题型十二 二次函数图象与性质的综合题 2025年河南省中考数学二轮复习课件

题型十二 二次函数图象与性质的综合题 1 历年考法通览 2 类型1 增减性、最值、范围问题 1.已知，是抛物线 上任意两点． （1）若当，时，，求 的值； [答案] 当，时， ， ， ． 3 （2）若当时，的最小值为4，试求当时， 的最大值； [答案] ， 抛物线开口向上. 易知抛物线的对称轴是直线 . 分三种情况讨论. ①当，即 时， 在时 取最小值， 故 ，此方程无解. ②当即 时， 在时 取最小值， 4 故，解得,与 矛盾，故此种情况不存在. ③当即 时， 在时 取最小值， 故，解得 ，符合题意. 在时 取最大值， 最大值为 . 综上可知，当时， 的最大值为9. 5 （3）若对于任意，，都有，直接写出 的取值 范围． [答案] . 6 [解析] 解法提示： 抛物线开口向上， 抛物线上离对称轴越远的点纵坐标越大. 又,抛物线的对称轴为直线 , 点到直线的距离小于点到直线 的距离. 由题意知点在点 左侧. 连接,则中点的横坐标为 . 由可知的中点在直线 右侧， . ,， ， ， ， . 7 2.[2024郑州外国语三模] 如图（1）,在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于,两点，交轴于点 . 图（1） 图（2） 8 （1）求抛物线的表达式； [答案] 抛物线与轴交于， 两点， . ，解得 ， 故抛物线的表达式为 . 9 （2）当时，的取值范围是,求 的取值范围； [答案] 如图，设抛物线的顶点为 . ， ， . 设抛物线上的点的横坐标为，当点在曲线上时含端点， ，曲 线对应的纵坐标的范围为，故的取值范围为 . 10 （3）如图（2）,点是直线上方抛物线上的一动点，过点作 于 点,过点作轴的平行线交直线于点,直接写出 周长的最大值. [答案] . 11 3.[2024广西中考] 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. （1）老师给出，求二次函数 的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； [答案] . ②求当取何值时，函数取最小值，并写出此时的 值. [答案] . ， 抛物线开口向上， 当时，取最小值，最小值为 . 12 【举一反三】老师给出更多的值，同学们求出对应的函数在取何值时， 的最小值.记录结果，并整理成下表： … 0 2 4 … … * 2 0 … 的最小值 … * … 注：*为②的计算结果. 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的 发现.” 甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到 的最小值.” 13 乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时， 的最 小值先增大后减小，所以我猜想 的最小值中存在最大值.” （2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理? [答案] ， ， 抛物线开口向上， 当时， 取最小值. 甲同学的说法合理. 14 （3）你认为乙同学的猜想是否正确?若正确，请求出此最大值；若不正确， 说明理由. [答案] 乙同学的猜想正确. 当时， 取最小值， 此时 ， ， 抛物线开口向下， 当时，取最大值，最大值为 . 15 类型2 交点问题 4.[2024河南省实验四模] 已知二次函数 ． （1）用含 的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标； [答案] 对称轴为直线，顶点坐标为 . 16 （2）当时，二次函数的最小值是 ，求此时二次函数的表 达式； [答案] ，在对称轴直线 的左侧， 随 的增大而减小， 当时，最小为 ， 即 ， 解得 . ，，即 ， 此时二次函数的表达式为 . 17 （3）已知点，，线段与二次函数 的图象有 公共点，直接写出 的取值范围． [答案] ． [解析] 解法提示：易知抛物线开口向上，并经过定点 . 当抛物线经过点时， ，如图， 18 当抛物线经过点时， ，如图， 分析可知，当线段与抛物线有公共点时， 的取值 范围为 . 19 5.[2024焦作二模] 已知抛物线的顶点为 . （1）若抛物线经过原点,求的值及顶点 的坐标. [答案] 抛物线 经过原点, 将代入，得, , 抛物线的表达式为 , 顶点的坐标为 . 20 （2）在（1）的条件下,把时函数的图象记为 , 将图象绕原点旋转 ，得到新图象，设图象与图象 组合成的 图象为 . ①图象 的表达式为____________________（写出自变量的取值范围）; [解析] 解法提示：图象所在抛物线的顶点坐标为 ，开口大小与原 抛物线相同，开口向上，故图象的表达式为 ，即 . 21 ②若直线与图象有3个交点,请直接写出 的取值范围. [答案] 的取值范围为 . [解析] 当直线与抛物线只有一个交点 时，如图， 22 关于的方程，即 有两个相等的实数根， ，解得 . 当直线与抛物线只有一个交点 时，如图， 关于的方程，即 有两个相等的实数根， ，解得 . 分析可知，当时，直线与图象 有3个交点. 23 6.[2024临夏州中考] 在平面直角坐标系中, 抛物线与轴交于 , 两点,与轴交于点,作直线 . （1）求抛物线的解析式. [答案] 将，分别代入 ， 得解得 故抛物线的解析式为 . 24 （2）如图（1）,点是线段上方的抛物线上一动点,过点作 ，垂 足为，请问线段是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点 的坐 标;若不存在，请说明理由. [答案] 存在. 如图，过点作轴，交于点 ． 25 ， ， 直线的解析式为 . ， ， ， ， , 当的值最大时， 的值最大. 设，则 ， . ， 当时，的值最大，最大值为 ， 的最大值为，此时点的坐标为， . 26 （3）如图（2）,点是直线上一动点,过点作线段（点 在直线 下方）,已知,若线段与抛物线有交点,请直接写出点 的横坐标 的取值范围. [答案] 或 . 27 [解析] 解法提示：设，则 ， 当点在抛物线上时， ， 解得， ． 线段 与抛物线有交点， 满足条件的点的横坐标的取值范围为或． 28 类型3 新定义问题 7.[2024洛阳二模] 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形 上，且 点的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形 的 “梦之点”. （1）点是反比例函数 图象上的一个“梦之点”,则该函数图象 上的另一个“梦之点” 的坐标是______； 29 （2）如图，已知点,是抛物线上的“梦之点”,点 是抛物 线的顶点，连接,,,判断 的形状，并说明理由； [答案] 是直角三角形. 理由： 点,是抛物线 上的“梦之点”, 令，解得， ， , . ， ， 30 , , , , 是直角三角形. （3）在的范围内，若二次函数 的图象上 至少存在一个“梦之点”,则 的取值范围是____________. [解析] 解法提示： ， 抛物线的顶点坐标为，且顶点在直线 上. 令，解得， ， 即抛物线与直线有两个交点，且另一个交点的横坐标为 . 32 当抛物线右侧部分经过点时，如图，此时 ， 解得 . 当抛物线的顶点与点重合时，如图，此时 . 综合分析可知，当时，在 的范围内，抛物线上至少存 在一个“梦之点”. 33 8.[2024辽宁中考改编] 已知是自变量 的函数， 当时，称函数为函数 的“升幂函 数”．在平面直角坐标系中，对于函数 图象上任 意一点，称点为点“关于 的升 幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上． 例如：函数，当时，则函数 是函数 的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数 的图象上任意一 点，点为点“关于的升幂点”，点在函数 的 “升幂函数” 的图象上． 34 （1）求函数的“升幂函数” 的函数表达式. [答案] 根据题意得 . （2）如图，点在函数的图象上，点“关于的升幂点” 在 点上方，当时，求点 的坐标. [答案] 设点，则 . ，在点上方，， ， . 35 （3）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点 ，设点 的横坐标为 ． ①若点与点重合，求 的值； [答案] 根据题意得，则 . 点与点 重合， ，解得或 . 36 ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数” 的 图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为 ， 求关于 的函数表达式. [答案] 根据题意可知函数的表达式为， 函数的图象的对称轴为直线 ， 点，关于直线对称， . 令，解得， . 点在点的上方， ， . 37 分两种情况讨论. 当时，点在点 的右侧， ， . 当时，点在点 的左侧， ， . 综上所述， 38 $$