微点：递推式组的解法讲义-2025届高三数学二轮复习

微点：二元递推方程组的求解方法

 

 

先看一道马尔可夫链模型问题：

【2024 年3月金丽衢十二校第二次联考】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方形A1B1C1D1上的一个动点，初始位置位于点A1处，每次移动都会到达另外三个顶点．向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点A1处时，向点B1，D1移动的概率均为，向点C1移动的概率为，则（ ）

  A．移动两次后，“|PC|＝”的概率为 

B．对任意n∈N*，移动n次后，“PA∥平面BDC1”的概率都小于

C．对任意n∈N*，移动n次后，“PC⊥平面BDC1”的概率都小于

D．对任意n∈N*，移动n次后，四面体P－BDC，体积V的数学期望E(V)＜(注：当点P在平面BDC1上时，四面体P－BDC1体积为0)

分析：先求出点P在移动n次后，在点A1，B1，C1，D1处的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案．

设移动n次后，点P在点A1，B1，C1，D1的概率分别为an，bn，cn，dn，其中a1＝0，b1＝，c1＝，d1＝，an＋bn＋cn＋dn＝1，不难得出：．

 

这里需要求解一个四元递推方程组，怎样求解这个方程组呢？如果没有系统学习递推式组的求解方法，解答这个方程组可能还真有一定的难度．本文的目的，就是对多元递推方程组的解法作系统介绍．

 

一、概述：

形如，由初始条件和两个递推关系式组成的方程组称为二元递推方程组．

递推关系式组的解法要点：

把an和bn当作未知数，象解二元一次方程组一样，分别解出关于数列{an}、{bn}的递推式，再解递推式，求出通项an和bn．

在解方程组的过程中，常用的方法是“代入消元法”，“加减消元法”，“待定系数法”，“数学归纳法”，“母函数法”，“特征方程(不动点)法”．此外，还有“行列式法”和“矩阵法” ，但涉及到高等代数知识，本文就不展开讨论了．

 

二、解法展示：

Ⅰ．代入消元法

 

例1．【恩施州•2024高三上期末调研考试】数列{an}和{bn}时满足条件，a1＝0，b1＝1，，求通项an和bn．

解：由②得：an＝2bn＋1－2bn－2          ③

⇒an＋1＝2bn＋2－2bn＋1－2    ④

将③、④代入①得：2bn＋2－2bn＋1－2＝4bn＋2(2bn＋1－2bn－2)⇒ bn＋2＝3bn＋1－1   ⑤

两边都加上t， bn＋2＋t＝3

令t＝⇒t＝－ 

∴bn＋2－＝3

∴数列为等比数列，公比为3，首项为b1－＝1－＝

∴bn＝＋×3n－1＝(3n－1＋1)，代入③整理得：an＝2(3n－1－1)

∴．

 

 

Ⅱ．加减消元法

例2．【2023年•安徽太湖县弥陀中学高三元月月考】在点pn的坐标(xn，yn)与点pn＋1的坐标(xn＋1，yn＋1)之间有，n∈N*，且x1＝1，y1＝3，试问当n无限增加时，点向pn哪一点趋近？

解：xn＋1＋yn＋1＝xn＋yn⇒ xn＋yn＝4

xn＋1－yn＋1＝－(xn－yn)⇒ xn－yn＝－2•

∴xn＝2－，yn＝2＋

当n→＋∞时，xn→2，yn→2，∴pn趋近于点(2，2)．

掌握了代入消元法和加减消元法之后，我们就可以回头研究一下本文开头的马尔可夫链模型：a1＝0，b1

＝，c1＝，d1＝，an＋bn＋cn＋dn＝1，不难得出：，求an，bn，cn，dn的表达式．

解析：将四式相加得an＋bn＋cn＋dn＝an－1＋bn－1＋cn－1＋dn－1＝…＝a1＋b1＋c1＋d1＝1，

②＋④：bn＋dn＝an－1＋bn－1＋cn－1＋dn－1＝(an－1＋bn－1＋cn－1＋dn－1)＝

②－④：bn－dn＝－(bn－1－dn－1)＝…＝(b1－d1)＝0

∴bn＝dn＝．

①－②：an－bn＝－(an－1－bn－1)，数列{an－bn}是首项为a1－b1＝－，公比为－的等比数列，

∴an－bn＝

∴an＝＋

又an＋cn＝，

∴cn＝－an＝－－＝－．

∴．

求出了通项公式，四个选择支就不难判断其真假了．

例3．【2019新课标II，19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，．