精品解析：甘肃省兰州市第五十六中学2024-2025学年 八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年甘肃省兰州五十六中八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（本题共计11小题，每题3分，共计33分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项符合题意； D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，不等式两边加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、若，则，故选项不成立，不符合题意； B、若，则，故选项不成立，不符合题意； C、若，则，故选项不成立，不符合题意； D、若，则，故选项成立，符合题意； 故选：D． 3. 若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得:， 故选：． 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．对A、B、C、D四个选项进行求解即可． 【详解】解：A、，从左到右是整式相乘，故A错误； B、，符合因式分解的定义，故B正确； C、，右边式子不是乘积的形式，故C错误； D、，右边式子不是乘积的形式，故D错误． 故选：B． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则进行运算即可求解，掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于 C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时， 应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 7. 若关于的多项式可以分解为，则的值是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键．根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴且， 解得：， ∴的值为：， 故选：B． 8. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 9. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图象可得：当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 10. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 11. 如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ） A. 9 B. 10 C. 10.5 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长. 【详解】∵直线m是中边的垂直平分线, ∴ ∴周长 ∵两点之间线段最短 ∴ ∴的周长 ∵， ∴周长最小为 故选：A 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论． 二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分） 12. 把分解因式，正确的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 14. 的三个顶点坐标分别是，，，将平移后得到，其中，，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移变换的性质求出平移得到的路径，即可求出答案． 【详解】解：由题意向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． 15. 如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接，根据角平分线的性质，可得点到的距离相等，则可得的面积，再根据，求得的面积，根据求得和的面积，即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得四边形的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 的平分线交于点， 点到的距离相等， ， ， 的面积为4， , ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本题共计11小题，共计75分） 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 17. 因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减． （1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加，再结合因式分解化简即可； （2）先通分，再进行同分母分式的加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简， 再求值： ，其中 【答案】；18 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的运算法则进行计算，再将代入化简以后的式子中求值即可． 此题主要考查了分式的化简求值，正确通分是解题关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】（1） （2） 如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， ∴着火点能被扑灭． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； 【小问2详解】 略 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 22. 袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元； （2）方案一：甲3件，乙7件，方案二：甲4件，乙6件，方案三：甲5件，乙5件；购买方案三所需资金最少，最少资金是10万元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的应用． （1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可； （2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件，得，然后求解即可得出方案；再根据总价=单价×数量，分别计算出各方案所需的资金数，比较后可得答案． 【小问1详解】 解：设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元． 根据题意得： ， 解得： ， 答：购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元； 【小问2详解】 设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件， 根据题意得： ， 解得：． ∵m为整数， ∴m可取3、4、5， 方案一：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件，所需资金：（万元）； 方案二：购买甲种农机具4件，乙种农机具6件，所需资金：（万元）； 方案三：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件，所需资金：（万元）； 购买方案三所需资金最少，最少资金是10万元． 23. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 【答案】 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC， ∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点， ∴DA=DC． 又∵DE=DF， ∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 【解析】 【详解】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：略 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 24. 如图，直线分别交x轴，y轴于点，．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式： （1）利用待定系数法求直线的表达式； （2）分别求出A，C，E点坐标，利用三角形面积公式即可得答案； （3）观察函数图象，直线在直线的上方时对应的点的横坐标的范围，即为所求． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得， 解得， ∴， 联立， 解得，， ∴， 又，， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 观察函数图象得，当时，函数的图象在函数的图象上方， 所以，时，x的取值范围是． 25. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），； （2）解：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）略 （3）略 26. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：___________； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； （3）当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）5 （3）时，最大值为16． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【小问1详解】 解：原式 =； 故答案为： 【小问2详解】 ， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； 【小问3详解】 ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省兰州五十六中八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（本题共计11小题，每题3分，共计33分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ） A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于 C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于 7. 若关于的多项式可以分解为，则的值是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 8. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 9. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ） A. 9 B. 10 C. 10.5 D. 11 二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分） 12. 把分解因式，正确的结果是______． 13. 若分式的值为0，则x的值为__________． 14. 的三个顶点坐标分别是，，，将平移后得到，其中，，则点的坐标是___________． 15. 如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本题共计11小题，共计75分） 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. 因式分解： （1） （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简， 再求值： ，其中 20. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 22. 袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 23. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 24. 如图，直线分别交x轴，y轴于点，．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 25. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 26. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：___________； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； （3）当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $