精品解析：广东省东莞市虎门镇2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第二学期期中教学质量自查 初二年级数学科目 班级：_____姓名：_____学号：______成绩：_______ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. 是最简二次根式，符合题意； B. ，不是最简二次根式，不符合题意； C. ，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，分母有理化，二次根式的加法计算，理解运算法则是解答关键． 利用分母有理化来判定A，利用同类根式的定义来判定B，利用二次根式的除法来计算求解C，利用二次根式的乘法来计算求解D． 【详解】解：A．，此项计算错误，故此项不符合题意； B． 与不是同类根式，不能进行加法计算，故此项不符合题意； C．，此项计算错误，故此项不符合题意； D．，此项计算正确，故此项符合题意． 故选：D． 3. 在中，，则（ ） A. 3 B. 1 C. 或1 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．在中，分两种情况：当时，当时，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：当时，，， 由勾股定理得：， 当时，，， 由勾股定理得：， ∴或3， 故选：D． 4. 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量一组邻边是否相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是关键． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选C． 5. 如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，可得答案． 【详解】解：，得 ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质． 6. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴，   故选：A ． 7. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 5．5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点F为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得． 【详解】解： 在中，， ∴， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ∴点F为的中点， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确求出是解题的关键． 8. 如图，在矩形中（），对角线，相交于点，点关于的对称点为．连接交于点，连接，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，得，，，由勾股定理得，又点关于的对称点为，则，通过等面积法求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对勾股定理，平面展开-最短路径问题等知识点的理解和掌握，根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：可把圆柱侧面展开如图所示， 由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， ，， 由勾股定理得：， 故选：C． 10. 如图，已知四边形为正方形．，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，故③正确；由此推出平分，故④正确；进而求得，故②错误；故选． 【详解】解：过作，过作于，如图所示，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴，， ∴， 在和中 ∴ ∴，，故③正确， ∵， ∴， ∴平分，故④正确； ∵， ∴ ∴，故②错误； 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平行四边形中，，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得出，，由已知条件求出，即可得出结果． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ， 解得：， ； 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，根据平行四边形的性质得，，，则，由角平分线的定义得，从而有，再根据等角对等边的性质可得，根据线段和差，再求出的周长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 14. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为，过点C作于B， 则 在中， 即， 解得：，即旗杆的高度为17米． 故答案为：． 15. 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键． 连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为2的菱形，， ，是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 三．解答题一（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解； （2）先化简二次根式以及计算零指数幂，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式的混合运算、运用乘法公式进行因式分解等知识点，灵活掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先求出，然后对原式进行因式分解后代入计算即可； （2）先求出、，然后对原式进行因式分解后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段、、的长； （2）判断的形状，并说明你的理由． 【答案】（1） （2）直角三角形， 理由如下： ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出三条线段的长即可． （2）利用勾股定理逆定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：由勾股定理，得：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查勾股定理和逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 19. 如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵，平分交于点， ∴， ∴为中点， ∵点为的中点， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，中位线定理，平行四边形的判定，由，平分交于点，得，即为中点，从而可得为中位线，所以，然后根据平行四边形的判定即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 由四条线段、、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】（1） （2）4800（元）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积； （2）根据面积乘以单价即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接， ∵，、， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ； 【小问2详解】 解：在该空地上种植草皮共需（元）． 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，与相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，根据矩形的性质可证，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，又因为，可知是等边三角形，所以可知，根据菱形的性质可知，根据矩形的性质可知，利用勾股定理可求，根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形 ，， 又， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据菱形的性质求出矩形的边长． 22. 如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离为 （2）海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； 【小问2详解】 解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （1）观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； （2）观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； （3）利用上面的规律，计算； （4）请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）模仿题干，补充第5个等式，即可作答． （2）根据规律，即可写出第个等式； （3）根据规律将各项分母有理化即可求解； （4）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； 【小问4详解】 解：与（3）同理得，， ， ， ． 24. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）． （1）当点和点重合时，求线段的长； （2）如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； （3）作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） 是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）当点恰好落在边上时，的值为或． 【解析】 【分析】（）连接，求出，由勾股定理可得 ； （）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （）分两种情况：当点在上时，求出，知，由 ，可得，故；当点在上时，当，重合时符合题意， 由，有 ，得 ． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在上时，如图， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：； 当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得； 综上，当点恰好落在边上时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中教学质量自查 初二年级数学科目 班级：_____姓名：_____学号：______成绩：_______ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. 3 B. 1 C. 或1 D. 或3 4. 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量一组邻边是否相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量对角线是否互相垂直 5. 如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 5．5 D. 6 8. 如图，在矩形中（），对角线，相交于点，点关于的对称点为．连接交于点，连接，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形为正方形．，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是______． 12. 在平行四边形中，，则_____． 13. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是_____． 14. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 15. 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 三．解答题一（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段、、的长； （2）判断的形状，并说明你的理由． 19. 如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 由四条线段、、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，与相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的面积． 22. 如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （1）观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； （2）观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； （3）利用上面的规律，计算； （4）请利用上面的规律，比较与的大小． 24. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）． （1）当点和点重合时，求线段的长； （2）如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； （3）作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $