13.2.3线面位置关系——线面垂直（第一课时)（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

13.2.3 直线与平面的位置关系——线面垂直第1课时 复习导入 异面直线所成角： 已知两条异面直线经过空间任一点分别作直线 我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角). 复习导入 证明线线垂直的方法 所成角为 平移/补形 新知探究 问题1：在生活中，有哪些实例给我们直线与平面垂直的直观感受呢? 旗杆垂直于地面 铅笔垂直于桌面 晷针垂直于晷面 那么同学们能将其数学化，用数学的语言来表示这些实例吗？ 新知探究 思考1：在生活中，如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，旗杆所在直线与其影子所在直线什么关系？ A B 新知探究 A B 新知探究 A B 新知探究 A B 新知探究 A B 新知探究 C1 B1 A B 思考2：（1）旗杆所在直线与地面内任意一条经过点的直线有什么关系？ （2）旗杆所在直线与地面内任意一条不过点的直线有什么关系？ 直线垂直于平面内的任意一条直线 线面垂直 线线垂直 转化 新知探究 线面垂直定义： 如果直线 和平面内的任意一条直线都垂直，则称直线 和平面垂直.记作 图形表示 平面 的垂线 垂足 符号表示 记作 直线 的垂面 新知探究 问题2：我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？过一点垂直于已知直线的平面有多少个？ 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条; 过一点垂直于已知直线的平面只有一个． α P . O . l 垂线段 点到平面的距离 “点面距” P A B C O . 辨析1：判断正误. (1) 如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ） (2) 如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ ） (3) 若直线不垂直于平面，那么在平面内没有直线与之垂直. （ ） 新知探究 √ × × ★如果直线 和平面内的任意一条直线都垂直，则称 直线 和平面垂直.记作 思考3：能否通过证明与有限条直线垂直来判定线面垂直呢？ 练习巩固 例4：证明：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 证明：设是内任意一条直线。 因为， 所以，又 所以 则 已知：，； 求证： 新知探究 探究：过纸片△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）． （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直． 即直线AD 与平面α内的两条相交直线BC ，AD 都垂直 新知探究 线面垂直判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 符号语言： 图形语言： 线线垂直 线面垂直 线不在多， 相交则灵 练习巩固 辨析2：设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则∥ D. 若∥，∥，则∥ 【答案】 证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形是矩形， 所以. 又，,平面， 所以平面. 练习巩固 练习1：如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，求证：平面 线面垂直 线线垂直 线线垂直 线面垂直 练习巩固 变式1-1：如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形．求证：平面 证明：因为是正三角形，点为的中点，所以． 因为，是正三角形，点为棱的中点， 所以，． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，平面，平面 所以平面． 练习巩固 变式1-2：如图，在圆锥中，已知，圆的直径，点在弧上，且，点为的中点．证明：平面 证明：连接，则，因为点为的中点， 所以， 因为为圆的直径，所以，所以， 因为为的中点，为的中点，所以// ， 所以， 因为，平面， 所以平面. 练习巩固 变式1-3：如图,直三棱柱-中,,且,分别是,的中点. 求证:平面. 证明：因为,为的中点,所以, 又为直棱柱, 平面,平面, ,平面, 因为平面, 所以,由题意得 又, 所以, , 所以 即, 因为, 所以平面 小结 直线与平面垂直① 定义 判定定理 直线 和平面内的任意一条直线都垂直，则 （线面垂直线线垂直） $$