精品解析：江苏省马坝高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期高一年级期中考试 高一数学试题 2025.4 试卷说明：考试时间120分钟，总分150分． 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设是虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 5. 与向量平行的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，已知，，，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 11. 已知锐角三角形三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的周长最小值为6 D. 的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与共线，则_______． 13. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为______. 14. 已知，，，，则__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 16. 已知向量，，求： （1）； （2）向量与的夹角的余弦值． 17. 已知,且, （1）求的值. （2）求的值 （3）求的值 18. 已知在中，，，. （1）求角的大小； （2）求的长； （3）求的值． 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，求的值； （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高一年级期中考试 高一数学试题 2025.4 试卷说明：考试时间120分钟，总分150分． 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设是虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算化简复数，再根据复数虚部的概念即可判断. 【详解】由题意知，， 所以复数的虚部为2. 故选：B 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再利用复数的除法化简. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到． 【详解】，， ，，， 设与夹角的余弦值为， ，所以． 故选：． 4. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简，求出，进一步求得，即可得解． 【详解】由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形． 故选：A 5. 与向量平行的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解． 【详解】因为与向量平行的单位向量是，， 所以所求单位向量为，即或 故选：D 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因为，所以．即值域为， 故选：C． 7. 已知，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系结合求解． 【详解】因为，，所以， 又，则，， 又，所以， 所以， ， 故选：D. 8. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求△ABC面积的最大值． 【详解】， ， 即， 即， 则， 整理得， ∴， 当且仅当时取等号， ， 则． 故选：C． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，已知，，，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理求出，根据可得或. 【详解】由正弦定理得，得， 因为，且，所以或. 故选：AC. 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】因为，所以， 对于选项A，因为，所，故选项A正确； 对于选项B，因为复数z在复平面内对应的点为，故选项B正确； 对于选项C，，所以，故选项C错误； 对于选项D，设，则由，得到，又，由几何意义知，可看成圆上的动点到原点的距离，所以的最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知锐角三角形三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的周长最小值为6 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知，利用三角形的性质、正弦定理以及三角函数的性质进行计算求解. 【详解】因为在中，，，设的外接圆的半径为，则， 对于A选项，由正弦定理有：, 又，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理有：， 因为锐角三角形，且，则，解得， 则，故，即，故B错误； 对于C，的周长 ， 又，所以，故， 则，故C错误； 对于D， ， 又，所以，故,即，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与共线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以，故． 故答案为：. 13. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积. 【详解】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 14. 已知，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 由题意，复数， 所以， 则， 因为为纯虚数，所以，解得； 【小问2详解】 复数， 因为复数在复平面对应的点在第一象限， 所以，解得 16. 已知向量，，求： （1）； （2）向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用坐标表示，再利用模长的坐标表示，即得解； （2）先用坐标表示，再计算，由，即得解 【小问1详解】 由题意，， 故 【小问2详解】 由题意， 故 ， 故 17. 已知,且, （1）求的值. （2）求的值 （3）求的值 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】 （1）由题意利用同角三角函数的基本关系，把条件平方，即可求得的值（2） 先求得为钝角，由，求得和的值，从而求得（3）由（2）可得的值． 【详解】（1）已知， ，求得． （2）当时，， 为钝角，由， 求得，， （3）． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题． 18. 已知在中，，，. （1）求角的大小； （2）求的长； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式和三角形的面积公式可得，结合角的范围即可求解； （2）由（1）求出，再根据余弦定理的长即可； （3）先由余弦定理求出角，根据二倍角公式求出与，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题知：，， . ，，即角的大小为. 【小问2详解】 由（1）知：，，且， . 由余弦定理可得， ，即的长为. 【小问3详解】 由（1）知：，. 由余弦定理可知， ， ，. . 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，求的值； （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】（1），对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 ， 令，则，， 函数的对称中心为． 【小问2详解】 由可知，， 化简有， 则 ． 【小问3详解】 由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $