1.4 充分条件与必要条件 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 壹 集合与常用逻辑用语 目录 壹 自主预习·悟新知 贰 合作探究·提素养 叁 随堂检测·精评价 肆 课后精练·重达标 2 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.（数学抽象） 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理，充要条件与数学定义的关系. （逻辑推理） 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.（逻辑推理） 3 1.初中我们学过的命题的定义是什么？ [答案] 判断一件事的语句． 2.命题的常用形式是什么？ [答案] 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式． 4 3.何为真命题？何为假命题？ [答案] 如果题设成立，那么结论一定成立的命题为真命题，结论不能保证一定成立的 为假命题． 4.命题“若，则”为真命题，则是 的什么条件？ [答案] 充分条件． 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 如果是的必要条件，那么 是唯一的.( ) × （2） 是的必要条件的含义：如果不成立，那么 一定不成立.( ) √ （3） “”是“， 都大于0”成立的充分条件.( ) × （4） 若是的充分条件，则是 的必要条件.( ) √ 6 2.（多选题）下列条件是 的充分条件的是( ) . BCD A. B. C. D. [解析] 当时，，但 ，故A错误，B ，C，D都正确． 3.若，，则是 的______条件．（填“充分”“必要”或“充要”） 必要 [解析] ，即，故是 的必要条件. 4.若是的充要条件，是的充要条件，则是 的______条件．（填“充分”“必要”或 “充要”） 充要 [解析] 依题意，，,所以 ． 7 探究1 充分条件、必要条件 如图,这一个电路图，其中，为开关， 为一盏灯． 8 问题1: 开关闭合时， 灯一定亮吗？ [答案] 一定. 问题2: 灯亮时， 开关一定闭合吗？ [答案] 不一定. 问题: 开关闭合是 灯亮的什么条件？ [答案] 充分条件. 9 1.命题的概念及结构 （1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作_____. 判断为真的语句是________，判断为假的语句是________． （2）当命题表示为“若，则 ”时，___称为命题的条件，___称为命题的结论． 2.充分条件与必要条件 一般地，“若，则”为________，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，由 可以推出，记作，并且说，是的__________，是 的__________． 如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作 .此时，我们就说 不是的__________，不是 的__________． 命题 真命题 假命题 真命题 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 10 特别提醒： 1. 的含义 （1）“若，则 ”形式的命题为真命题． （2）由条件可以得到结论 ． （3）是的充分条件或的充分条件是 ； 是的必要条件或的必要条件是 ． （4）只要有条件，就一定有结论，即对于是充分的，对于 的成立是必要的． （5）为得到结论，具备条件 即可． 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即 ，只是 说法不同而已． 11 2.对充分条件的理解 （1）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条 件是足以保证的.“有之必成立，无之未必不成立”． （2）充分条件不是唯一的，如，等都是 的充分条件.必要条件不是唯 一的，如，等都是 的必要条件． 12 一、必要条件 例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是 的必要条件？ （1）若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等； （2）若是直角三角形，则 是等腰三角形； （3）若，则 ； （4）若关于的方程有唯一解，则 ． 13 [解析] （1）等腰梯形的两条对角线相等,因此，所以是 的必要条件． （2）直角三角形不一定是等腰三角形,因此，所以不是 的必要条件． （3）命题“若，则”是真命题，因此，所以是 的必要条件． （4）命题“若关于的方程有唯一解，则 ”为假命题，因此 ，所以不是 的必要条件． 14 方法总结 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 若命题“若，则”是真命题，则是的必要条件；若命题“若，则 ”是假命题， 则不是 的必要条件. 15 二、充分条件 例2 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是 的充分条件？ （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，，，则 ； （4）若，则 ； （5）若四边形是正方形，则四边形 是菱形． 16 [解析] （1）因为，所以，所以是 的充分条件． （2）因为，当时，没有意义.因此，所以不是 的充分条件． （3）若，，则，但，所以，所以不是 的充分条件． （4）由可以推出或，不一定有，因此 ，所 以不是 的充分条件． （5）由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以，所以是 的 充分条件． 17 方法总结 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 若命题“若，则”是真命题，则是的充分条件；若命题“若，则 ”是假命题， 则不是 的充分条件. 18 巩固训练1 设集合，，则“”是“ ”的______ 条件.（填“充分”或“必要”） 必要 [解析] 已知集合，，当时，.因为“ ” “”，但“” “”，所以“”是“ ”的必要条件． 巩固训练2 设集合，，那么“”是“ ”的 ______条件.（填“充分”或“必要”） 充分 [解析] 由题意得，所以“” “”，所以“”是“ ”的充分条件. 19 探究2 充要条件 老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约， 王五因事不能到场，老张说:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走 了.老张愣了片刻，又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去. 问题1: 张三为什么走了？ [答案] “该来的没有来”的等价命题是“来了的都不该来”，张三觉得自己是不该来的. 问题2: 李四为什么走了？ [答案] “不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的. 20 问题3: 若是的充要条件，则和 相互等价，这种说法对吗？ [答案] 正确.若是的充要条件，则，即等价于 ． 问题4: “是的充分条件”与“的充分条件是 ”的区别在哪里？ [答案] “是的充分条件”说明是条件，是结论；“的充分条件是”说明 是条件， 是结论． 21 充要条件 （1）如果“若，则”和“若，则 ”均是真命题，那么既有_______，又有_______， 就记作_______.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是 的充分必 要条件，简称为__________． （2）当是的充要条件时，也是 的______条件． 充要条件 充要 22 特别提醒：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件. （1）若，则称是的充分条件，是 的必要条件． （2）若，则是 的充要条件． （3）若，且，则称是 的充分不必要条件． （4）若，且，则称是 的必要不充分条件． （5）若，且，则称是 的既不充分也不必要条件． 23 例3 指出下列各题中，是 的什么条件.（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充 要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答） （1）在中，， . （2）或，方程 有两个不同的实根. （3）已知,,, . 24 [解析] （1）在中，显然有，是 的充要条件. （2） 方程有两个不同的实根 ，且 ，且 , 是 的既不充分也不必要条件. （3）,是 的充要条件. 25 巩固训练1 ， 中至少有一个不为零的充要条件是( ) . D A. B. C. D. [解析] 若，则，不同时为零；若， 中至少有一个不为零，则 ．故选D. 26 巩固训练2 若“或”是“或 ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是_______________． [解析] 不妨设或，或 ， 若“或”是“或”的必要不充分条件，则有 ， 所以解得 ． 27 探究3 充要条件的证明 已知关于的方程有两个负实根的充要条件是 . 问题1: 由得到方程 有两个负实根，这个过程是“充分性”还是 “必要性”？ [答案] 充分性.是条件，方程 有两个负实根是结论. 问题2: 由方程有两个负实根直接求解得到的取值范围，则 的取值 范围是方程 有两个负实根的什么条件？ [答案] 必要条件. 28 问题3: 互为充要条件中条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定 的吗？ [答案] 在充要条件问题的证明中，条件是确定的. 29 充要条件的证明一般分为两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方 面．解题时要避免将充分性当作必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若“条件” “结论”，则是证明充分性，若“结论” “条件”，则是证明必要性． 30 例4 证明：一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根的充要条 件是 . 解答本题可先确定和,再分充分性（由 推证方程有一个正实数根和 一个负实数根）和必要性（由方程有一个正实数根和一个负实数根推证 进行证明. 31 [解析] 先证充分性：，， . 方程 有两个实数根． 设方程的两个根分别为， ， 则 ， 一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根． 再证必要性： 一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根， ，且 ， . 故一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是 . 32 巩固训练 求证：关于的方程 有一个根是1的充要条件是 ． [解析] 设，方程 有一个根是1． ①必要性： 是方程 的根， ，即 ． 33 ②充分性： 由，得 ． ， ， ， 即 ， 是方程的一个根． 故关于的方程有一个根是1的充要条件是 ． 34 1.若，则“”是“ ”的( ) . A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 [解析] 因为“” “”，而“”“ ”，所以 “”是“ ”的充分不必要条件，故选A． 35 2.若是的必要不充分条件，则实数 的值为 ( ) . D A. B.或 C. D.或 [解析] 由，得或 . ， ， 又是 的必要不充分条件， 或，解得或 ． 36 3.函数的图象关于直线 对称的充要条件是________． [解析] 若函数的图象关于直线对称，则，即 ； 反之，若，则函数的图象关于直线 对称． 37 4.已知，；.若是的充分条件，求实数 的取值 范围． [解析] 设集合, ， ． 因为，所以 ， 所以解得 ， 所以实数的取值范围是 ． 38 （限时：30分钟） 1.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的 名言，阐述了做事情不一点一点的积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至 千里”是“积跬步”的( ) . A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 [解析] 荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是 “积跬步”的充分不必要条件.故选A. 39 2.（多选题）下列说法正确的是( ) . BD A.是 的必要条件 B.是 的充分不必要条件 C.是且 的充要条件 D. 是 的必要不充分条件 [解析] 中，当时，一定有，但当时，不一定能推出 ，故 是的充分不必要条件，故A不正确；B中，能推出，但 不 能推出，故是的充分不必要条件，故B正确；C中，由 不能推 出且，故C不正确；D中，当，时， ，但 ， 当 时， ，故D正确.故选 ． 40 3.若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是 的( ) . A A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若是的必要不充分条件，则，，是 的充分不必要条件，则 ，，则有，，则是 的充分不必要条件，故选A． 41 4.（多选题）给出下列四个选项，其中能成为 的充分条件是( ) . AD A. B. C. D. [解析] 若，则， ，充分性成立，A正确. 若，则当时， ，充分性不成立，B错误. 若，则，或 ，充分性不成立，C错误. 若，则 ，充分性成立，D正确． 42 5.（多选题）在下列所示的电路图中，说法正确的是( ) . ABC A.如图①所示，开关闭合是灯泡 亮的充分不必要条件 B.如图②所示，开关闭合是灯泡 亮的必要不充分条件 C.如图③所示，开关闭合是灯泡 亮的充要条件 D.如图④所示，开关闭合是灯泡 亮的必要不充分条件 43 [解析] 对于A，由图①可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关 不一定 闭合，所以开关闭合是灯泡 亮的充分不必要条件，故A正确. 对于B，由图②可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关 必须闭合， 所以开关闭合是灯泡 亮的必要不充分条件，故B正确. 对于C，由图③可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关 必须闭合，所以 开关闭合是灯泡 亮的充要条件，故C正确. 对于D，由图④可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关 不一定闭 合，所以开关闭合是灯泡 亮的既不充分也不必要条件，故D错误． 44 6.已知的三边长为，，，其中.求证： 为等边三角形的充要条件 是 ． [解析] 充分性：当时， 可化为 ， 即，所以 ， 整理得，所以 ， 即， 为等边三角形，即充分性成立. 必要性：因为为等边三角形，且，所以 ， 则，，所以 ，即必要性 成立． 故为等边三角形的充要条件是 ． 45 7.（多选题）下列各选项中，是 的充要条件的是( ) . AD A., B.， C.两个三角形相似， 两个三角形全等 D.， 46 [解析] 若，则且，得，则.若 ， 则且，得，则.故是 的充要条件，故A正确. 若，则，得，则．若 ，则 或，由不能得到.故是 的充分不必要条件，故B错误. 由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而由两个三角形全等可以得到两个三角 形相似，故是 的必要不充分条件，故C错误. 由，可得，则.由，可得，则.故是 的充 要条件，故D正确． 47 8.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出适 当的一种填空： （1）“”是“ ”的__________； （2）“，”是“ ”的______________________； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的________________. 充要条件 既不充分也不必要条件 充分不必要条件 [解析] （1）若，则 ，充分性成立； 若，则 ，必要性成立. 故“”是“ ”的充要条件. 48 （2）当，时，满足,,但 ，所以充分性不成立； 当，时，满足，但此时，即推不出 ， ，则必要性不成立. 故“，”是“ ”的既不充分也不必要条件. （3）若两个角是对顶角，则两个角必然相等，充分性成立； 当两个角相等时，两个角不一定是对顶角，必要性不成立. 故“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分不必要条件. 49 9.已知，，其中， 均为实数.证明：对于任意的 ，均有成立的充要条件是 ． [解析] 因为函数的图象的对称轴方程为，且 ，所以 ， 故当时，函数 ． 先证必要性：对于任意的，均有，即，所以 ． 再证充分性：因为，当时，函数 . 故对于任意，，即 成立的充要条件是 ． 50 10.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，，1，2，3，4.给出下列四个结论： ； ；；④整数， 属于同一“类”的充要条件 是“ ”．其中正确的结论个数为( ) . B A.1 B.2 C.3 D.4 51 [解析] ，①错误. ，②错误. ，③正确. 每个整数除以5后的余数只有0，1，2，3，4，没有其他余数，故原命题成立． 整数，属于同一“类”的充要条件是“ ”，④正确. 证明④：（必要性），， ，1，2，3，4， 不妨设，，， ， . （充分性），， ， 即，除以5后余数相同，， 属于同一“类”. 52 11.已知集合，非空集合 ． （1）若是的必要条件，求实数 的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围． [解析] （1），又非空集合 ， 由是的必要条件知， ， 则 解得 , 即实数的取值范围是 . 53 （2）是的必要不充分条件，即是 的必要不充分条件， 且 ， ， 或 解得 ， 即实数的取值范围是 ． 54 $$