第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合与常用逻辑用语 章末总结 邯郸市荀子中学 郭素霞 第一章 集合与常用逻辑用语 知识网络 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 要点梳理 1、元素与集合 (1)集合元素的三个特征: 、 、 . (2)元素与集合的关系有 或 两种,用符号 或 表示. (3)集合的表示方法: 、 、 . (4)常见数集的记法. 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 Venn图法 N N* (或N+ ) Z Q R 2、集合间的基本关系 关系 自然语言 符号表示 Venn图 子集 对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集 集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等 A⊆B(或B⊇A) A⫋B(或B⫌A) A=B 要点梳理 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 Venn图 符号语言 A∪B= A∩B= ∁UA= 运算性质 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} (1)若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2. (2)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). A∪∅=A; A∪A=A; A∪B=B∪A; A∪B=A B⊆A A∩∅=∅; A∩A=A; A∩B=B∩A; A∩B=A A⊆B A∩(∁UA)=∅; A∪(∁UA)=U; ∁U(∁UA)=A; ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB); ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). {x|x∈U,且x∉A} 要点梳理 4.充分条件、必要条件、充要条件 判断方法 定义法 集合法: p对应集合A, q对应集合B 命题法: 原命题为“若p,则q”, 逆命题为“若q,则p” p是q的充分不必要条件 p q,但qp A ⫋B 原命题真,逆命题假 p是q的必要不充分条件 ,但 . . p是q的充要条件 ,且 . . . p是q的既不充分也不必要条件 ,且 . . qp pq p q qp qp pq B ⫋A B =A AB且B A 原命题假,逆命题真 原命题真,逆命题真 原命题假,逆命题假 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中任意一个x,有p(x)成立 存在量词命题 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 要点梳理 5.全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题及其否定 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∀ ∃ (2)全称量词命题和存在量词命题 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,p(x0) 要点梳理 (3)全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,p(x0) ∃x0∈M, p(x0) ∀x∈M, p(x) 命题 命题的否定 真 假 假 真 要点梳理 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“ ” (1)0∈N*.( ) (2)任何一个集合都有子集.( ) (3){x|y=x +1}={x:y=x +1}={t;y=t2+1}.( ) (4)若{x ,1)=(0,1},则x=0,1.( ) (5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)∈(AUB)恒成立.( ) (6)“对顶角相等”是命题.( ) (7)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( ) (8)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真.( ) (9)全称量词命题和其否定不可能都是真命题.( ) 练一练 √ √ √ √ √ √ 核心突破 探究 若,,1组成的集合与组成的集合为同一个含3个元素的集合,则的值为 . 集合的概念及基本运算 解:因为,,1组成的集合与组成的集合为同一个集合, 所以,解得,或, 当时,三个元素组成的集合为,符合题意, 当时,集合中有相同的元素,所以不合题意, 综上,, 所以. 1 核心突破 探究 设集合,,,求: (1);(2);(3) 集合的概念及基本运算 解:(1)由并集定义知:. (2),. (3),或, . 核心突破 探究 已知全集,集合,求:(1)A∩B;(2)(A∪B) 集合的概念及基本运算 解:(1), ,故 (2)由(1), , 因为全集,由补集的定义可知, . 核心突破 探究 已知集合,集合. (1)当m=-1时,求A∪B; (2)若AB,求实数m的取值范围; (3)若A∩B=,求实数m的取值范围. 集合的概念及基本运算 解:(1)当m=-1时,, 则A∪B= . (2)由AB,可得,解得 即实数m的取值范围为 核心突破 探究 已知集合,集合. (1)当m=-1时,求A∪B; (2)若AB,求实数m的取值范围; (3)若A∩B=,求实数m的取值范围. 集合的概念及基本运算 (3)由A∩B=,得 ①当,即时,,符合题意; ②当,即时, 需或,解得 综上所述,实数m的取值范围为 核心突破 探究 已知全集,若集合. (1)求,,; (2)若集合,求的取值范围. 集合的概念及基本运算 解:(1)因为, 所以, , (2)因为, 所以 . 核心突破 探究 已知,若,求实数a的值. 集合的概念及基本运算 解:由已知可得, 因为,则或或或, 当时,,无解, 当时,则,解得, 当时,则,无解, 当时,则,解得, 综上,实数a的值为1或4. 核心突破 探究 已知集合,,则M与P的关系为( ) A.M=P B.M⊆P C.P⊆M D.M⫋ P 集合的概念及基本运算 解:①对于任意 ∵,∴, ②∴,由子集定义知. ∵,此时,即, 而在时无解,. 综合①②知,M⫋ P. D 核心突破 探究 若p:,q:,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 充分条件与必要条件 解:由得,即p:, 由得,即q: 因为,所以p是q的充分不必要条件 A 核心突破 探究 已知p:,那么p的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 充分条件与必要条件 解:对于A中,由,则不一定成立,反之:若,则也不一定成立, 所以是的即不充分也不必要条件,所以A不符合题意; 对于B中,由,则不一定成立,反之:若,则也不一定成立, 所以是的即不充分也不必要条件,所以B不符合题意; 对于C中,由,则成立,反之:若,则不一定成立, 所以是的充分不必要条件,所以C符合题意; 对于D中,由,则不一定成立,反之:若,则成立, 所以是的即必要不充分条件,所以D不符合题意. C 核心突破 探究 已知集合,集合. (1)若是成立的一个充分不必要条件,求实数的取值范围; (2)若是成立的一个充分不必要条件,求实数的取值范围; (3)若是成立的一个充要条件,求实数的取值范围. 充分条件与必要条件 解:(1)因为是成立的一个充分不必要条件,所以,所以; (2)因为是成立的一个充分不必要条件,所以, ①当时,,所以,符合题意, ②当时,需,所以,符合题意, 综上可得; (3)因为是成立的一个充要条件,所以,所以. 核心突破 探究 已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|a≤x≤8}. (1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件; (3)求一个实数a的取值集合,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件. 充分条件与必要条件 解:(1)由M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5, 因此M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5, 即a的取值范围为{a|-3≤a≤5}. 核心突破 探究 已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|a≤x≤8}. (1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件; (3)求一个实数a的取值集合,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件. 充分条件与必要条件 解:(2)由(1)知M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5, 所以“求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件”, 就是“求一个实数aQ,且Q⫋{a|-3≤a≤5}”, 如取a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8}; 反之,M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个充分但不必要条件. (答案不唯一) 核心突破 探究 已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|a≤x≤8}. (1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件; (3)求一个实数a的取值集合,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件. 充分条件与必要条件 解:(3)由(1)知M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5, 所以“求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件” 就是 “求一个实数aQ,使{a|-3≤a≤5}⫋Q” 如当a≤5时,未必有M∩P={x|5<x≤8},但是M∩P={x|5<x≤8}时,必有a≤5, 故{a|a≤5}是所求的一个a的取值集合. (答案不唯一) 核心突破 探究 写出下列各命题的否定,并判断其真假. (1):对任意的正数,; (2):三角形有且仅有一个外接圆; (3):存在一个三角形,它的内角和大于; (4):. 全称量词与存在量词 解:(1):存在正数,使. 假命题 (2):存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆. 假命题 (3):所有三角形的内角和小于或等于180 . 真命题 (4):. 假命题 核心突破 探究 已知集合,,且. 若命题q:“”是真命题,求m的取值范围. 全称量词与存在量词 解:q为真,则,因为, 所以,解得. 若,则,解得, 则若,. 即m的取值范围为. 核心突破 探究 若,方程恒有解,求实数的取值范围. 全称量词与存在量词 解:当时,方程恒有解, 所以; 当时,∵方程恒有解, ∴恒成立, 即恒成立. 又是一个关于的一元二次不等式, ∴,解得. 综上所述,实数的取值范围是. 1.已知集合,,则 ( ) A. B. C. D. 2.若集合,,则 ( ) A. B. C. D. 3.设集合,,若,则( ) A. B. C. D. 4.已知全集,集合,若( ) A. B. C. D. C 课时作业 D B A 5.设,则”“是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.设,则“” 是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.若,则“” 是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知命题p:,命题q:,,则( ) A. p和q都是真命题 B. p和q都是真命题 C. p和q都是真命题 D. p和q都是真命题 课时作业 A B A B $$