全等三角形综合问题2025年九年级中考数学复习

全等三角形综合问题

2025年九年级中考数学复习

 

 

1．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，．

(2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________．

2．如图1，在菱形中，，为边上一点，为延长线上一点，．

(1)求证：；

(2)连接，若，，则________；

(3)如图2，交于点，延长，交的延长线于点，探究，与的数量关系．并说明理由．

3．学完“探索三角形全等的条件”后，小轩同学对“”的探究很感兴趣，他查阅资料，发现“等边对等角”的知识（例如在中，如果，那么），这让小轩想到：在与中，如果，，，虽然不能直接判定，但与的数量关系是可以确定的．

(1)请你通过特殊化策略，猜想并填空：

①当时，与的数量关系是______；

②当时，与的数量关系是________．

(2)请直接运用上述知识及猜想，解决以下问题：

如图，已知与是两个大小不一样的等边三角形，连接交于点G，连接交于点H，且，请判定B，C，D三点是否在同一条直线上？并说明理由．

(3)已知，点D与点E分别在两边与上，延长至点G，使得，连接．过D，E的直线交于点F，且．根据上述信息作草图（不要求准确）并证明：．

4．已知矩形纸片，

第①步：将纸片沿折叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结与相交于点O（如图1）．

第②步：将纸片继续沿折叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连结，与交于点H（如图2）．

(1)请猜想和的数量关系并证明你的结论．

(2)已知 ，求的值和的长．

5．在中，，平分交于在上，且．

(1)求的度数；

(2)求证：．

6．在矩形中，．

(1)如图（1），点为矩形内一点，请过点作一条直线，将矩形的面积平分，并说明理由；

(2)如图（2），若点为对角线上一点，且，点为边上一点，作直线交边于点，直接写出面积的最小值．

7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，的坐标为，横坐标为的点在线段上，点是轴负半轴上一动点，以点为直角顶点在的左边作等腰直角三角形，连结、．

(1)求直线的函数表达式；

(2)设点的坐标为，求点的坐标；（用含的代数式表示）

(3)求的周长的最小值．

8．已知在四边形中，，，

(1)如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______；

(2)如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明；

(3)如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

9．在中，，点与点在所在直线的同侧，且，过点作交于点，为的中点，连接，．

（1）当时，如图①，易证线段与的数量关系是；

（2）当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段与的数量关系，并选样图②或图③进行证明．

10．已知是等腰直角三角形，，为平面内一点．

(1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求线段的长度；

(2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，请探究、、之间的数量关系并给出证明；

(3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值．