2025年中考数学专题突破系列：倍长中线模型

2025年中考数学专题突破系列：倍长中线模型

1．倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题：

（1）求的取值范围：_________．

【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：

如图：已知，，，为的中点；

（2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求；

（3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：．

2．（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；

（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；

（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

3．【特例感知】

如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．

（1）中线的取值范围是______．

【类比迁移】

（2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分．

【拓展应用】

（3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：．

4．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现．

请根据小雨的探究过程，解答下面的问题．

如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明．

5．几何探究与实践

(1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；

(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；

(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；

(4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．

6．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充证明（1）中“”的推理过程．

（1）求证：

证明：延长到点E，使．

（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是___________；

【小结】将上面题中“，”改为，，且”，则的取值范围是__________（用m，n的代数式表示）

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】如图2，，，是的中线，，，且