题型十三 二次函数的实际应用题 　2025年河南省中考数学二轮复习课件

题型十三 二次函数的实际应用题 1 历年考法通览 2 类型1 物体运动高度或距离与时间的关系问题 （2024河南中考新题型） 1.将一个物体从地面竖直向上抛（不计空气阻力），有这样的关系式： ，其中是物体距离地面的高度，是初速度， 是 重力加速度取， 是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器 （发射器的高度忽略不计）将一个小球以 的初速度从地面竖直向上 抛． （1）当小球的高度为时，求时间 的值. [答案] 把，代入，得 . 当时， ， 解得， . 答：小球的高度为时，所用时间为或 . 3 （2）小球的高度能达到 吗？请作出判断，并说明理由. [答案] 小球的高度不能达到 . 理由:把代入，得 ， 整理得 . ， 该方程无实数根， 故小球的高度不能达到 . 4 （3）若方方在圆圆抛出小球之后将另一个完全相同的小球以相同的初速度 从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为 ，求圆圆与方 方抛球的时间差． [答案] 由题意可得 ， 解得， ， . 答：圆圆与方方抛球的时间差为 . 5 2.[2024开封二模] 根据以下素材,探索并完成任务. 探究汽车刹车性能 “道路千万条,安全第一条”.刹车系统是车辆行驶安全的重要保障,某兴趣小组 研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）. 素 材 1 _______________________________________________________________________________________ 刹车时间:驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止,汽车所行驶的时间. 刹车距离:驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止,汽车所行驶的距离. 6 素 材 2 汽车研发中心设计一款新型汽车,该兴趣小组成员记录了模拟汽车在公 路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据,具体如下: ___________________________________________________________________________________________________ 素 材 3 该兴趣小组成员发现: ①刹车距离（单位:）与刹车时间（单位: ）之间具有函数关系 ,,为常数 ; ②刹车距离随刹车时间 的增大而增大,当刹车距离最远时,汽车完全停 止. 问题解决:请根据以上信息,解答下列问题. 续表 7 （1）求关于 的函数表达式. [答案] 将,分别代入 , 得解得 关于的函数表达式为 . 8 （2）司机在匀速驾驶过程中突然发现正前方 处路面上有一个障碍物,若 立刻刹车,则该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物?请说明理由. [答案] 不会. 理由： , , 当时，刹车距离最大，为 . , 该车在不变道的情况下不会撞到障碍物. 9 3.[2024大连甘井子区一模] 【问题情境】 高速摄像机是一种能够以极快速率捕获物体运动图像的设备，可以将快速移 动的物体运动的过程拍成照片记录下来．小明和小强参加科技小组活动，小 明从一建筑物的顶端，在保证安全的情况下让一个质量为 的金属小球由 静止状态自由落下，小强用一种高速摄像机拍摄下小球的运动．相机每隔 曝一次光，记录下不同时刻小球所处的位置，由于曝光时间间隔相等，因此， 照片既记录下了小球自由下落的距离，也记录下了小球运动的时间．具体数 据如图（1）所示． 10 【问题发现】 小强根据照片上的数据，将小球下降的距离与下落的时间 整理成下 面的表格，小明检查后发现时， 的值是错误的． 0 1 2 3 4 0 4.9 14.7 44.1 78.4 11 （1）当时， 的值应是_____. 19.6 12 【问题探究】 小明和小强把上表中<m></m>,<m></m>的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描 出相应的点，画出了草图，猜想并验证<m></m>与<m></m>之间的函数关系.（他们查阅资料 后得知<m></m>与<m></m>之间的函数关系是初中学过的三种函数关系中的一种） 13 （2）请你先在图（2）所示的坐标系中描点画图，再求出与 之间的函数关 系式． [答案] 在坐标系中描点画图，如图所示. 14 观察图象，可知与 之间是二次函数关系. 由图象过点，可设 . 将，分别代入 ， 得解得 与之间的函数关系式为 . 15 【问题拓展】 小明把质量为<m></m>的金属小球换成质量为<m></m>的金属小球，重新试验，发现 小球自由下落的距离<m></m>与所经过的时间<m></m>的数据与之前得到的数据完全 相同． （3）物理学上将这种运动称为自由落体运动，通过上述两次试验，你能得 到关于自由落体运动的结论是________________________________________ ______________________________________________________________. （写出一个即可） 自由落体运动物体下降的距离与下落的时间的平方成正比，与物体的质量无关（答案不唯一，合理即可） 16 类型2 抛物线形问题 4.[2024郑州一模] “诗圣”杜甫出生在巩县（今郑州巩 义市）笔架山下的窑洞里,窑洞是黄土高原、黄河中游 特有的民居形式.如图,某窑洞口的截平面下部为矩形 ,上部为抛物线.已知下部矩形的长为4米,宽为2米, 窑洞口的最高点离地面 的距离为4米. 17 （1）请在图中建立适当的平面直角坐标系, 点的坐标为______; [解析] 以的中点为原点、 所在直线 为 轴，建立的平面直角坐标系如图所示： 18 （2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式; [答案] 设抛物线的表达式为 ， 将代入，得 ， 解得 ， 故抛物线的表达式为 . 19 （3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户 （窗户的边框忽略不计）, 使得点,在下部矩形的边上,点,在抛物线上,且 ,则这个窗户的 宽 为多少米? [答案] 设，则 ． 在矩形中，，即 ． 解得, （舍去）， . 答：这个窗户的宽为 米． 20 5.[2024商丘二模] 如图,某跳水运动员在10米跳 台上进行跳水训练,水面边缘点 的坐标为 ,运动员（将运动员看成一点）在空中 运动的路线是经过原点 的抛物线.在跳某个规定 动作时,运动员在空中最高处点的坐标为 , 正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完 成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否 则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线. 21 （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式并求出入水点 的坐标. [答案] 运动员在空中最高处点的坐标为 , 点 为抛物线的顶点， 设该抛物线的表达式为 . 该抛物线经过点 ， , , 抛物线的表达式为 ． 22 跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练， 令，则 ， 或 （舍去）， . （2）正常情况下,若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点 的水平距离 为4米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由. [答案] 该运动员此次跳水不会失误. 理由： 运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 的水平距离为4米， 点的坐标为 ， 运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3， 当时， ， 该运动员距水面高度为 （米）. ， 该运动员此次跳水不会失误． 24 6.跳台滑雪是一项极具挑战性和观赏性的运动项目，被形容为“勇敢者的游 戏”.跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在 高速下落的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡 能力，其中在空中飞行过程呈现优美的抛物线形. 如图，为着陆坡，为跳台，且点 为 起跳点，点 为运动员空中飞行后的着陆点 （点，，， 在同一竖直平面内，且点 ，在同一竖直方向上）.以点 所在的水 平线为轴，所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为 ），已知点到跳台的水平距离为，， .起跳后 在距跳台水平距离处达到最大高度 . 25 （1）求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式. [答案] ， . 起跳后在距跳台水平距离处达到最大高度 ， 抛物线的顶点为 . 设运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式为 , 将代入，得 ， 解得 ， 故抛物线的表达式为 . 26 （2）求在空中飞行时，运动员到着陆坡 的最大竖直距离. [答案] 由（1）知， ， 当时， ， . 设直线的表达式为 ， 将， 分别代入， 得解得 故直线的表达式为 . 设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为 ， 27 则 ， 故当时， 最大，最大值为18. 答：在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离为 . 28 7.[2024商丘一模] 某农户用喷枪给斜坡 上的绿地喷 灌，喷出水柱的形状是抛物线.经测量， 处的喷水头 距地面,水柱在距喷水头水平距离 处达到最高， 最高点与水平线的距离为 ,建立如图所示的直角 坐标系，并设抛物线的表达式为 ,其 中是水柱距喷水头的水平距离， 是水柱距水平线的高度. 29 （1）求抛物线的表达式； [答案] 点是抛物线 的顶点， 抛物线的表达式可转化为 . 又 抛物线过点 ， ， 解得 ， 抛物线的表达式为 . 30 （2）若斜坡上有一棵高的树,它与喷水头的水平距离为 , ，请判断从 处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由. [答案] 不能. 理由：如图，延长交于点，易知 ， 则点，，的横坐标均为5，即 . ，， . ， . 当时， . ， 从 处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 31 8.[2024南阳一模] 【发现问题】爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有 趣的现象:排球被垫起后,沿弧线运动,运动轨迹类似抛物线的一部分,于是她和 同学小宛一起进行实验探究. 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度 与距垫球点的水平距离 近似满足怎样的函数关系? 图（1） 【分析问题】经实地测量可知,排球场 地长为 ,球网在场地中央且高度为 .建立如图（1）所示的平面直角 坐标系. 32 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离 的几组数据 如下表,并在如图（2）所示的平面直角坐标系中,描出了各组数值的对应点 . 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 图（2） 33 【解决问题】 （1）①请在图（2）的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹; [答案] 画图如图所示. 34 ②根据表格数据和所画轨迹形状,求排球运动过程中的竖直高度 与水平距离 近似满足的函数关系式; [答案] 根据题意，设与的函数关系式为 ， 将代入，得，解得 ， 经检验，其他数据 也近似满足上述关系， . ③通过计算,判断小宛这次发球能否过网,并说明理由. [答案] 当时， ， 小宛这次发球能过网． 35 （2）小宛第二次发球时,如果只上下调整击球高度 ,球运行轨迹形状不变, 那么为了确保排球既要过网,又不出界（排球压线属于没出界）,求击球高度 的取值范围. 36 [答案] 当时，抛物线的表达式为 ， 设向上平移的距离为 ， 平移后的抛物线的表达式为 . 当平移后的抛物线经过点时， ， ，此时 . 当平移后的抛物线经过点时， ， ,此时 . 分析可知，当击球高度的取值范围是 时，排球既 过网，又不出界． 37 类型3 利润问题 9.[2024洛阳三模] 为了“让人民群众奔着更好的日子去”,各地广泛进行电商 助农销售.某网店尝试用30天的时间，按单价随天数而变 化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品，经 过统计得到该农产品的日销售量（件）、销售价格 （元/件）在第天为正整数销售的相关信息：与 满足一次函数关系， 且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；与 之间的函数关 系图象如图所示. 38 （1）求第5天的日销售量. [答案] 设 ， 把， 分别代入， 得解得 . 当时， ，即第5天的日销售量为90件. 39 （2）在这30天中，网店哪天销售该农产品的日利润 最大?最大是多少元? [答案] 当时，设 ， 把， 分别代入， 得解得 . 当时， . 当 时， . 40 ， 当时， . 当 时， . ， 随的增大而减小， 当时， . , 网店第15天销售该农产品的日利润 最大，最大值是2 450元. 41 10.[2024南阳二模] 近年来，直播带货成了一个火热的新兴职业.某主播带货 图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热 情.已知这本书的成本价为10元，规定售价不低于成本价，且不高于成本价的 3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量（本）与售价 （元 /本） 之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示： （元/本） … 15 25 … 本 … 700 500 … 42 （1）根据表格提供的数据，求与的函数关系式，并写出 的取值范围. [答案] 设与的函数关系式为 . 依题意，得 解得 与的函数关系式为 . 43 （2）若销售该书每天的利润为6 000元，求该书的售价. [答案] 依题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ． ， . 若销售该书每天的利润为6 000元，则该书的售价为20元/本. 44 （3）销售该书每天的利润能否达到9 000元?请说明理由. [答案] 不能．理由如下. 方法一：依题意，得 ， 整理，得 . ， 该方程没有实数根， 销售该书每天的利润不能达到9 000元． 45 方法二：设销售该书每天的利润为 元,则 . 当时，有最大值 ，即销售该书每天的最大利润为8 000元. ， 销售该书每天的利润不能达到9 000元. 46 类型4 面积问题 11.[2024湖北中考] 如图,某校劳动实践基地用总长为 的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为 .栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验 田与墙垂直的一边长为（单位: ）,与墙平行的一边 长为（单位:）,面积为（单位: ）. 47 （1）直接写出与,与之间的函数解析式（不要求写 的取值范围）. [答案] ， . [解析] 解法提示：由题意，得 , ， . 48 （2）矩形实验田的面积能达到吗?如果能,求 的值;如果不能,请说明 理由. [答案] 矩形实验田的面积能达到 . 令，则 ， 整理,得 ， 解得, . 墙长为 ， ， ， 解得 ， . 49 （3）当的值是多少时,矩形实验田的面积 最大?最大面积是多少? [答案] . , , 当时，取得最大值，此时 ， 即当时，最大,最大面积是 . 50 12.[2024郑州外国语四模] 【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形 情况，要对景观带中一个长米，宽米的矩形水池 进行加 长改造（如图（1），改造后的水池 仍为矩形，以下简称水池1），同 时，再建造一个周长为12米的矩形水池 （如图（2），以下简称水池 2）. 【建立模型】如果设水池1的边加长长度为米 ，加长后水池1 的总面积为平方米，则关于的函数表达式为 ；设水 池2的边的长为米，面积为平方米，则关于 的函数表达 式为 ，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的 图象如图（3）. 51 【问题解决】 （1）求关于 的函数表达式. [答案] 关于的函数表达式为 . 52 （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 的值. [答案] 如图，在抛物线上的段上任取一点，过点 作 轴交线段于点 ， 则线段 的长表示两个水池面积差， 设，则 ， ， ， 当时，有最大值 ， 在范围内，两个水池面积差的最大值为 ，此 时的值为 . 53 （3）假设水池的边米改为 米，其他条件不变 （这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于 的函数表达式为.若水池3与水池2的面积相等时， 有唯一 值，请直接写出此时 的值. [答案] 的值为 . 54 [解析] 解法提示：若水池3与水池2的面积相等时， 有唯一值，则直线 与抛物线 只有一个交点. 令，得 ， 整理，得 . 由题意可知，此方程有两个相等的实数根， ，解得 . 55 $$