13.2.3线面位置关系——线面垂直（第二课时)（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

13.2.3 直线与平面的位置关系——线面垂直第2课时 小结 直线与平面垂直① 定义 判定定理 直线 和平面内的任意一条直线都垂直，则 （线面垂直线线垂直） 复习导入 证明线线垂直的方法 复习导入 证明线面垂直的方法 新知探究 思考1：如何研究直线与平面垂直的性质？ 先研究已有的线线关系，然后再加新的直线、平面探究 问题1：若直线与平面垂直，则已知直线与这个平面内的直线是什么位置关系？ （线面垂直线线垂直） 新知探究 问题2：如果在线面垂直的前提下加入新的直线或平面，它们与其已知的线面形成的关系中，有哪些不变的性质？ ①加入直线，其中 猜想 // 你能试着证明它吗？ 新知探究 猜想：垂直与同一个平面的两条直线平行 已知： 求证： // 假设与不平行， 记直线与的交点为，则可过作 直线与确定平面，设 （交线） ， 又， 这样在平面内过点有两条直线和都垂直于直线，这不可能！ // 新知探究 线面垂直性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言： 图形语言： // 线面垂直 线线平行 思考：反之，若那么成立吗？ √ 证明：过直线上任意两点分别作平面的垂线，， 垂足分别为. ∵，∴. 设直线确定的平面为，. ∵∴. ∴四边形是矩形. ∴ 由是直线上任取的两点， 可知直线上各点到平面的距离相等. 新知探究 例5：直线平行于平面，求证：直线各点到平面的距离相等． 新知探究 问题2：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度即为该点到平面的距离．那么我们该如何定义直线到平面的距离呢？ 点到平面的距离 直线到平面的距离 线面平行时，线上任意一点到平面的距离为直线到平面的距离 练习巩固 练习1：如图,在正方体中,是上一点,是的中点,平面.求证:∥. 证明：因为在正方体中,四边形为正方形, 所以. 又因为平面,⊂平面 所以 因为平面平面 所以平面 又因为平面, 所以∥ 练习巩固 练习2：已知正方体的棱长为,求平面到平面的距离 解：因为两平面平行, 所以原问题等价于求解点到平面的距离, 由等体积法可得=, 即, 解得 即平面到平面的距离为. 练习巩固 练习3：如图所示,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形, (1)求证:平面; (2)求证:. 证明：（1）在直角梯形中,, 所以, 所以,所以. 因为平面,∥, 所以平面,所以 又平面,平面,,所以平面 练习巩固 练习3：如图所示,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形, (1)求证:平面; (2)求证:. 证明：（2）因为平面,平面, 所以 又所以. 又平面,平面, 所以平面. 又平面,所以. 新知探究 问题3：我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,如何给它命名？ 平面的斜线 如图,若一条直线和一个平面相交,但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线， 斜线和平面的交点叫做 斜足. 追问1：如图，当线面相交时，“线”"歪的程度明显不同，怎么刻画这种不同？ 类比异面直线 用“角”度量 新知探究 追问2：这个“角”的两边分别是什么？ 直线与平面所成角 线面角 A P 射影 斜线 射影—— 垂直于平面的平行光线照射该斜线 得到的在平面内的投影 平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小． 新知探究 线面角： 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角. 斜线上一点和斜足间的线段 叫这点到这个平面的斜线段. 范围：记是斜线与平面所成的角， 当，°； 当，°； 则直线和平面所成角的范围是 Ａ Ｐ Ｏ 斜线 垂线 斜线在平面上的射影 斜足 垂足 练习巩固 例4：如图，在正方体-中， (1)分别写出下列直线与平面所成的角: ①直线与平面; ②直线与平面; ③直线与平面. 【答案】①直线与平面所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③直线与平面所成的角为； 练习巩固 例4：如图，在正方体-中， (2)求直线与平面所成的角． 解：连接，与相交于点，连接. 设正方体的棱长为 , 又 平面 为斜线在平面上的射影， 为和平面所成的角. 在中，，， . . 直线与平面所成的角为. 练习巩固 练习2：如图，在正方体中，求与平面所成角的大小. 解：连接交于点，连接 . 平面， 平面， 就是与平面所成的角. 设正方体的棱长为1，则，. 又 又，， 与平面所成的角是. 小结 直线与平面垂直② 线面角 线面距 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 // 线面平行时，线上任意一点到平面的距离为直线到平面的距离 Lavf58.12.100 $$