专题18 一次函数中含参数问题的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题18 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 11 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如(为常数)的函数为一次函数．根据定义得：且，求出m的值即可． 【详解】解：∵是y关于x的一次函数， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数，由此即可得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数是一次函数， 且， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 3.（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象不经过第二象限，可得且，进一步求解即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（，k，b为常数），当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．根据题意可得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的函数值随的增大而减小得出，解不等式求解即可得答案． 【详解】解：∵一次函数的函数值随增大而减小， ∴， 解得：． 故答案为： 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，随增大而增大；当时，将随的增大而减小．先根据当时，有，得到随的增大而减小，所以的比例系数小于0，那么，解不等式即可求解． 【详解】解：当时，有 随的增大而减小， ， ． 故答案是：． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．点，点在该函数的图象上，若，则 B．当时，该函数图象经过一、三、四象限 C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，一次函数的性质和一次函数图象的平移问题，根据增减性可判断A；根据一次函数图象与其系数的关系可判断B；先根据方程的解的定义得到，则解析式为，据此可判断C；求出平移后的解析式，再利用待定系数法求出b的值即可判断D． 【详解】解；∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，点在该函数的图象上，且， ∴，故A错误，不符合题意； 当时，该函数图象经过二、三、四象限，故B错误，不符合题意； 若关于x的方程的解是，则，则，则的图象恒过点，故C正确，符合题意； 该函数的图象向右平移2个单位后的解析式为， 把代入中得，解得，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标是 B．若两点在上，且，则 C．点在上 D．经过第一、二、三象限 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与轴交点判断A，利用增减性分析B选项，将代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限问题． 【详解】解：∵直线（为常数且）经过点， ∴， 解得：， ∴ 则直线向上平移3个单位后得到， 当，则与轴的交点坐标是，故A错误，不符合题意； ∵，则随的增大的增大， 那么若两点在上，且，则，故B错误，不符合题意； 当时，，则点不在上，故C错误，不符合题意； 由于，则图象经过第一、二、三象限，故D正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（　　）个 ①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是； ②若，则一次函数图象上任意两点和满足：； ③若一次函数的图象不经过第四象限，则；     ④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，函数图形经过的象限的判定方法，函数图象与坐标轴交点的计算等知识是解题的关键． 把点代入一次函数可得一次函数的解析式，由此得到一次函与坐标轴的交点，结合面积的计算可判定①；根据一次函数的增减性可判定②；根据函数经过象限的判定方法可得③；根据函数图象的中函数值的大小的判定，一次函数图象平行的性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：若点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴一次函数图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故①错误，不符合题意； 若，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大， ∴图象上任意两点和， 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， 综上所述，，故②错误，不符合题意； ∵一次函数， ∴当时，，即一次函数恒过， 若一次函数的图象不经过第四象限，则， ∴，故③错误，不符合题意； 若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有， ∴一次函数（）和平行， 当时，，则， 当时，，成立， ∴的取值范围是或，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共1个， 故选：A ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）关于一次函数，给出下列说法正确的是 ． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 【答案】①③④ 【知识点】一次函数图象平移问题、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：若点，在该函数图象上，且， ， y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， ，原说法错误，故②不符合题意； 正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意； 令，则该函数恒过定点，说法正确，故④符合题意； 故符合题意的有①③④， 故答案为：①③④． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·福建漳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项均不符合； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、三、四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布．根据“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”即可判断． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限，可以排除选项BC； 当时， ∴直线经过第一、三象限，直线与轴的交点在原点上方，选项A不符合题意； 当时， ∴直线经过第二、四象限，直线与轴的交点在原点下方，选项D不符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据选项中的图象先判断函数中的取值范围，再根据函数的图象经过的象限判断、的取值范围即可求解． 【详解】解：A、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； B、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； C、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； D、图象中，函数：；函数：，，一致，此选项符合题意． 故选：D． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为6， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图象经过第一象限，且， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、比较一次函数值的大小、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 【答案】C 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选C． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在一次函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，由一次函数的性质可得，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在一次函数的图象上，随的增大而减小， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）函数是一次函数，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是∶k、b为常数，且，自变量次数为1．根据一次函数定义可得且，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得∶， 故选∶D． 4．（24-25八年级下·上海·期中）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．根据，以及直线中随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：对于来说， ， 随的增大而减小， 点，点都在直线上，且， ， 故选：A． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）关于一次函数，给出下列说法正确的是（    ） ①无论取何值，点一定在该函数图象上； ②当时，该函数图象不经过第四象限； ③若，该函数图象可以看成正比例函数的图象向下平移2个单位得到； ④若点，在该函数图象上，且，则． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：令，则， 无论取何值，点一定在该函数图象上， 故①正确； 若该函数不经过第四象限，则， 解得， 故②正确； 当时，函数为， 正比例函数的图象向下平移2个单位得， 故③错误； ，， 随的增大而增大， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①②④， 故选：C ． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）若函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为，可得答案． 【详解】解；由是一次函数，得 解得， 故答案为：1． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如果一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．根据题意可知，解之即可得到答案． 【详解】解：一次函数的函数值随的值增大而增大， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数的性质与不等式组的综合，由一次函数的性质列出不等式组是解题的关键． 根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围． 【详解】解：根据题意得 解不等式①得 解不等式②得 所以该不等式组的解集为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】先此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解、的长度是解题的关键．根据解析式确定点、的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案． 【详解】解：令中得，令得， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，过点O作，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得一次函数经过定点，即可得出当点与定点重合时，取最大值，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过定点， ∴当点与定点重合时，取最大值， 点分别向作轴，轴做垂线， 由勾股定理可得最大值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东茂名·期中）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1)． (2)，； 【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，掌握注意一次项的系数不能为零是解题的关键． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数可得 【详解】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． 答∶当时，是一次函数； （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， ∴，时，是正比例函数． 12．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、正比例函数的定义、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一次函数图象的性质，一元一次不等式等知识点，解题的关键是准确掌握正比例函数的定义和一次函数图像的性质． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据一次函数图象经过的象限可得，且，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：根据正比例函数的定义可得， ， 解得，且此时， 所以的值为1； （2）解：根据题意得， ∴，且， 解得， 所以，的取值范围为． 13．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），与轴交于点． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出的值； （2）当时，函数为，令，解得，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵函数（为常数），且是关于的正比例函数， ， 解得． （2）解：当时，函数为：， ∵函数与轴交于点． 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 14．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象性质， （1）根据“一次函数，，为任何数，随的增大而增大，，为任何数，随的增大而减小，”列出不等式求解即可； （2）根据“一次函数图象经过原点，，”列式求解即可； （3）根据“一次函数的图象经过一、二、三象限时，，， ”列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， （2）当m、n是满足时，即时函数图象经过原点； （3）若图象经过一、二、三象限，则，． 解得． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且． (1)若，分别求出、与轴的交点坐标； (2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； (3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 【答案】(1)、与轴的交点坐标分别为 (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把代入可得、的解析式，然后问题可求解； （2）把点代入一次函数的表达式，然后可得m、n的关系，进而问题可求解； （3）由函数的图像不经过第一象限，可得，，然后把点代入函数解析式可得m、n的关系，进而可建立不等式进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 分别令代入可得：，， 解得：，， ∴、与轴的交点坐标分别为； （2）解：把点代入一次函数的表达式得：， ∴， ∴， 令，则有， 解得：， ∴函数的图像与轴交点坐标为； 故答案为； （3）解：由函数的图像不经过第一象限，可得，， 把点代入得：， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知关于的一次函数的图象为直线． (1)试说明：无论为何值，直线总经过点； (2)当时，函数最大值与最小值的差为4，求的解析式； (3)已知关于的一次函数图象为直线，点为上任意一点，过点作轴的平行线，交于点．若点始终在点的上方，试探究与的数量关系，并求出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)的解析式为或 (3)， 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）根据当时，，即可求解； （2）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解； （3）设点的坐标为，根据题意可知，即恒成立，即，对于任意都成立，可得，即， 此时，即，可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：对于， 当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； （2）解： 当时，随增大而增大， 则当时，，为最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴，解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴，解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或； （3）设点的坐标为， ∵过点作轴的平行线，交于点 ∴点的坐标为， ∵点始终在点的上方， ∴，即恒成立， 即，对于任意都成立， ∴，即， 此时，即， 解得：， 综上，，． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 11 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若函数是一次函数，则 ． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数，则 ． 3.（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．点，点在该函数的图象上，若，则 B．当时，该函数图象经过一、三、四象限 C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标是 B．若两点在上，且，则 C．点在上 D．经过第一、二、三象限 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（　　）个 ①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是； ②若，则一次函数图象上任意两点和满足：； ③若一次函数的图象不经过第四象限，则；     ④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）关于一次函数，给出下列说法正确的是 ． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·福建漳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（   ） A．B．C． D． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．k为一切实数 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在一次函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）函数是一次函数，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海·期中）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）关于一次函数，给出下列说法正确的是（    ） ①无论取何值，点一定在该函数图象上； ②当时，该函数图象不经过第四象限； ③若，该函数图象可以看成正比例函数的图象向下平移2个单位得到； ④若点，在该函数图象上，且，则． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）若函数是一次函数，则的值为 ． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如果一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，过点O作，垂足为，则的最大值是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东茂名·期中）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 12．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 13．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），与轴交于点． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若，求点的坐标． 14．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且． (1)若，分别求出、与轴的交点坐标； (2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； (3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 16．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知关于的一次函数的图象为直线． (1)试说明：无论为何值，直线总经过点； (2)当时，函数最大值与最小值的差为4，求的解析式； (3)已知关于的一次函数图象为直线，点为上任意一点，过点作轴的平行线，交于点．若点始终在点的上方，试探究与的数量关系，并求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$