江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三下学期数学周练14

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是 （   A  ） A． B． C． D． 2．某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名（假设测试成绩两两不同），成绩处于第百分位数，则该班的人数可能为 （ B ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则 （  C   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为 A. B. C. D. （ A ） 5．已知曲线在第一象限交于点处两条曲线的切线倾斜角分别为，则 （ A ） A． B． C． D． 6．已知角 （ D ） A． B． C． D． 7．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象 （  C   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，即，由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.故选：C. 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，解得的曲线的形状也不同，据研究，曲线的离心率为，此时解得的曲线是抛物线，如图2，在底面半径为2，且 上互相垂直的直径，上除端点外的一点，用过三点的平面去截该圆锥，则下列说法错误的是 （ B ） A．圆锥的体积为 B．若 C．当时，截得的曲线是椭圆的一部分 D． 若 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．在复数范围内，下列命题正确的是 （  BC  ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则的最大值为3 D．若，则 【详解】对于A，若，设，，，所以， 若，，则，不为纯虚数，故A错误；对于B，设，，则，若，则，，解得：，即或，所以，故B正确，对于C，表示复数在复平面上对应的点到的距离为， 即以为圆心，为半径的圆，表示点到原点的距离， 圆心到原点的距离为，所以的最大值为，故C正确； 对于D，取，，，， 满足，但，故D错误.故选：BC. 10．在，则 （ ACD ） A． B．满足条件有两个 C． D． 11．过点作抛物线的两条切线，切点为为抛物线的焦点，则下列说法正确的是 （ ABD  ） A．点的坐标为 B．若线段的中点为与抛物线交于点，则 C．设抛物线上之间任意一点处的切线分别与交于点，记的面积分别为，则 D． 【详解】对于选项A，由，得到，则，由导数的几何意义知， 曲线在点处的切线方程为，整理得到， 又，所以，即， 同理可得曲线在点的处切线方程为，则， 解得，所以点的坐标为，故选项A正确； 对于选项B，易知，由选项A知的方程为， 所以，代入，得， 所以是线段的中点，故，所以选项B正确， 对于选项C，由选项B知垂直轴，不妨设，则 ，由，同理可得， 所以，故选项C错误；对于选项D，点的坐标为，点的坐标为， 则，又由抛物线定义可知，所以，故选项D正确，故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若是函数，图象上的相应的点，那么 . 13．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，则线段中点的轨迹方程为 . 14．设函数的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，对应边为，，，满足． （1）已知，若在上，且，求的最大值； （2）延长至点，使得．若，求的大小． 15．解：（1）在中，， 由，得， 整理得，而， 所以，可得， 结合，可知，所以的面积， 因为是边上的高，所以，可得， 由余弦定理得，即， 根据，可得，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以， 当时，取得最大值； （2）由，可得， 过作，交于点，则，可得， 在与中，，， 所以，可得，即， 所以， 结合正弦定理得，可得， 结合，可得或， 所以或. 16．如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点. (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. 16．解：（1）证明：因为平面，平面， 且平面平面，所以. 取的中点，连接、， 因为是棱的中点，所以，且， 因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接. 因为是正三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，   则、、、，所以， 设，其中， 则， 设平面的法向量， 所以， 令，得， 设点到平面距离为，. 当时，； 当时，，则， 当且仅当时等号成立. 综上，点到平面距离的取值范围是. 17．为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： （1）能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：， 并利用表中数据求出值. （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 17．解：（1）提出假设：使用该药物与预防该疾病无关， 18．已知双曲线的离心率为，虚轴的两个端点与其一个顶点所构成的三角形的面积为2. （1）求双曲线的方程； （2）点是双曲线的左顶点，点 ①过点的两条渐近线的平行线分别交双曲线两点，求直线的方程； ②过点的另一个交点分别是点.试问：直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不过定点，请说明理由. 18．解：由题意得又虚轴 19．已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 19．解：（1）由，得 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是 （     ） A． B． C． D． 2．某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名（假设测试成绩两两不同），成绩处于第百分位数，则该班的人数可能为 （ ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则 （      ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为 A. B. C. D. （ ） 5．已知曲线在第一象限交于点处两条曲线的切线倾斜角分别为，则 （ ） A． B． C． D． 6．已知角 （ ） A． B． C． D． 7．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象 （     ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，解得的曲线的形状也不同，据研究，曲线的离心率为，此时解得的曲线是抛物线，如图2，在底面半径为2，且 上互相垂直的直径，上除端点外的一点，用过三点的平面去截该圆锥，则下列说法错误的是 （ ） A．圆锥的体积为 B．若 C．当时，截得的曲线是椭圆的一部分 D． 若 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．在复数范围内，下列命题正确的是 （    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则的最大值为3 D．若，则 10．在，则 （ ） A． B．满足条件有两个 C． D． 11．过点作抛物线的两条切线，切点为为抛物线的焦点，则下列说法正确的是 （    ） A．点的坐标为 B．若线段的中点为与抛物线交于点，则 C．设抛物线上之间任意一点处的切线分别与交于点，记的面积分别为，则 D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若是函数，图象上的相应的点，那么 . 13．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，则线段中点的轨迹方程为 . 14．设函数的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，对应边为，，，满足． （1）已知，若在上，且，求的最大值； （2）延长至点，使得．若，求的大小． 16．如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点. (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. 17．为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： （1）能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：， 并利用表中数据求出值. （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 18．已知双曲线的离心率为，虚轴的两个端点与其一个顶点所构成的三角形的面积为2. （1）求双曲线的方程； （2）点是双曲线的左顶点，点 ①过点的两条渐近线的平行线分别交双曲线两点，求直线的方程； ②过点的另一个交点分别是点.试问：直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不过定点，请说明理由. 19．已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$