精品解析：四川省广安友谊中学2024-2025学年九年级下学期5月模拟数学试题

初2022级数学中考模拟卷（二） A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中三个视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 将580000用科学记数法表示为： B. 在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是8 C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D. “五边形的内角和是”是必然事件 6. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 9. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 因式分解：_______________． 12. 分式方程的解是________________． 13. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为________． 三、解答题（本大题共5题，第15题10分，第16、17、18题每题8分，第19题10分共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：． （2）先化简再求值，再从中选一个适当的代数式代入求值． 16. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分钟） 人数 10 10 4 根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出m，n的值； （2）该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数； （3）本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 17. 平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 19. 如图，是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交于点E，延长至F，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和长． B卷（共50分） 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 比较大小：_____1．（填“>”或“<”） 21. 若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为______． 22. 如图，在中，，，，则的度数为________； 23. 如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有________个；当（n为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有____个．（用含n的代数式表示） 24. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为__________． 五、解答题（本大题共3个小题，第25题8分，第26题10分，第27题12分，共30分，解答过程写在答题卡上） 25. “低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 26. 如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． （1）求证：； （2）求的最小值． 27. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2022级数学中考模拟卷（二） A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减、积的乘方计算、同底数幂除法、完全平方公式等知识点，掌握相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减、积的乘方计算、同底数幂除法、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：B． 3. 下列几何体中三个视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查简单的几何体的三视图，根据三视图的概念分析各个图形的三视图，再作出判断即可． 【详解】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意； C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意； D．球的三视图都是圆，故符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 将580000用科学记数法表示为： B. 在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是8 C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D. “五边形的内角和是”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义等知识．根据多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可． 【详解】解：A、将580000用科学记数法表示为：，故本选项不符合题意； B、这列数据从小到大排列为，，，，，中，8出现了3次，故众数是8，中位数是，故本选项不符合题意； C、，则，则乙组同学的成绩较稳定，故本选项不符合题意； D、“五边形的内角和是”是必然事件，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解； 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D； 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．因为一元二次方程有实数根，所以可得，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ， 整理得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：D． 8. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 9. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 因式分解：_______________． 【答案】(x+3y)(x-3y) 【解析】 【详解】根据平方差公式可求得，原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y) 12. 分式方程的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 13. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和定理求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，利用基本作图得到平分，再证明得到，接着利用勾股定理计算出，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． 三、解答题（本大题共5题，第15题10分，第16、17、18题每题8分，第19题10分共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：． （2）先化简再求值，再从中选一个适当的代数式代入求值． 【答案】（1）9；（2）当时，原式=． 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的运算，去绝对值的方法、负整数指数幂、零指数幂以及分式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、零指数幂，可以解答本题； （2）直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案得到． 【详解】解：（1）， （2） ， 由，，得且， ∴选，则原式=． 16. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分钟） 人数 10 10 4 根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出m，n的值； （2）该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数； （3）本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）； （2）估计等级为的学生人数约360人； （3）恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽样调查的人数，再用的人数除以抽样调查的人数再乘以可得，即可得的值．用抽样调查的人数分别减去，，等级的人数，可得的值． （2）根据用样本估计总体，用900乘以等级的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：抽样调查的人数为（人， ， ． ． 【小问2详解】 解：（人）． 估计等级为的学生人数约360人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种， 恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 17. 平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】点到的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，根据题意可得：，，， ，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点， 由题意得：，，，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，，， ， ， 点到的距离约为． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 【答案】（1）；反比例函数的解析式为 （2）；不等式的解集为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）把代入求出，得，从而可求出的值； （2）由平移得直线与直线平行，得，把点代入得，得，代入，求出，得出；由图象得当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的图象的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 由图象知，当时，在直线的下方， ∴不等式的解集为 19. 如图，是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交于点E，延长至F，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ， ， 即， ∵点是的中点， ， ， ， ， 即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而得垂直平分，得到，根据三线合一可得，又由点是的中点得，即可得，即得，即可求证； （2）由（1）可得，利用三角函数可得，即可得到，再利用三角函数可得，得到，又由圆周角定理得，设，则，由勾股定理得，解方程求出即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 即， ， ， ， ， ∵是的直径， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（不合，舍去）或， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． B卷（共50分） 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 比较大小：_____1．（填“>”或“<”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】实数的大小比较，通过对无理数的估算，求得，从而确定两个数的大小． 【详解】解：∵ ∴ ∴，即 故答案为：＞． 【点睛】本题考查实数的大小比较，正确进行无理数的估算是解题关键． 21. 若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 22. 如图，在中，，，，则的度数为________； 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差． 根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为： 23. 如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有________个；当（n为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有____个．（用含n的代数式表示） 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，三角形三边关系的应用．熟练掌握这一关系是解题的关键． 根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数． 【详解】解：当时，或4， 当时，，即， c为偶数，则； 当时，，即， c为偶数，则或8，满足条件； 三角形三边长分别为：2，6，6或4，6，6或4，6，8； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 故答案为：3； 当时，“幸运三角形”是2，4，4，共1个； 当时，“幸运三角形”是2，6，6或4，6，6或4，6，8，共3个，； 当时， “幸运三角形”是2，8，8或4，8，8或4，8，10或6，8，8或6，8，10或6，8，12，共6个，； 当时， “幸运三角形”是2，10，10或4，10，10或4，10，12或6，10，10或6，10，12或6，10，14或8，10，10或8，10，12或8，10，14或8，10，16，共10个；， “幸运三角形”的个数为：， 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面直角坐标系当中点的规律是解题的关键． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余1的点在第三象限的角平分线的点上，再根据第三象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线的直线上， 由规律可得，，即点在第三象限的角平分线的直线上， ∴点， 故答案为：． 五、解答题（本大题共3个小题，第25题8分，第26题10分，第27题12分，共30分，解答过程写在答题卡上） 25. “低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【答案】（1）一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元； （2）最少需要购买15台甲型自行车． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式解实际应用题，涉及解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，读懂题意，准确列出方程组及不等式求解是解决问题的关键． （1）设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，读懂题意，找准等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台，读懂题意，找到不等关系列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元， 由题意可得：， 解得： 一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元； 【小问2详解】 解：设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台， 由题意可得：， 解得：， 最少需要购买15台甲型自行车． 26. 如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． （1）求证：； （2）求的最小值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：过点N作于点F，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图： 即， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． 27. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为或 （3）的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图： 此时； ②当在第一象限，在第四象限时， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $