题型六 多解题 课件2025年中考数学二轮题型精讲（河南）

题型六 多解题 1 历年考法通览 2 知识铺垫 1.点落在特殊位置上时进行分类讨论，需注意： （1）当点落在图形的边上时，要考虑图形有几条边； （2）当点落在角的平分线上时，要考虑是哪几个角； （3）当点落在直线上时，要考虑落在线段 上、落在①______________ ___上、落在②________________上三种情况； （4）当点落在图形边的垂直平分线上时，要考虑图形有几条边； （5）当点落在线段的三等分点上时，应分③____种情况讨论. 线段的延长线 线段的延长线 两 3 2.特殊图形中的分类情况 （1）若 是等腰三角形，则按顶角分类，应分④___________________ _____________三种情况讨论，按腰分类，应分⑤_______________________ _________三种情况讨论. （2）若 是直角三角形，则按直角分类，应分⑥___________________ _____________三种情况讨论，按斜边分类，应分⑦_____________________ _____________三种情况讨论. 为顶角、为顶角、为顶角 ，， 为直角、为直角、为直角 为斜边、为斜边、为斜边 4 （3）若与是相似三角形，与 是一组对应角，则按对应角 分类，应分⑧__________________________________________两种情况讨论. 注意：在进行分类讨论时，应根据题干信息对分类情况进行取舍，排除不符 合题意的情况. 与为一组对应角、与为一组对应角 5 类型1 图形边长不定问题 1.如图，在中， ，，.已知 的顶 点都在矩形上，则矩形 的面积为_____________. 或 （第1题） 6 [解析] 若直线，是矩形 的 一组对边所在的直线时，矩形 的 形状如图（1）所示.在 中， ，则 ， ， ，故.当直线， 是矩形 的一组对边所在的直线时，矩形 的形状如图（2）所示.在 中， ，则，， ，故 .综上可知，矩形的面积为或 . 7 （第2题） 2.[2024焦作一模] 如图，在矩形中，, ,点 为的中点，取的中点,连接,,当 为直角三 角形时， 的值为_ _____. 或 [解析] 易知，. ， 分两种情 况讨论.①当 时，如图（1），则 ， ，，即当 时，如图 （2），又，， 是等边三角形， ， ， ，即.综上可知，的值为或 . 8 3.[2024平顶山三模] 已知，四边形是矩形，, 的平分线 交边于点,的平分线交边所在直线于点.若, ,则 边 的长为____________________. 或 9 [解析] 方法一：设，直线 ， 交于点是 的平分线， ， 是等腰直角三 角形，， , .分两种情况讨论.①当点在点 下方时，如图（1），则 ，,易证， ， ，，， ， ，解得.②当点在点 上方时，如图 10 （2），则，.易证， ， .同①易得， ，解 得.综上可知，的长为或 . 方法二：连接，过点作 于 点，则 . ， ， .设 .分两种情况讨论.①当点在点下方时，如图（3），则 ， , ，解得 .②当点在点上方时，如图（4），则 ， , ，解得 .综上可知，的长为或 . 12 方法三：连接，过点作于点，则 . ，，.设 .分 两种情况讨论.易知，.①当点 在 点下方时，如图（3），则 ， ， ，解得.②当点在点 上方 时，如图（4），则， ， ，解得.综上可知， 的长 为或 . 13 4.如图，在中， ，，的长度不定，点， 分 别为，的中点，点为上一点，且 .当 的一个内 角为 时， 的长为____________. 4或 14 [解析] ， ，故分两种情况讨论. ①当 时，如图（1）， 则 .易知 , , 点 ，分别为，的中点， 是 的中位线，， ， .②当 时，如图（2），则 ， . 15 如图（3），在上取点，使 ，则 ， ，，， . 综上可知，的长为4或 . 5.如图，在矩形中，， 的长度 不定，点为上一点，且.将矩形 沿过点的直线翻折，的对应线段 恰好经 过点，点的对应点为，连接.当 的一个内角为 时， 的长为_____________ __________. 或 17 [解析] 根据勾股定理，得 ， 分两种情况讨论.① 当 时，如图（1），则 ， ,.②当 时，如图（2）， 则， , . 18 综上可知，的长为或 . 图（1） 图（2） 19 6.如图（1）,是矩形的边 上一 点,将矩形沿折叠,点落在上点 处,是 上一点（如图（2））,将 或 沿折叠,点落在上点处, 如图（3）.若 的两条直角边的 长度之比为,则 _____. 20 [解析] 补全图形如图所示，由折叠的性质，得 .在 中，设两条直角边的长分别为， ，则 .易证，, . 当时，.当时， . 综上可知，或 . 21 类型2 只与动点相关的问题 7.[2024安阳一模] 菱形的边长为1, ,点是对角线 上不 与点,重合的一个动点,若以点,, 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则 的长为_ ___________. 或 22 [解析] 如图（1），连接交于点 ， 四边形是菱形， ， , ， ， . 分两种情况讨论：①当 时，如图（2），则 .②当时，如图（3），则 .又 ， ， .综上可知， 的 长为或 . 23 8.[2024新疆中考] 如图，在中， ， ， . 若点在直线上（不与点，重合），且 ，则 的长为 _______. 6或12 （第8题） 24 [解析] 在中， ， ， ， ．分点在 右 侧和在左侧两种情况讨论.当点 在 右侧时，如图（1）， ， ，．当点在 左侧时，如图（2）， ， ， ，，．综上所述， 的长为6或12． 25 9.[2024郑州外国语三模] 如图，在边长为6的等边三角形中，点在 边上，且,点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转 得线段,连接,，当与的某条边平行时，线段 的长为 ___________. 2或 （第9题） 26 [解析] ，,, .分析如下： 第一种情况： 第二种情况： 图 示 __________________________________________ ___________________________________________ 27 第一种情况： 第二种情况： 分 析 此时点与点 重合，点 落在 上， . 则 ， .又 ， 是等边三角形，， .过 点作于点，则 , ， .又 ， ， ，2 . 综上，线段的长为2或 . 续表 28 10.[2024焦作二模] 如图,四边形是边长为2的正方形,点是 的中点, 连接,点是射线上的一个动点（不与点重合），连接交于点 . 若是以为腰的等腰三角形,则 ______. 或2 29 [解析] 分两种情况讨论.①当 时，如图（1），则 .又， ， ，.设 ， 则，，解得 ， .易证， ， 即，当 时， 如图（2），则，， .又 ，，， ，即 ，，.综上可知，的长为 或2. 30 11.如图，菱形的边长为， .点 从点出发以的速度沿折线运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为，连接，将 绕点 顺时针旋转 ，得到，连接，当 时， 的值为______. 3或5 31 [解析] 四边形是菱形，， .当点 不与点重合时， ， .又 ，，，.当 时，，故有两种情况.①当点在上，且 时， ，.②当点在上，且时， ， .综上可知， 的值为3或5. 32 类型3 旋转或平移问题 12.如图（1），在三角形纸片 中，，， 为 的中线.如图（2），沿 将纸 片剪开，得到和 ，将三 或 角形纸片沿直线向右平移，当线段被 截得的部分的长度 为1时， 平移的距离为______. 33 [解析] 在题图（1）中， ， ，为 的中线， ，， . 分两种情况讨论.①当点在点 左侧时， 如图（1），设分别交，于点，，与 交于点 , , , .易证，， ，，即， 当点在点右侧时，如图（2），设与交于点，易知 .过点 34 作于点，则，， ，即 ，，, .综上可 知，当线段被截得的部分的长度为1时，平移的距离为 或 . 13.如图，在菱形中，，，将沿射线 向右上方 平移个单位长度（,点不与点重合）得到，连接， ， 则当是等腰三角形时， 的值为______. 或5 36 [解析] 四边形 是菱形， ， ， ， .当 时，如图（1），由平移的 性质，可知 , ， .在 中，由勾股定理，得, ,解 得.当时，如图（2），此时.综上可知，的值为 或5. 37 14.[2024郑州二模] 如图,在菱形 中， ,将边绕点 顺时针旋转 得到,连接, ,当 为直角三角形时, 的度数为_______ ____. 或 38 [解析] 如图，， 点在以点 为圆 心、长为半径的圆上运动.分 ， ， 三种情况，画出“两线 一圆”（“两线”是指过点，且与 垂直的线， “一圆”是指以为直径的圆）,“两线一圆”与 的 交点（点，除外），即为符合题意的点 .连接 ，，则，均是的直径，，经过点 ， ， . 39 15.如图，在中， ， ， ，为平面内一动点，且，连接，作 ， 使,连接.当点落在的边上时， 的 长为____________. 4或 40 [解析] 如图（1），连接 ，由题意 可得 ， ， , 即 ， , ， ， 点在以点为圆心，4为半径的圆上.点 的位置可分以 下2种情况讨论.①当点在边上时，如图（2），点为 的中点，且 ，. ②当点在 边上时，如 图（3），. 综上可知，当点 落在 的边上时，的长为4或 . 41 16.[2024洛阳一模] 如图，在中, ,, ,将 边绕点旋转,点的对应点是点,连接,.当 是等腰直角三角形 时, 的长为_ ______. 或 42 [解析] 如图，， 点在以点 为圆 心，为半径的圆上. ， 点 在 过点且与垂直的直线上.如图所示,过点 作 于点，则 ， ，， ，利用 勾股定理，即可求得， . 43 17.[2024郑州一模] 如图,在 中, ,,,点,分别是边, 的中点,连接.将绕点 按顺时针方向旋转 ,点,的对应点分别为点,, 与 交于点.当直线与的一边平行时， 的长为_____. 或 44 [解析] 在中，,, .分析如下： 第一种情况：，即 第二种情况： ， 即 图 示 ______________________________________________________ ___________________________________________________________ 45 第一种情况：，即 第二种情况： ， 即 分 析 连接，则.在 和 中， ， ， ， ， ， ， . 则 ， ， 四边形 是矩形， ， . 综上，的长为或 . 续表 46 针对第一种情况，还有以下解法. 方法一：如图（1），过点作于点，则四边形 是矩形， ，，. ， ，即， . 47 方法二：如图（2），过点作于点，交直线于点 ，则四边形 是矩形，.， . ，， . 48 类型4 折叠或对称问题 18.[2024郑州外国语四模] 在矩形中， ，， 为线 段的中点，动点从点出发，沿的方向在和 上运动，将 矩形沿折叠，点的对应点为，当点 恰好落在矩形的对角线上时 （不与矩形顶点重合），点 运动的路程为___________. 3或 49 图（1） [解析] , 点在以点 为圆心， 为半径的圆上运动,与对角线， 的交点 （非矩形顶点）即为点 的位置.如图（1）所示. 50 第一种情况如图（2）所示. 图（2） 作的平分线,与的交点即为点 的位置,则 , . 51 第二种情况如图（3）所示. 图（3） 52 作的平分线,与的交点即为点的位置,则 , .过点作于点,则 , ,, .综 上，点运动的路程为3或 . 53 19.[2024洛阳三模] 如图，等边三角 形的边长为3,点，分别在边 和上，将沿着折叠，若点 恰 好落在边的三等分点处，此时 的长为_____. 或 54 [解析] 方法一：如图（1）所示,可得 ， .分情况讨 论如下：①如图（2），点是靠近点 的三 等分点,得， ， ，， 如图 （3），点是靠近点的三等分点,得，， ， ，.综上，的长为或 . 55 图（4） 方法二:如图（4），过点作于点 ，设 ，则，， .当 时，， .由勾股定理， 得 ， ，解得 ， .当时，同理可得.综上，的长为或 . 56 20.[2024濮阳二模] 如图，在中， ,，分别是 ， 的中点，,,点是线段上一点，把沿 翻折得到 ,当平行于的一条直角边时， 的长为______. 2或4 （第20题） 57 [解析] 由勾股定理，得，， .分析如下： 第一种情况： 第二种情况： 图 示 ___________________________________ _______________________________________ 58 第一种情况： 第二种情况： 分 析 延长交于点，则 ， ， ， . 则 .又 ， ， . 续表 综上， 的长为2或4. 21.如图,直线与轴、轴分别交于点，,点是 轴上的一个动 点，作关于直线的对称图形，若点的对应点恰好落在 轴上，则 点 的坐标为_______________. 或 （第21题） 60 [解析] 直线与轴、 轴分别交于点，， ， ，， ， .分两种情况讨论.①当点 落 在 轴的正半轴上时，如图（1），由 轴对称的性质得 ， ，.设，则.在 中， ，即,解得 , ， .②当点 61 落在轴的负半轴上时，如图（2），，， . 设，则.在中， ，即 ,解得, .综上，若点的对应点 恰好 落在轴上，则点的坐标为 或 . 22.如图，小星用一张菱形纸片玩折纸游戏，在菱形中， ， .他按如下方式进行折叠：①在边上取一点，将纸片沿 折叠， 点落在处；②将纸片沿折叠，点落在处，记 与菱形的边交于另 一点.当点恰好落在菱形边上时， 的值为____________. 2或 63 [解析] 分析可知有以下三种情况：①如 图（1），当点恰好与点 重合时，由 折叠可知折痕垂直平分 .在菱形 中， ， ， .②如图 （2），当点落在边 上时，由折叠 可知 ，又 ，， ， 64 ， .③如图 （3），当点落在边上时，由菱形和折叠的性质可得经过点 ，即点 和点重合.过点作于点，易得.在 中， .综上可知， 的值为2或 . $$