 类型四、图象法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为 . 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据方程组的解与函数交点坐标的关系求解．本题考查了一次函数与方程组的关系，正确理解这种关系是解题的关键． 【详解】解：依题意，方程组的解即为这两个一次函数图象的交点坐标， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一次函数的交点与二元一次方程组的解，把代入可得出，进而即可得出关于x，y的方程组的解． 【详解】解：把代入， ∴， ∴点， ∵一次函数与的图象交于点 ∴关于x，y的方程组的解为：， 故答案为： 2．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了根据直线的交点求出二元一次方程组的解， 将点代入求出a，进而得出点P的坐标，结合图象可得二元一次方程组的解. 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ∴一次函数关系式为. 当时，. ∴方程组的解是. 故答案为：. 3．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得出与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵与的图象交于， ∴与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 由图象可知，经过点，然后求出，再代入得，最后解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，一次函数的图象与y轴的交点为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式， 先求出，可得，再根据，可知，求出解集即可. 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点为， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， 解得. 故答案为：. 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，由直线与轴的交点分别为，得到当时，，再由函数随的增大而增大，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点分别为， ∴当时，， 由图可知，函数随的增大而增大， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据图象，得到直线交轴于点为，结合可得到． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到直线交轴于点为， 由， 故． 故答案为：． 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，将两个函数表达式联立成方程组，解此方程组即可求出点的坐标，再根据函数图象和点的坐标即可得到结果．求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， 根据图象可知，当时，， ∴当时的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】判断一次函数的图象、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据不等式表示的是直线位于直线的下方，结合函数图象即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上， 将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上， 如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线， ∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为， ∴结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据交点坐标求不等式的解集，掌握一次函数和一元一次不等式的关系是解题关键． 先对不等式移项，整理，可得，即，再根据图象可知，当时，，从而求出不等式的解集． 【详解】解：整理得：， 即，即， 由图象可知，一次函数与相交于点，在交点和交点的右侧，， 时，， 的解集是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是__________． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②P点坐标为或或或． 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过坐标轴上，两点， ∴当时，，即 ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数与的图象相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C．任意数对 D．不能确定 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标， 所以方程组的解是． 故选：B． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，函数，交于点，直接写出的解集（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集， 先确定两条直线的交点，当时，，再观察直线在上方时得出自变量的取值范围即为答案． 【详解】解：观察图像可知的解集是． 故选：A． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，即． 故选D． 6．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的性质，根据方程组无解可知两条直线无交点，即两直线平行，从而列方程求得k的值，然后再根据一次函数图象性质作出判断． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组无解， ∴直线与直线无交点，即两直线平行， ∴， 解得：， 当时，一次函数， 其函数图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 7．（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（   ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、判断一次函数的增减性、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意； D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题 8．（2025·湖南长沙·二模）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握从图象上获得信息是解题的关键；从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知：函数的图象经过，并且函数值随的增大而减小， 当时，函数值小于，即关于的不等式的解集为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式与一次函数解图象的关系． 由直线经过，即可求出不等式的解集． 【详解】解：∵直线经过， ∴从图象可得不等式的解集为． 故答案为． 11．（北京市通州区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）如图，直线与直线交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式即可． 【详解】解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·北京西城·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴关于、的方程组的解是． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了根据一次函数的交点确定不等式的解集，根据两个一次函数的交点坐标为并结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴由图象可得：不等式的解集为， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，故①正确，②错误；由直线与直线的交点横坐标为，得到方程的解是，故③正确；由图象可知，当时，直线在直线的上方，得到不等式的解集是，故④错误；即可得到答案． 【详解】解： 由图象可知， 故①正确，②错误； 直线与直线的交点横坐标为， 方程的解是， 故③正确； 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 即， ， 不等式的解集是， 故④错误； 综上所述，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 三、解答题 15．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像与轴交于点，且经过点． (1)求点的坐标和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出的解集． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质等知识点，正确求出的值是解题关键． （1）把点代入直线的解析式求出的值，根据点、的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∵一次函数的图像与一次函数的图像交于点，的图像经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵ ∴由图像可知：的解集为：． 16．（山东省青岛市西海岸2024—2025学年下学期八年级期中数学试题）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图像如图所示，已知A，B两点的坐标分别为，，观察图像回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是____________； (2)若C点的坐标为，则关于x的不等式的解集是____________； (3)关于x的不等式组的解集是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， 故答案为： （2）解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为． 故答案为： （3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 故答案为： 17．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． (1)填空：不等式的解集是________． (2)若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 【答案】(1) (2)①② 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （2）①由函数图象可知，找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案； ②利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①由函数图象可知，当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； ②∵一次函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 【答案】(1)， (2)不等式的解集是．的面积为 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）解：点的坐标为， 由图象可知，不等式的解集是． ，点， ， ． 19．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点横坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可；②记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，， ∴关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 故答案为：， （2）∵关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式组的解集， 故答案为： （3）①点C的坐标为．, ∴的面积为， 故答案为： ②，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， 20．（24-25八年级下·河南郑州·期中）我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集、求不等式组的解集、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，两点距离计算公式，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出，，，当时，由勾股定理建立方程求解；当时，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，； （3）解：①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； ②令，则， ∴， ∴， ∴，，， 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$