1.2集合间的基本关系课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.2 集合间的基本关系 集合与常用逻辑用语 第一章 1 目录 壹 自主预习·悟新知 贰 合作探究·提素养 肆 课后精练·重达标 叁 随堂检测·精评价 2 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（数学抽象） 2.能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力.（逻辑推理） 3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围，并在具体情境中了解空集的含义. （数学运算、数学抽象） 4.掌握并能使用 图表达集合间的关系.（直观想象） 3 1.集合中元素的三个特性是什么？ [答案] 确定性、无序性、互异性. 2.常见的数集有哪些？ [答案] 正整数集，自然数集，整数集，有理数集，正实数集，实数集. 3.集合的表示方法有哪些？ [答案] 列举法，描述法． 4 4.集合表示使函数有意义的自变量的取值范围，且 的 取值范围是，因此 ，对吗？ [答案] 正确. 5.集合表示使函数有意义的函数值的取值范围，而 的 取值范围是，因此 ，对吗？ [答案] 正确. 6.集合中的元素是否都属于集合？集合 和集合 是什么关系？ [答案] 是，集合是集合 的子集． 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 空集没有子集.( ) × （2） 任何集合至少有两个子集.( ) × （3） 空集是任何一个集合的真子集.( ) × （4） 若集合是集合的子集，集合是集合的子集，则集合是集合 的子集.( ) √ 6 2.已知集合，，2，，能够准确表示集合与 之间关系的是( ) . D A. B. C. D. [解析] 集合中的元素在集合中，但是, .故选D． 3.已知集合， ，则( ) . A A. B. C. D. [解析] 结合集合在数轴上的表示即可确定两集合的关系.如图所示，由图可知， ． 7 4.（多选题）下列说法正确的是( ) . BC A.任何一个集合都是它自身的真子集 B.集合， 共有4个子集 C.集合，， } D.集合，， 8 [解析] 对于A，任何一个集合都是它自身的子集，故A错误； 对于B，因为集合，中有2个元素，所以有 个子集，故B正确； 对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正 确； 对于D，因为，当时， ，所以 ，，但， ，故两个集合不相等， 故D错误． 9 探究1 子集，真子集 草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣 红马组成集合，草原上的所有马组成集合 ． 问题1: 集合中的元素与集合 中的元素的关系是怎样的？ [答案] 集合中的元素都是集合 中的元素. 问题2: 集合与集合 又存在什么关系？ [答案] 集合是集合 的子集. 10 1.子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素______集合 中的元素，就 称集合为集合的______，记作(或，读作“包含于”（或“ 包含 ”）． 特别提醒：（1）子集是刻画两个集合之间关系的一个数学概念，它反映的是局部与 整体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如，，，，因为 ， 但，所以不是的子集；同理，因为，但，所以也不是 的子集． 都是 子集 11 2. 图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图.如 可用 图表示为 12 3.集合相等 一般地，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合 的任何一个元素都 是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 ． 也就是说，若，且，则 ． 4.真子集 如果集合，但存在元素，且，就称集合是集合 的真子集，记作 (或 ． 13 例1（1） 能正确表示集合和集合 关系 的 图是( ) . B A. B. C. D. [解析] 由，得或，故，，易得，其对应的 图如选项B所示． 14 （2） 已知，，，则集合与 之 间的关系是_______． [解析] ， ， . 15 方法总结 在处理集合间的关系时，要注意以下两点： 隐含着和 两种关系； （2）要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用. 巩固训练 已知，，则集合， 的关系是_______． [解析] 集合表示直线 上所有的点组成的集合， 在集合中，，，所以集合表示直线 上除了原点之外的所有点组 成的集合， 所以有 ． 16 探究2 空集 小米解方程 时，发现方程无解． 问题1: 如何用描述法表示的解集 ？ [答案] ． 问题2: 问题1的集合 中有元素吗？ [答案] 没有． 17 一般地，我们把不含任何元素的集合叫作______，记为___，并规定：______是 任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集__________子集，即________； （2）空集是______集合的子集； （3）空集是__________集合的真子集． 特别提醒：与 不同.表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故与 不相同． 空集 空集 只有一个 它本身 任何 任何非空 18 例2 （多选题）下列各式正确的是( ) . BC A.，1， B.，1，，1， C. D.， [解析] 对于A，集合与集合的关系应该是包含关系，故，1， 错误； 对于B，根据子集的定义可知，，1，，1， 正确； 对于C，根据元素与集合的关系可知 正确； 对于D，因为两个集合中的元素不同，所以，错误.故选 . 19 巩固训练1 下列四个集合中，是空集的是( ) . D A. B.，， ｝ C. D.， ｝ [解析] 对于A， ； 对于B，，， ； 对于C， ； 对于D，， ，方程无解， ， ． 巩固训练2 已知集合，且 ，则实数 的取值范围是 ___________． [解析] ，， ． 20 探究3 子集的性质 问题1: 与实数中的结论“若，且，则 ”相类比，你对集合间的基本关 系有什么体会？ [答案] 若,且，则 ． 问题2: 根据实数关系的其他结论，你还能猜想出哪些集合间关系的结论？ [答案] 若，且，则 . 21 1.任何一个集合都是它本身的子集，即 ． 2.对于集合，，，如果，且，那么 ． 3.对于集合，若中有个元素，则的子集个数为， 的真子集个数为 ，的非空子集个数为，的非空真子集个数为 ． 22 例3 已知集合，则 的真子集的个数是( ) . C A.7 B.8 C.15 D.16 求出集合 中元素的个数，从而可得集合的真子集的个数． [解析] 集合，2，3，，集合 中有4个元素， 的真子集的个数是 ． 23 例4 已知集合 ． （1）若，，求实数 的取值范围； （2）若且，，求实数 的取值范围. （1）分类讨论 和 两种情况，建立不等式（组）求解；（2）根 据子集的性质，推出与 的关系，然后建立不等式组求解． 24 [解析] （1）因为，， ， 所以当 时，，解得 ； 当 时，解得 . 综上所述,实数的取值范围是 ． （2）因为且，所以 ， 则 解得 ， 所以实数的取值范围是 . 25 巩固训练1 满足，2，3，的集合 的个数为( ) . D A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] ，2，3， ， 集合A可能为，，，，，，，，2，，，2，，，3， ， ，2，3， ，共有8个． 故选D. 26 巩固训练2 已知集合 ． （1）若，求实数 的取值范围； （2）若且，求实数 的取值范围． [解析] （1）由题意得，方程 有实数根， ，得 ， 即实数的取值范围为 ． 27 （2），，且 ， 当 时，，得 ； 当 时，若，则 ， 此时，满足 ，符合题意， 若，则， 中有两个元素， ，，从而 该方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 28 1.已知集合,，那么集合 的所有子集为( ) . D A.， B., C.，，, D. ，，，, [解析] 由题意得，集合,的子集有 ，，，, ．故选D. 29 2.定义：集合，，.若集合，5，， ， 2，，则集合 的所有真子集的个数为( ) . B A.32 B.31 C.16 D.15 [解析] 由题中所给定义，可知，2，3，4，， 集合 的所有真子集 的个数为 .故选B． 30 3.可以同时满足以下两个条件的一个集合 ______________________________，且 非空集合 的个数为___． （1），2，3，4，；（2）若，则 ． ，2，3，4，（答案不唯一） 7 [解析] 根据题意可知，若，且 ， 则1和5，2和4必须同时属于某一集合， 所以集合，2，3，4， （答案不唯一）， 所以非空集合可以是，，，，，，3，，，2，4，， ，3， ，，2，3，4， ，共7个． 31 4.已知集合，，，， ． （1）若，求 的值； （2）若，求实数 的取值范围． [解析] （1）若，则，，所以 ； 若，即，则，，所以 ． 综上， 的值为1或3． （2）因为集合，所以解得，故实数 的取 值范围为 ． 32 （限时：30分钟） 1.已知集合，2，3，4，5，，，2，，集合与 的 关系如图所示，则集合 可能是( ) . D A.，4， B.，2， C.， D.， [解析] 由图可知，因为，2， ，所以由选项可知选D． 33 2.若且，则称集合为“和谐集”.已知集合 ，则集合 的子集中“和谐集”的个数为( ) . B A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 若，则 ； 若，则 ； 若，则 ； 若，则 无意义； 34 若，则 ； 若，则 ． 则集合的子集中“和谐集”只有一个，即 ． 故选B． 35 3.已知集合,，则 的真子集共有( ) 个． C A.3 B.4 C.7 D.8 [解析] 因为,，所以，0， ，所以A的真子集有 （个），故选C. 4.若集合满足，，，1，2，，，2，4， ，则满足上述条 件的集合 的个数为( ) . D A.0 B.1 C.2 D.4 [解析] ，， 中最多能含有0，2两个元素， 可以为 ，，，， ,共4个． 36 5.（多选题）已知集合是平行四边形，是矩形， 是正方形 ，是菱形 ，则下列关系成立的是( ) . BD A. B. C. D. [解析] 若是正方形，则必是矩形，所以 ，矩形一定是平行四边形，所以 ，故选 . 6.设集合，,，，那么与 的关 系为_______． [解析] 因为，所以，同号，又，所以，，即集合 表示第 三象限内的点组成的集合，而集合也表示第三象限内的点组成的集合，故 ． 37 7.请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例； 若不存在，请简要说明理由． [解析] 这样的集合是存在的. 如集合，空集 是集合的元素，则 ； 又空集是任何集合的子集，所以，这样 既是集合 的元素，又是它的子集. 事实上，这样的集合很多，又如，集合，，则，又因为 ，所以 ． 38 8.含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列， 然后从最大的数开始按照先减后加的顺序交替地加减各数.例如，6， 的“交替和” 是；而的“交替和”是5，则集合，2，3， 的所有非空子集的 “交替和”的总和为( ) . A A.32 B.64 C.80 D.12 [解析] 集合，2，3， 的所有非空子集的“交替和”的总和为 . 39 9.若集合,,则使成立的实数 的 取值集合为( ) . C A. B. C. D. [解析] 若A为空集，则，解得 ； 若A为非空集合,则,解得 . ① 又,所以有解得 . ② 由①②得 . 故使成立的实数的取值集合为 . 故选C. 40 10.已知集合有且仅有两个子集，则实数 的取值集 合为__________． ，2， [解析] 由题意得，集合 中只有一个元素， 当时，，解得， ，符合题意. 当时，，解得或 . 当时， ，符合题意. 当时， ，符合题意. 综上所述，实数的取值集合为，2， ． 41 11.设集合,3，，，，且，则实数 _______. 或2 [解析] ，或 . ①当时，解得或 . 经检验，满足题意； ②当时，解得，此时与集合中的元素1重复，故 不符合题意． 综上所述，实数或 ． 42 12.设集合， ． （1）当时，求 的非空真子集的个数； （2）若，求实数 的取值范围； （3）已知集合，，求实数 的取值范围． 43 [解析] 化简集合,得 ． （1），，，0，1，2，3，4， ， 即 中含有8个元素， 的非空真子集的个数为 ． （2）①当 时，，解得 ； ②当 时，解得 ． 综上所述，实数的取值范围是或 ． 44 （3）①当 时，，解得 ; ②当 时，或解得 . 综上所述，实数的取值范围是 . 45 $$