第6章 实数 课时作业 2024-2025学年沪科版（2024）七年级数学下册

课时3　实数的运算 【基础堂清】 1下列运算正确的是 ( ) A.=±5 B.=-2 C.=2 D.+= 2下列整数中,最接近的是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3计算-的结果为 ( ) A.7 B.-3 C.±7 D.3 4下列各组数中,两数相乘,积为1的是 ( ) A.2和-2 B.-2和 C.和 D.和- 【能力日清】 5下列计算错误的是 ( ) A. =2 B. (±)2=4 C. =-2 D. |-|=- 6　现规定一种运算:a※b=ab+a-b,其中a,b为实数.例如,1※(-5)=1×(-5)+1-(-5)=1,则※的值为 .  7　如图,这是小明设计的一个关于实数的运算程序图,当输入a的值为81时,则输出的数值为 .  8计算:(1)|-2|-+(-1)×(-3); (2)-12+|-|-×. 9已知实数a,b,c,d,e,f,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为,f的算术平方根是8,求ab++e2+的值. 【素养提升】 10　座钟的摆针摆动一个来回所需要的时间称为一个周期,其计算公式为T=2π,其中T表示周期(单位:s),l表示摆长(单位:m),假如一台座钟的摆长为0.2 m.(π取3,g=9.8 m/s2) (1)求摆针摆动的周期. (2)若座钟每摆动一个来回发出一次滴答声,则在1分钟内,该座钟大约发出了多少次滴答声? 11　请你先阅读下面的材料,然后再根据要求解答提出的问题: 问题情境:已知任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零. 已知a,b是有理数,且满足a+b=3-2,求a,b的值. 解:由题意可得(a-3)+(b+2)=0. 因为a,b是有理数, 所以a-3,b+2也是有理数. 因为是无理数, 所以a-3=0,b+2=0,解得a=3,b=-2. 问题解决:若x,y都是有理数,且满足x3+y=2-27,求xy的算术平方根. 参考答案 基础堂清 1.C 2.C 3.A 4.C 能力日清 5.D 6.-1 7.8 8.解:(1)原式=2-2+3=3. (2)原式=-1+-(-3)× =-1+-1 =-2+. 9.解:由题意可知ab=1,c+d=0,e=±,f=64, 所以e2=(±)2=2,==4, 所以ab++e2+=+0+2+4=6. 素养提升 10.解:(1)因为T=2π,l=0.2 m,g=9.8 m/s2,π=3, 所以T=2π=2×3×=(s). (2)60÷=70(次). 答:在1分钟内,该座钟大约发出了70次滴答声. 11.解:由题意可得(x3+27)+(y-2)=0. 因为x,y是有理数, 所以x3+27,y-2也是有理数. 因为是无理数, 所以x3+27=0,y-2=0,解得x=-3,y=2, 所以xy=(-3)2=9. 因为9的算术平方根为3, 所以xy的算术平方根是3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时2　实数的性质 【基础堂清】 知识点1　实数与数轴上的点对应关系 1如图,在数轴上表示的点可能是 ( ) A.点P B.点Q C.点N D.点M 2　如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是 ( ) A.- B.- C. D. 知识点2　实数的相反数、倒数、绝对值的意义 3-的绝对值是 ( ) A. B.- C. D.- 4-|-|的相反数是 ( ) A.- B. C.- D. 5下列结果为-3的是 ( ) A.-3的相反数 B.|-3| C. D. 6-的倒数是 ( ) A.- B. C. D.- 7计算:|-|= .  8若m,n互为相反数,则式子|m-+n|= .  9在数轴上离原点的距离为3的点表示的数是 .  【能力日清】 10若与互为相反数,且x≠0,y≠0,求的值. 11已知实数:-,0,|-2|. (1)分别求出它们的相反数. (2)将它们的相反数表示在数轴上. 12　如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示-,设点B所表示的数为m. (1)实数m的值是　　　　.  (2)求|m+1|+|m-1|的值. (3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有|2c+d|与互为相反数,求c-d的值. 【素养提升】 13　数轴上两点A,B在数轴上分别表示数a,b,那么A,B两点之间的距离可表示为AB=|a-b|. (1)当点A表示的数为4,点B表示的数为9时,AB= ;  当点A表示的数为-2,点B表示的数为时,AB= ;  当点A表示的数为x,点B表示的数为,且AB=3时,点A表示的数x为 .  (2)当|x+|+|x-|取最小值时,求x的取值范围,并求出|x+|+|x-|的最小值. 参考答案 基础堂清 1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7. 8. 9.±3 能力日清 10.解:由题意可得3y-1+1-2x=0, 则3y=2x, 所以=. 11.解:(1)-的相反数是,0的相反数是0,|-2|的相反数是-2. (2)它们的相反数在数轴上表示如下: 12.解:(1)-+2. (2)因为m=-+2,所以m+1>0,m-1<0,所以|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2. (3)因为|2c+d|与互为相反数,所以|2c+d|+=0,所以|2c+d|=0,且=0,解得c=-2,d=4或c=2,d=-4.①当c=-2,d=4时,c-d=-2-4=-6;②当c=2,d=-4时,c-d=2-(-4)=6.答:c-d的值为-6或6. 素养提升 13.解:(1)5;+2;-3或+3. (2)|x+|+|x-|表示数轴上数x的对应点到表示-,两点的距离之和, ∴当-≤x≤时,|x+|+|x-|有最小值,最小值是+. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时4　实数的大小比较 【基础堂清】 1下列各数中,最小的数是 ( ) A.-5 B. C.0 D.-π 2若-1<m<0,且n=,则m,n的大小关系是 ( ) A.m>n B.m<n C.m=n D.不能确定 3实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图所示,若实数b,d互为相反数,则这四个实数中,绝对值最小的是 ( ) A.a B.b C.c D.d 4　估计+1的值 ( ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 5　若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.a<b<c 6比较大小:2.(填“>”“<”或“=”)  【能力日清】 7已知a=2,b=3,则a与b的大小关系是 .  8写出一个比2大比3小的无理数: .(用含根号的式子表示)  9若的整数部分为a,小数部分为b,则a= ,b= .  10把数-3,4,,-1.5表示在如图所示的数轴上,并用“<”号把这些数连接起来. 11观察下列等式,并回答问题: 第1个等式:|1-|=-1. 第2个等式:|-|=-. 第3个等式:|-|=-. 第4个等式:|-|=-. …… (1)请写出第5个等式:　　　　.  (2)写出你猜想的第n个等式:　　　　.(用含n的式子表示)  (3)化简:=　　　　.  12已知有理数a,b,c在数轴上对应的位置如图所示: (1)用“<”或“>”填空:a+c　　　0,b+c　　　0,b-c　　　0,a-b-c　　　0.  (2)化简:|a+c|-|a-b-c|-|b-c|+|b+c|. 13　阅读下面的文字,解答问题. 由于是无理数,无理数是无限不循环的小数,所以的小数部分我们不能全部写出来,但是因为1<<2,所以的整数部分为1,小数部分为-1,根据以上内容,解答: (1)1+的整数部分为　　　　,小数部分为　　　　.  (2)若设2+的整数部分为x,小数部分为y,求y-x的值. 【素养提升】 14小明的作业中出现了如下解题过程: =　　　　第一步 =+ 第二步 =3+ 第三步 =3. 第四步 解答下列问题: (1)以上解题过程中,从第几步开始出现了错误? (2)比较与3的大小,并写出你的判断过程. 参考答案 基础堂清 1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.> 能力日清 7.a<b 8. 9.3 -3 10.解: -3<-1.5<<4. 11.解:(1)|-|=-. (2)|-|=-. (3)=. 12.解:(1)由图可知,c<b<0<a,且|a|<|b|<|c|,∴a+c<0,b+c<0,b-c>0,a-b-c>0.故答案为<;<;>;>. (2)原式=-(a+c)-(a-b-c)-(b-c)-(b+c)=-a-c-a+b+c-b+c-b-c=-a-a+b-b-b-c+c+c-c=-2a-b+0=-2a-b. 13.解:(1)2;-1. (2)由题意得x=3,y=-1, 所以y-x=-1-3=-4. 素养提升 14.解:(1)以上解题过程中,从第二步开始出现了错误. (2)结论:<3. 因为<, 所以<, 所以<3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章复习课 【基础堂清】 知识点1　平方根、算术平方根、立方根 1下列叙述正确的是 ( ) A.0.9的平方根是±0.3 B.的算术平方根是2 C.-27的立方根是-3 D.±6是36的算术平方根 24的平方根是 .  3若一个数的立方根是-2,则这个数是 .  4若+|y+2|=0,则= .  5若+=0,求-2x的平方根. 知识点2　实数的有关概念 6下列说法错误的是 ( ) A.的平方根是±2 B.是无理数 C.是有理数 D.是分数 7绝对值最小的实数是 ;2+的相反数是 ; 的倒数是.  8如图,数轴的正半轴上有A,B,C三点,表示1和 的对应点分别为A,B,点B到点A的距离与点C到点O的距离相等,设点C所表示的数为x.请你直接写出x的值. 知识点3　实数的大小比较 9已知a,b是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图所示,把a,-a,b,-b按照从小到大的顺序排列,正确的是 ( ) A.a<-b<b<-a B.a<b<-b<-a C.a<-b<-a<b D.-b<a<b<-a 10　如图,在做浮力实验时,小华用一根细线将一个正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中,量筒量得溢出水的体积为34 mL,则该铁块棱长大小的范围是 ( ) A.2 cm~3 cm B.3 cm~4 cm C.4 cm~5 cm D.5 cm~6 cm 11比较下列各组实数的大小. (1)2和3. (2)-和-. 知识点4　无理数的估算 12已知a是的整数部分,那么a的值为 .  知识点5　实数的运算 13计算:|-2|+()2+-. 14计算:--. 【能力日清】 15　(1)已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2+ab-b的值. (2)已知2a的平方根是±2,3是3a+b的立方根,求a-2b的值. 16已知正数x的两个平方根分别为3-a和2a+7. (1)求a的值. (2)求44-x的立方根. 【素养提升】 17课堂上,老师出了一道题,比较与的大小.小明的解法如下: 解:-==,因为42=16<19,所以>4,所以-4>0,所以>0,所以>,我们把这种比较实数大小的方法称为作差法. 利用上述方法比较实数与的大小. 参考答案 基础堂清 1.C 2.±2 3.-8 4.2 5.解:因为+=0, 所以2x-1+x+7=0, 解得x=-2, 所以-2x=-2×(-2)=4, 所以-2x的平方根是±=±2. 6.D 7.0 --2 2 025 8.解:因为点A,B分别表示1,,所以AB=-1,即x=-1. 9.A 10.B 11.解:(1)因为2=, 3=, 所以 3>2. (2)因为=,=,>, 所以-<-. 12.5 13.解:原式=-2+7-3-=2. 14.解:-- =5-6-4 =-5. 能力日清 15.解:(1)的整数部分为a=2,小数部分为b=-2,所以原式=4+2-4-+2=+2. (2)根据题意得2a=4,3a+b=27,解得a=2,b=21,所以原式=2-42=-40. 16.解:(1)由题可得3-a+2a+7=0, 解得a=-10. (2)由(1)知a=-10, 所以x=(3+10)2=169, 则44-169=-125, -125的立方根为-5. 素养提升 17.解:- = =. ∵6=, ∴<6, ∴-6<0, ∴-<0, ∴<. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 无理数和实数 课时1　无理数与实数的概念 【基础堂清】 知识点1　无理数的概念 1下列实数中,是无理数的是 ( ) A. B. C.3.303 003 000 3 D. 2　以下说法正确的是 ( ) A.无限小数都是无理数 B.无限不循环小数是无理数 C.无理数是带根号的数 D.分数是无理数 3有下列各数:0.,π,,,1.414,,3.14,0.212 112 111 211 112……(两个2之间依次增加一个1),其中无理数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点2　实数及其分类 4下列实数中,是有理数的为 ( ) A. B. C. D. 5 是 ( ) A.无理数 B.正有理数 C.分数 D.正分数 6　下列说法正确的是 ( ) A.实数包括有理数、无理数和0 B.有理数包括正有理数和负有理数 C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论是有理数还是无理数都是实数 【能力日清】 7下列数中是无理数的是 ( ) A. B.0.314 C. D. 8在下列说法中:①的算术平方根是4;②3是9的平方根;③在实数范围内,一个数如果不是有理数,则一定是无理数;④两个无理数之和还是无理数.其中正确的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 9已知a和b都是无理数,且a≠b,下面提供的4个数a+b,a-b,ab,中可能成为有理数的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10写出一个满足-2<x<-1的无理数x: .(写出一个即可)  11把下列各数填在相应的大括号内: 20%,0,,3.14,-,-0.55,8,-2,-0.525 225 222 5……(每两个5之间依次增加一个2). (1)正数:{ ,…}.  (2)非负整数:{ ,…}.  (3)无理数:{ ,…}.  (4)负分数:{ ,…}.  12　我们都知道无限不循环小数是无理数,而无限循环小数是可以化成分数的,例如0.333……(3为循环节)是可以化成分数的,方法如下: 令a=0.333……, ① 则10a=3.333……, ② 由②-①得10a-a=3,即9a=3,解得a=. 请你阅读上面材料完成下列问题: (1)0.化成分数是　　　　.  (2)0.化成分数是　　　　.  (3)请你将0.2化成分数(写出过程). 【素养提升】 13　如图,这是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当输入x为16时,y值为　　　　.  (2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由. (3)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 参考答案 基础堂清 1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 能力日清 7.C 8.C 9.D 10.- 11.解:(1)正数:{ 20%,,3.14,8,…}. (2)非负整数:{ 8,0,…}. (3)无理数:{,-0.525 225 222 5……(每两个5之间依次增加一个2),…}. (4)负分数:{-,-0.55,…}. 12.解:(1)设x=0., ① 则10x=7., ② 由②-①得9x=7,解得x=, 所以0.=. 故答案为. (2)设x=0., ① 则100x=23., ② 由②-①得99x=23,解得x=, 所以0.=, 故答案为. (3)设x=0.2, ① 则1 000x=125.2, ② 由②-①得999x=125,解得x=, 所以0.2=. 素养提升 13.解:(1). (2)当x=0,1时,始终输不出y值.因为0,1的算术平方根是0,1,一定是有理数. (3)x的值不唯一.x=3或x=9. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章　实数 6.1 平方根、立方根 课时1　平方根 【基础堂清】 知识点1　平方根的概念 14的平方根是 ( ) A.2 B.-2 C.±2 D.16 2下列说法中,不正确的是 ( ) A.负数没有平方根 B.9的平方根是3 C.-5是25的平方根 D.平方根等于自己本身的数是0 3　正数a的平方根可表示为 ,其中 表示a的正的平方根, 表示a的负的平方根.  知识点2　求一个数的平方根 40.01的平方根是 ( ) A.0.1 B.-0.1 C.0.000 1 D.±0.1 5求下列各数的平方根. (1).(2)16.(3)(-3)2. 知识点3　平方根的性质及应用 6下列各数没有平方根的是 ( ) A.-4 B.0 C.3 D. 7　若一个正数的两个不同的平方根分别是3a-4和-2a,则a的值为 ( ) A.4 B.8 C.-4 D.±4 【能力日清】 8已知|b-4|+(a-1)2=0,则的平方根是 ( ) A.± B. C. D.± 9已知实数a-1有两个平方根,则a的取值范围是 .  102的平方根是 .  11解方程: (1)25x2-49=0; (2)2(x+1)2-49=1. 【素养提升】 12已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根. 13　已知a-1和5-2a都是m的平方根,求a与m的值. 参考答案 基础堂清 1.C 2.B 3.± - 4.D 5.解:(1)的平方根是±. (2)16的平方根是±4. (3)(-3)2的平方根是±3. 6.A 7.A 能力日清 8.A 9.a>1 10.± 11.解:(1)25x2-49=0, x2=, x=±, 所以x=或x=-. (2)2(x+1)2-49=1, (x+1)2=25, x+1=±5, 所以x=4或x=-6. 素养提升 12.解:由题意得2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2,所以a+2b=9.因为9的平方根是±3,所以a+2b的平方根是±3. 13.解:根据题意,可分为以下两种情况: ①当a-1与5-2a是m的同一个平方根时, a-1=5-2a,解得a=2. 此时,m=12=1. ②当a-1与5-2a是m的不同平方根时, a-1+5-2a=0,解得a=4. 此时,m=(4-1)2=9. 综上所述,当a=2时,m=1;当a=4时,m=9. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时2　算术平方根 【基础堂清】 知识点1　算术平方根的概念 1100的算术平方根是 ( ) A.10 B.-10 C.±10 D. 2化简的结果是 ( ) A.-4 B.4 C.±4 D.±2 3　若a+3是4的算术平方根,则a的值为 ( ) A.2 B.-1 C.-5 D.-1或-5 4的算术平方根是 .  知识点2　用计算器求一个正数的算术平方根 5在计算器上依次按键16-7=后显示的结果是( ) A.3 B.-3 C.-1 D.1 知识点3　算术平方根的应用 6　如图,用两个面积为15 cm2的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形. (1)求大正方形的边长. (2)想在这个大正方形的四周粘上彩纸,请问20 cm长的彩纸够吗?请说明理由 【能力日清】 7　若=x-1,则x的取值范围是 .  8　提高安全意识,谨防高空坠物.自由落体的公式h=gt2(g为重力加速度,g=10 m/s2),若某物体下落的高度为60 m,则该物体下落的时间是 s.  9已知|2a+b|与互为相反数,求2a-3b的算术平方根. 【素养提升】 10　在一个奇幻花园的设计中,设计师面临着各种有趣的挑战. 问题一:花园中有一块正方形的草坪,其面积为144平方米,求这块草坪的边长. 问题二:花园中有一个圆形的喷泉,喷泉的占地面积是28.26平方米,求这个圆形喷泉的半径.(π取3.14) 问题三:花园中还有一个长方形的花坛,长是宽的2倍,面积为128平方米,求这个长方形花坛的宽. 参考答案 基础堂清 1.A 2.B 3.B 4.2 5.B 6.解:(1)因为大正方形的面积为30 cm2, 所以大正方形的边长为 cm. (2)不够,理由如下: 因为分到每条边的彩纸长为20÷4=5(cm),且5 cm< cm, 所以20 cm长的彩纸不够. 能力日清 7.x≥1 8. 9.解:由题意得|2a+b|+=0,解得a=2,b=-4,则2a-3b=16,所以2a-3b的算术平方根为4. 素养提升 10.解:问题一:设正方形草坪的边长为x米.由题意可得x2=144,解得x=±12. 因为x>0, 所以x=12. 答:这块草坪的边长是12米. 问题二:设圆形喷泉的半径为r米.由题意可得,πr2=28.26,解得r=±3. 因为r>0, 所以r=3. 答:这个圆形喷泉的半径为3米. 问题三:设长方形花坛的宽为y米,则长为2y米.由题意可得2y·y=128,解得y=±8. 因为y>0, 所以y=8. 答:这个长方形花坛的宽是8米. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时3　立方根 【基础堂清】 知识点1　立方根与开立方 1-27的立方根是 ( ) A.3 B.-3 C.±3 D.-9 2下列说法中,不正确的是 ( ) A.-1的立方根是-1 B.-8的立方根是-2 C.0的立方根是0 D.64的立方根是±4 3若=-2,则b的值为 ( ) A.8 B.-8 C.4 D.-4 4已知x-2是-8的立方根,则x的值是 ( ) A.2 B.-2 C.0 D.4 5立方根与它本身相同的数是 .  知识点2　用计算器求立方根 6　若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,依次按键2ndf　　3　=,则对应的计算是 ( ) A.23 B.32 C. D. 知识点3　立方根的应用 7　一个正方体的体积是16 cm3,另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍,求另一个正方体的表面积. 【能力日清】 8“魔方”图是一种立方体形状的益智玩具,它由三层完全相同的小立方块组成,若“魔方”的体积为216 cm3,则组成它的每个小立方块的棱长为 cm.  第8题图　　　　　　　第9题图 9玩具厂商生产如图所示的“3D迷宫球”外面的球壳,已知“3D迷宫球”的体积为36π cm3,则该球壳的半径为 cm.球的体积V=πr3,r是球的半径  10已知按一定规律排列的一组数:0,1,,,,,,,2…则第21个数是 .  11求下列各式中x的值: (1)8(x+1)3-27=0; (2)2(x-1)3=-. 12已知=0,y是-8的立方根. (1)求x,y的值. (2)求yx的平方根. 13　我们知道,当a+b=0时,a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数. (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立. (2)已知与互为相反数,求的值. 【素养提升】 14探究:(1)填表: a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000 (2)根据你发现的规律填空: ①已知 =1.442,则= ,= ;  ②已知=0.076 97,则= .  (3)由上表和练习,请用文字语言叙述你发现的规律吧! 参考答案 基础堂清 1.B 2.D 3.B 4.C 5.0,1或-1 6.C 7.解:另一个正方体的体积为64 cm3,则每条棱的棱长为4 cm,所以每个面的面积为16 cm2,表面积为96 cm2. 能力日清 8.2 9.3 10. 11.解:(1)方程整理得(x+1)3=, 开立方得x+1=, 解得x=. (2)两边都除以2,得 (x-1)3=-, 所以x-1=-, 解得x=-. 12.解:(1)因为=0,y是-8的立方根, 所以x=4,y=-2. (2)yx=(-2)4=16, 所以yx的平方根为±4. 13.解:(1)因为2+(-2)=0,且23=8,(-2)3=-8,有8+(-8)=0,所以结论成立. (2)由(1)验证的结果知1-2x+3x-5=0,所以x=4.所以==2. 素养提升 14.解:(1)0.01 0.1 1 10 100 (2)①14.42 0.144 2 ②7.697 (3)被开方数扩大1 000倍或缩小,结果会扩大10倍或缩小 学科网（北京）股份有限公司 $$