精品解析：江苏省无锡市天一实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

无锡市天一实验学校2024－2025学年第二学期 初二年级数学学科期中试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，，，G是的中点，连接，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. D. 5 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 6. 将分式 中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则k的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. 9. 正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（ ） A. 32 B. 8 C. 16 D. 64 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点在轴的负半轴上，，将线段绕点逆时针旋转变为线段，以，为邻边作，射线交轴于点，是点到轴的垂线段．则下列结论中：①；②四边形是正方形；③；④存在最小值，且其最小值是；⑤若连接，则值从小变大时，的值先增大再减小，错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0：_______． 13. 已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______． 14. 如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 _______． 15. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是_______． 16. 如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为_______． 17. 如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则_______． 18. 如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是____． 三．解答题（本大题共10小题，共76分） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程： （1）． （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O成中心对称，C点坐标为． （1）请直接写出的坐标______； （2）是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 22. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 23. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 24. 在综合与实践活动中，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略． 【洗衣目标】 经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 根据以上信息完成下列任务： （1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ （2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 25. 观察下列方程以及解的特征： ①的解为； ②的解为； ③的解为； … （1）猜想关于x方程的解，并利用“方程解的概念”进行验证； （2）利用（1）结论解分式方程： ① ②． 26. 如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． （1）若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； （2）若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 27. 阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵； ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ； （2）当时，求当x取何值， 有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 28. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市天一实验学校2024－2025学年第二学期 初二年级数学学科期中试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：选项A、B、D中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加法和乘法除法运算法则，由二次根式的加法和乘法除法运算法则、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、2与不是同类二次根式，不能合并计算，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质化简各分式，然后逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原分式不是最简分式，不符合题意； B、，故原分式不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在菱形中，，，G是的中点，连接，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． 由菱形的性质可得，，可得是等边三角形，再由等边三角形的性质可以得到，最后利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，， 在中，． 故选：B． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 选项A：当时，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：当时，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：当时，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得出它是正方形，故C错误，该选项符合题意； 选项D：当时，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故D正确，该选项不符合题意． 6. 将分式 中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：． ∴分式的值扩大3倍； 故选：B． 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 8. 如图，矩形的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则k的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，证四边形DGOF是矩形，△AHE≌△FOE（AAS），△AHP≌△DGP（AAS），利用矩形与全等三角形的性质求出DG、OG长，得出点D坐标，再把D坐标代入求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G， ∵点和点， ∴OE=1，OF=1， ∵DG⊥x轴， ∴DGy轴，∠DGO=90°， ∵DFx轴， ∴四边形DGOF是矩形， ∴DG=OF=1， ∵AH⊥x轴， ∴∠AHE=90°， ∴∠AHE=∠EOF=90°， ∵∠AEH=∠OEF，AE=EF， ∴△AHE≌△FOE（AAS）， ∴AH=OF=1，EH=OE=1， ∵OE=OF=1， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OEF=45°， ∴∠HAE=∠AEH=∠OEF=45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAH=45°， ∴∠APE=∠DAH=45°， ∴PH=AH=1， ∵∠APH=∠DPG，∠AHP=∠DGP=90°，DG=AH=1， ∴△AHP≌△DGP（AAS）， ∴PG=HP=1， ∴OG=OE+EH+HP+PG=4， ∵点D在第二象限， ∴D(-4,1)， 把D(-4,1)代入，则k=-4， 故选：C． 【点睛】本题考查求反比例函数点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，矩形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9. 正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（ ） A. 32 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，证得矩形的面积是定值是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴矩形与正方形的面积相等， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴矩形的面积是定值16， ∴矩形的面积的最大值与最小值的和为32， 故选：A． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点在轴的负半轴上，，将线段绕点逆时针旋转变为线段，以，为邻边作，射线交轴于点，是点到轴的垂线段．则下列结论中：①；②四边形是正方形；③；④存在最小值，且其最小值是；⑤若连接，则值从小变大时，的值先增大再减小，错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，，即可判断①正确；设，由，易知，通过四边形是平行四边形，，，由平移坐标规律，易得，则轴，且四边形是正方形，进而得，，，，故②③正确；点在直线上，最小值是点到直线的距离，即，故④正确；当值从小变大时，一直变小，故⑤是错误的． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ，故①正确； 设，其中， 由，且， 易知，点在第二象限角平分线上， 又四边形是平行四边形，，， 由平移坐标规律，易得， 则轴，且四边形是正方形， 是点到轴的垂线段 ， ，， ，故②③正确； 点在直线上，四边形是平行四边形， ， 最小值是点到直线的距离，即，故④正确； 当值从小变大时，，一直变大，则一直变小，故⑤是错误的； 综上所述，只有⑤是错误的，结论中，错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的性质，旋转的性质，直角坐标系中坐标平移、旋转变换的规律等，灵活运用以上知识点、设关键点的坐标是解题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为的条件，解题的关键是掌握分式值为的条件．根据分式值为的条件：分子等于零，分母不为零，再构建分式即可进行解答． 【详解】解：“只含有字母，且当时分式的值为”的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．先根据解分式方程的一般步骤求出，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形中线定理，中位线定理和勾股定理，熟悉掌握相关的判定和性质是解题的关键．因为，平分，求得，因为点E分别是的中点, 是直角三角形，根据直角三角形中线定理求得：，，因为点E、F分别是、的中点,根据中位线定理求得，所以，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，平分， ， 点E是的中点, 是直角三角形， ， ∴ ， 点E、F分别是、的中点, ，， ∴， ， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 15. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在二、四象限，再利用函数性质可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数（a是常数）的图象在二、四象限， 在每一象限内，随的增大而增大， ∵ ∴在第四象限，，在第二象限， ∴，， 即， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．根据正方形得到，，过A作于G，求得，根据勾股定理得到，，过E作于F，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 过A作于G，如图， ， ， ，， ， ， ， 过E作于F， ∴， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 18. 如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等积法，直角三角形斜边中线等于斜边一半，矩形性质等．根据题意取点，即和，当三点共线时点 D到x轴距离的最大值． 【详解】解：∵，即矩形面积为6， ∴， ∴取点，即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 取F为的中点， ∴， ∴当三点共线时点 D到x轴距离的最大值， ∴， 故答案为：4． 三．解答题（本大题共10小题，共76分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的基本性质先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则及完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 20. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O成中心对称，C点坐标为． （1）请直接写出的坐标______； （2）是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】（1） （2）如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移、中心对称的性质． （1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出点的坐标； （2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可； （3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：∵，与关于原点O成中心对称， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，平移后点的对应点， ∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，； 如图所示， 连接，相交于点， 则为对称中心，即：为的中点， 又∵，， ∴，即， 故答案为：． 22. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】 （1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 23. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 24. 在综合与实践活动中，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略． 【洗衣目标】 经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 根据以上信息完成下列任务： （1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ （2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 【答案】（1）只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水； （2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标. 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，代数式的求值等知识点， 依题意，直接代入公式求解即可得解； 依题意，先求得第一次漂洗后的洗衣液溶度，再求第二次漂洗后洗衣液的溶度看是否即可； 正确根据题意代入公式求解是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，把代入：， 解得：,经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水； 【小问2详解】 解：第一次漂洗：把代入：，得, 第二次漂洗：把,代入：，得， ∵, ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标. 25. 观察下列方程以及解的特征： ①的解为； ②的解为； ③的解为； … （1）猜想关于x方程的解，并利用“方程解的概念”进行验证； （2）利用（1）结论解分式方程： ① ②． 【答案】（1）解为， 验证：把代入得：左边右边， 把代入得：左边右边； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，理解新方法是解题的关键． （1）猜想得到方程的解，验证即可； （2）①利用（1）的结论确定出方程的解即可．②设，则，原方程变形为，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：关于x方程的解为， 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴或， 解得：； ②设，则， 原方程变形为， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴或 解得：． 26. 如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． （1）若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； （2）若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 27. 阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵； ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ； （2）当时，求当x取何值， 有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1） （2）当时，有最小值，为4 （3）四边形面积的最小值为25 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴的最小值为2； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而， 当时， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． 【小问3详解】 解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为25． 28. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $