题型五 最值问题课件 2025年中考数学二轮题型精讲（河南）

题型五 最值问题 1 2020年河南中考第15题考查了两点之间，线段最短——将军饮马模型. 类型1 两点之间，线段最短 角度1 将军饮马模型及其变形 知识铺垫 1.如图（1），在直线两侧各有一个定点，，在直线上求作点 ，使得 的值最小. 图（1） [答案] 图略. 2 2.如图（2），在直线同侧有两个定点，，在直线上求作点 ，使得 的值最小. 图（2） [答案] 图略. 图（3） 3.如图（3），点在的内部，在上求作一点 ，在 上求作一点，使 的周长最小. [答案] 图略. 3 1.如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， 且其横坐标为2，直线与轴交于点 ， 且经过点，为的中点，点为 轴上一动 点，连接，.当的值最小时，点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 4 [解析] 根据题意易得， 为 的中点，.如图，作点B关于 轴的 对称点，连接，直线与 轴的交点就是 的值最小时点的位置,易得 . 设直线的表达式为,将 ， 分别代入，得 解得 直线的表达式为 . 当时，， . 5 2.[2024成都中考] 如图,在平面直角坐标系 中,已 知,,过点作轴的垂线,为直线 上一动 点,连接,,则 的最小值为___. 5 [解析] 如图，作点关于直线的对称点，连接， ，则，， 当点 , ,共线时，的值最小，最小值为 的长.易 知， ，故 的最小值为5. 6 3.[2024绥化中考] 如图，已知 ，点为内部一点，点 , 分别为射线,上的动点，当的周长最小时， 的度数为 _____. 7 4.[2024广安中考] 如图，在 中，，， ， 点为直线上一动点，则 的最小值为_____. 8 [解析] 如图，作点关于直线 的对 称点，连接交直线于点 ， 连接,连接交直线于点 ，则 ，， ， 当点位于点 的位置时， 取得最小值，最小值为的长.， ， 在 中，， ， . 9 5.如图，点，是半圆上两点，是半圆 的直径， ，点为上一动点，连接,， , 若， ，则图中阴影部分周长的最小值为 _________. 10 [解析] 如图（1），连接 ，则 ， 是等边三角 形， ， .作 点关于的对称点，易知点在半圆上，连接，则 ， ， 当点，， 在同一直线上时（如图（2））， 的值最小，最小值为的长，连接 ，则 ，， 的最小值 为， 题图中阴影部分周长的最小值为 . 11 6.如图，正方形的边长为4，点,分别为边， 上的动点，且 ，点是的中点，点是边上的动点，则 的最小值为 ________. 12 [解析] 连接，则， 点在以点 为 圆心，为半径的圆上运动.作点关于直线的对称点 , 连接，则， ，故当点 ,,,在同一直线上时， 的值最小，最小值 为的长，如图.易知 ，根据勾股定理，得 ， ，即的最小值为 . 13 7.[2024大庆中考改编] 如图，在矩形中，，，点 是 边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转 ， 点旋转到点，则 周长的最小值为_________. 14 8.[2024泸州中考改编] 如图，在边长为6的正方形中，点， 分别是 边，上的动点，且满足，与交于点，点是 的中 点，是边上的点，，则 的最小值是___. 5 15 角度2 建桥选址模型及其变形 知识铺垫 图（1） 1.如图（1），在正方形中，点，是 上的动点，且 的长度一定，点为的中点，确定点， 的位置，使 的值最小. [答案] 图略. 图（2） 2.如图（2），在正方形中，点，是 上的动点，且 的长度一定，点为的中点，确定点， 的位置，使 的值最小. [答案] 图略. 16 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ,点，在轴上，且.当四边形 的周长最小时，点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 17 [解析] 四边形的周长为 ， ，的长为定值，故当 的值最小时，四 边形 的周长最小.将点A向右平移2个单位长度， 得到点，则.连接，则四边形 是平 行四边形，.作点关于轴的对称点 ， 则.连接，当点 ，C，B共线时， 的值最小. ， 当点 ，C，B共线时，四边形 的周长最小,如图.由，可得直线 的表达式为 ，令，解得， 点C的坐标为 . 18 10.简单探究： 如图（1），在 中， ， ， ， 求的长.可在上取点，使 ， 连接，将 转化为一个等腰三角 形和一个等腰直角三角形，从而求得 的长为________. 19 转化应用： 如图（2），在菱形中，，交于 点 ，， ，定长线段在对 角线上运动，点 在点的上方，且，连接， .当的值最小时， 的长度为___. 3 [解析] 四边形是菱形，.如图（1），过点 作 的平行线，过点作的平行线，两线交于点，则四边形 是平行 四边形，，，， 当点 ， ，共线时，的值最小.如图（2），， . 又，，， . 20 由菱形的性质，得 .在上取点，使 ， 连接,则 ， .又 ， ，，， . 图（1） 图（2） 11.如图,在中， ， ，，，是 的平分线上的两个动点，且，连接，,则 周长的最小值 为_________. 22 [解析] 如图（1），作点关于 的对 称点，连接，则.过点 作，且使 ，连 接，,则四边形 是平行四 边形，,，，当点，， 共线 时，的值最小，最小值为的长.如图（2）所示，易知点在 边 上，， ，是等边三角形，. 易 知 ，, 周长的 最小值为 . 23 12.[2024新疆中考] 如图，抛物线与轴交于点，与 轴交 于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且 .当 的值最小时，点 的坐标为______. 24 [解析] 对于，令，得 ， .设抛物线交轴于另一点，令 ，得 ，解得，， ， .如图，连接，则.将 向下平移3 个单位长度，则点与点重合，设点的对应点为 ， 则， 当点，， 在 一条直线上时，的值最小，即的值最小.连接 ，设直线 的函数解析式为，将，分别代入，求得直线 的 函数解析式为.易得抛物线的对称轴为直线 . 对于 ，当时，，故当的值最小时，点 的坐标为 25 角度3 其他类型 13.如图，在中， ， ， .若点是内一点，则 的最小值 为____. [解析] 易知.如图，将绕点 顺时针旋转 ， 得到，则 ， ,连 接，易知是等边三角形， ， .当点，，, 共线 时，取最小值，最小值即为 的长，此时 . 26 14.[2024宜宾中考] 如图，在 中， ，，,分别是边， 上的 动点，且.当 的值最小时， 的长度为__. 27 [解析] 如图（1），延长至点，使，连接 ， .又，， ， ，， 当点，,共线时， 的值 最小，如图（2），易证，， , ． 图（1） 图（2） 28 类型2 垂线段最短 知识铺垫 1.一定一动型：如图（1），在直线上求作一点，使 最短. 图（1） [答案] 图略. 29 2.一定两动型： （1）如图（2），分别在直线，上求作点,，使 的值最小. 图（2） [答案] 图略. 30 图（3） （2）如图（3），点在的内部，在 上求作 一点，在上求作一点，使 的值最小. [答案] 图略. 31 3.胡不归模型：如图（4），在射线上求作一点，使 的值最小. 图（4） [答案] 图略. 32 角度1 一定一动型 15.[2024南充中考] 如图,在 中, , ,,平分 交 于点,点为边上一点,则线段 长度的最 小值为( ) C A. B. C.2 D.3 [解析] ， ， ， .平分 ， ， .易知当 时，线段的长度最小，此时 ． 33 16.[2024郑州一模] 如图,在中, , ,,点,分别是边, 上的动点,连接 ,,点为的中点,点为的中点,连接,则 的 最小值为( ) D A.2 B. C.1 D. 34 [解析] 如图，连接， 点,分别是， 的中点， 是的中位线，， 当 取最小值 时，取最小值. 四边形是平行四边形， ， .过点A作 于点，则， 的最小 值为，的最小值为 . 35 17.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在轴上，顶点 在 第一象限，为边上一点，且，点为边上一动点，连接 ， 将线段绕点逆时针旋转 ，得到线段，连接.当 取最小值时， 点 的坐标为_________. 36 [解析] ， ， 是等边 三角形，, 当取最小值时， 取最小 值.当时，的值最小，如图所示.设与 轴交于点,则 ， ， ，， ， . 37 18.[2024凉山州中考] 如图，的圆心为，半径为2， 是直线 上的一个动点，过点作的切线，切点为，则 的最小值为 _____. 38 19.如图，点在等边三角形的边上运动（不与点，重合），点 为 的中点，在右侧作等边三角形，连接.若，则 的最小 值为____. 39 [解析] 如图（1），连接，与 均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 当时， 的值最 小，如图（2）所示，则 . 图（1） 图（2） 40 （第20题） 20.如图,在等腰三角形中，，，点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点 从 点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，连接 ， 点是的中点，连接，则线段 的最小值是_ ___. 41 [解析] 如图（1），过点作交于点 ， 连接，.设运动时间为秒，则 ， ， ， ，即，， ， 四边形为平行四边形.又 点为的中点， 点，， 在同一条 直线上，且.当时，最短，即 的值最小，如图（2）， 过点作于点，则 ， ， ， . 42 （第21题） 21.[2024武汉江汉区五调] 如图，是的斜边 上一 点，且 ， ，，以 为斜边 作等腰直角三角形，使，在同侧，连接，当 取最小值时，的长是____， 的面积是_ _____． 43 [解析] 方法一：如图（1），过点作 ,且 ,连接,，则 , , , 是 以为斜边的等腰直角三角形， , , ,即 .又,, , 当 的长最小时，的长也最小.易知当时， 的长最小，如图 （2），则 .过点作 44 于点，则 , , , ， . 方法二：如图（3），以 为斜边在其右侧构造等 腰直角三角形，连接 ，则 ， .又 ， ， ， ，故点 所在线段与的夹角恒为 .同理，以 为斜边在其下方构造等腰直 角三角形，连接，则， ， ， ， ， 点,,共线， 点 的轨 46 迹为线段.易知当时，最短，如图（4）,过点作 于 点，则 ， ， ，， ， ， , . 角度2 一定两动型 22.如图，在中， ，， ， ，分别是边，上的动点，连接， ，则 的最小值为( ) D A. B.4 C. D. 48 [解析] 如图（1），作点B关于的对称点 ，连 接，则， ，故 当点D，，共线，且时， 的 值最小，最小值为 的长，如图（2），由对称 的性质易得 .又 ， ，故 的最小值为 . 49 23.如图，在菱形中，， ，点为边 上一动点，过 点作于点，则 的最小值为_________. 50 [解析] 如图（1），作关于直线的对称图形，点的对应点为,过点 作于点，则，, 当，， 三点 共线时，的值最小，最小值为的长，如图（2），此时点与点 重合，故，的最小值为 . 图（1） 图（2） 51 角度3 胡不归模型 24.如图,在中，于点, ， ，，是上一动点，连接 ，则 的最小值是( ) C A. B. C. D. 52 [解析] 如图，过点作于点 ，则 ， ， 故当点B，,共线时， 的值最小.过点B作 于点，则的长即为 的最小值.由勾股定理，得 , ，故 的最小值为 . 53 25.如图,在中,, ,点为 边上一动 点,则 的最小值为_____. [解析] 作 ，过点作 于点 ，如图（1），则 , ,故当点,, 共线时， 的值最小，最小值为的长，如图（2）所示，易知 ， ，即 的最小值为 . 54 类型3 利用二次函数解决几何中的最值问题 26.[2024开封二模] 如图,在中, , , ,点从点出发,沿向点以 的速度运动,同时点 从点出发,沿向点以的速度运动（当点运动到点 时,点,同时停止运动）.在运动过程中,四边形 的面积最小 为( ) C A. B. C. D. 55 [解析] 如图，设运动时间为.在中， , , , ，故当 时， 最大，最大值为， 四边形的面积最小为 . 56 $$