第四章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 第五章§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1同角三角函数的基本关系（含弦切互化） 2024·全国甲卷 2023·全国乙卷 2021·全国甲卷 2021·全国新Ⅰ卷 理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值，能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考。 考点2 诱导公式及其化简求值 2023·全国甲卷 2022·浙江卷 【知识梳理】 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【名师点拨】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A.sin(－x)＝sin x B.sin＝cos x C.cos＝－sin x D.cos(x－π)＝－cos x 3.若sin xcos x＝则cos x－sin x的值是(　　) A.± B. C.－ D.± 4.已知α是第三象限角，sin α＝－则tan α＝　　　　　　.  【名师点拨】 1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. (3)sin2α＝； cos2α＝. 2.谨防两个易误点 (1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. (2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意. 【必练核心题型】 题型一　同角三角函数基本关系式 【典例】1.已知sin α－cos α＝则tan α＋的值为(　　) A.－ B.－4 C. D.4 【典例】2.已知tan α＝－3，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【变式训练】 变式1.(2025·太原模拟)已知sin α＋cos α＝0<α<π，则sin α－cos α等于(　　) A.－ B. C.－ D. 变式2.已知tan α＝2，则＝　　　　　　.  题型二　诱导公式 【典例】1.若sin(π＋α)＝则sin(π－α)＋cos等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【典例】2.(2025·沧州模拟)已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【变式训练】 变式1.已知sin则cos等于(　　) A. B.－ C. D.± 变式2.的值为　　　　　　.  题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例】1.已知sin(5π＋α)＝5sin则sin 2α＋sin2α等于(　　) A.－ B. C. D. 【典例】2.已知α∈β∈且sincossin(π＋α)＝sin则β－α＝　　　　　　.  【变式训练】 变式1.若sin(3π＋α)＝α∈则tan(2 025π－α)等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 变式2.(多选)已知sin＝－x∈则(　　) A.cos＝－ B.tan＝2 C.cos＝－ D.sin 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2024·成都模拟)若角α的终边位于第二象限，且sin α＝则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 2.以下四个数中，与sin 2 026°的值最接近的是(　　) A.－ B. C.－ D. 3.若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－则sin θ－cos θ等于(　　) A. B.－ C. D.－ 4.(2025·石家庄模拟)设－<α<0，若则sin α等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 5.cos2＋cos2等于(　　) A. B. C.1 D. 6.(2025·昆明模拟)已知tan α＝－3，则等于(　　) A.－3－ B.－1－3 C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.在△ABC中，下列等式一定成立的是(　　) A.sin ＝－cos B.sin(2A＋2B)＝－cos 2C C.tan(A＋B)＝－tan C D.sin(A＋B)＝sin C 8.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝则(　　) A.θ∈ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知α为第一象限角，cos(α＋10°)＝则tan(170°－α)＝　　　　　　.  10.(2023·全国乙卷)若θ∈tan θ＝则sin θ－cos θ＝　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知f(α)＝. (1)化简f(α)；(4分) (2)若α＝－求f(α)的值；(4分) (3)若cosα∈求f(α)的值.(5分) 12.(15分)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π)，求： (1)的值；(5分) (2)方程的两根及此时θ的值.(10分) 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.已知角θ∈角α∈(0，2π)，α终边上有一点(－sin θ，cos θ)，则α等于(　　) A.θ＋ B.θ＋ C. D. 14.(2025·萍乡模拟)设0<θ<且cos θ＋sin θ＋(cos θ－sin θ)2＝m(cos θ＋sin θ＋1)2，则实数m的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 第五章§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1同角三角函数的基本关系（含弦切互化） 2024·全国甲卷 2023·全国乙卷 2021·全国甲卷 2021·全国新Ⅰ卷 理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值，能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考。 考点2 诱导公式及其化简求值 2023·全国甲卷 2022·浙江卷 【知识梳理】 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【名师点拨】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1. (2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立. (4)当k为奇数时，sin α＝， 当k为偶数时，sin α＝－. 2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A.sin(－x)＝sin x B.sin＝cos x C.cos＝－sin x D.cos(x－π)＝－cos x 【答案】CD 【解析】sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin＝－cos x，故B不成立； cos＝－sin x，故C成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立. 3.若sin xcos x＝则cos x－sin x的值是(　　) A.± B. C.－ D.± 【答案】A 【解析】(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝1－2×所以cos x－sin x＝±. 4.已知α是第三象限角，sin α＝－则tan α＝　　　　　　.  【答案】 【解析】由题意得cos α＝－故tan α＝. 【名师点拨】 1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. (3)sin2α＝； cos2α＝. 2.谨防两个易误点 (1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. (2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意. 【必练核心题型】 题型一　同角三角函数基本关系式 【典例】1.已知sin α－cos α＝则tan α＋的值为(　　) A.－ B.－4 C. D.4 【答案】D 【解析】方法一　sin α－cos α＝ 则(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝ 解得sin αcos α＝ tan α＋＝4. 方法二　(对偶式) 设cos α＋sin α＝t， 则cos2α＋2sin αcos α＋sin2α＝t2， ① 又sin α－cos α＝ 则sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝ ② ①②相加，可得t2＝即t＝或t＝－ 当t＝时，由 可得sin α＝cos α＝ 所以tan α＝＝2＋ 所以tan α＋＝2＋＝2＋＋2－＝4， 同理，当t＝－时，tan α＋＝4. 【典例】2.已知tan α＝－3，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【答案】C 【解析】因为tan α＝－3， 所以＝－＝－＝－＝－. 【解题技巧】 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦化切. (3)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 【变式训练】 变式1.(2025·太原模拟)已知sin α＋cos α＝0<α<π，则sin α－cos α等于(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】B 【解析】因为sin α＋cos α＝ 所以(sin α＋cos α)2＝ 即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝ 所以2sin αcos α＝－. 因为0<α<π，所以cos α<0<sin α， 所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1＋ 所以sin α－cos α＝. 变式2.已知tan α＝2，则＝　　　　　　.  【答案】 【解析】∵tan α＝2，则. 题型二　诱导公式 【典例】1.若sin(π＋α)＝则sin(π－α)＋cos等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【答案】A 【解析】sin(π＋α)＝－sin α＝sin α＝－sin(π－α)＋cos＝sin α＋sin α＝2sin α＝－. 【典例】2.(2025·沧州模拟)已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【答案】A 【解析】方法一　因为cos 所以sin＝sin ＝－sin＝－sin ＝－cos＝－. 方法二　令t＝＋x，则x＝t－ 所以sin＝sin＝sin ＝－cos t＝－cos＝－. 【解题技巧】 诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【变式训练】 变式1.已知sin则cos等于(　　) A. B.－ C. D.± 【答案】C 【解析】∵sin ∴cos＝cos ＝sin. 变式2.的值为　　　　　　.  【答案】－1 【解析】原式＝＝－·＝－1. 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例】1.已知sin(5π＋α)＝5sin则sin 2α＋sin2α等于(　　) A.－ B. C. D. 【答案】C 【解析】因为sin(5π＋α)＝5sin 所以－sin α＝5cos α， 可得tan α＝＝－5， 所以原式＝ ＝. 【典例】2.已知α∈β∈且sincossin(π＋α)＝sin则β－α＝　　　　　　.  【答案】 【解析】由题意得 由①2＋3×②2得，cos2α＋9sin2α＝3， 又cos2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝ 又α∈所以sin α＝则α＝. 将α＝代入①，得sin β＝ 因为β∈所以β＝则β－α＝. 【解题技巧】 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响. 【变式训练】 变式1.若sin(3π＋α)＝α∈则tan(2 025π－α)等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】D 【解析】因为sin(3π＋α)＝ 所以sin α＝－又α∈ 所以cos α＝－＝－ tan α＝ 所以tan(2 025π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－. 变式2.(多选)已知sin＝－x∈则(　　) A.cos＝－ B.tan＝2 C.cos＝－ D.sin 【答案】AC 【解析】因为x∈ 所以x＋∈ 又sin＝－ 所以x＋∈ 所以cos＝－＝－故A正确； 所以tan故B错误； 又cos＝cos ＝sin＝－故C正确； sin＝sin＝cos ＝－故D错误. 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2024·成都模拟)若角α的终边位于第二象限，且sin α＝则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】D 【解析】∵sin α＝且角α的终边位于第二象限， ∴cos α＝－＝－＝－ 则sin＝cos α＝－. 2.以下四个数中，与sin 2 026°的值最接近的是(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】C 【解析】sin 2 026°＝sin(360°×5＋226°)＝sin 226°＝sin(180°＋46°)＝－sin 46°， ∵sin 45°＝∴sin 2 026°的值最接近－. 3.若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－则sin θ－cos θ等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】C 【解析】由题意，tan θ＝＝－θ∈(0，π)，故sin θ>0，cos θ<0.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝cos θ＝－.所以sin θ－cos θ＝. 4.(2025·石家庄模拟)设－<α<0，若则sin α等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】C 【解析】由已知得 故 解得cos α＝ 因为－<α<0，所以sin α<0， 则sin α＝－. 5.cos2＋cos2等于(　　) A. B. C.1 D. 【答案】C 【解析】cos2＋cos2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1. 6.(2025·昆明模拟)已知tan α＝－3，则等于(　　) A.－3－ B.－1－3 C. D. 【答案】B 【解析】因为tan α＝－3， 所以 ＝ ＝ ＝＝－1－3. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.在△ABC中，下列等式一定成立的是(　　) A.sin ＝－cos B.sin(2A＋2B)＝－cos 2C C.tan(A＋B)＝－tan C D.sin(A＋B)＝sin C 【答案】CD 【解析】sin ＝sin＝cos 故A错误； sin(2A＋2B)＝sin[2(π－C)]＝sin(2π－2C)＝－sin 2C，故B错误； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，故C正确； sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故D正确. 8.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝则(　　) A.θ∈ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ 【答案】ABD 【解析】∵sin θ＋cos θ＝ ① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ ∴2sin θcos θ＝－ ∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈故A正确； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝ sin θ－cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝ ② 故D正确； 由①②得sin θ＝cos θ＝－故B正确； tan θ＝＝－故C错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知α为第一象限角，cos(α＋10°)＝则tan(170°－α)＝　　　　　　.  【答案】－2 【解析】由α为第一象限角，cos(α＋10°)＝ 得sin(α＋10°)＝ 故tan(α＋10°)＝＝2 故tan(170°－α)＝tan[180°－(α＋10°)]＝－tan(α＋10°)＝－2. 10.(2023·全国乙卷)若θ∈tan θ＝则sin θ－cos θ＝　　　　　　.  【答案】－ 【解析】因为θ∈则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知f(α)＝. (1)化简f(α)；(4分) (2)若α＝－求f(α)的值；(4分) (3)若cosα∈求f(α)的值.(5分) 【解析】 (1)f(α)＝ ＝＝－cos α. (2)若α＝－ 则f＝－cos＝－cos ＝－. (3)由cos可得sin α＝－ 因为α∈所以cos α＝－ 所以f(α)＝－cos α＝. 12.(15分)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π)，求： (1)的值；(5分) (2)方程的两根及此时θ的值.(10分) 【解析】(1)由题意得sin θ≠cos θ， ＝sin θ＋cos θ＝. (2)由已知得sin θcos θ＝ 所以(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝1＋m＝解得m＝ 所以方程2x2－(＋1)x＋＝0的两根为 又因为θ∈(0，2π)， 所以当时，θ＝； 当时，θ＝. 【尖子拔高训练】每小题5分，共10分 13.已知角θ∈角α∈(0，2π)，α终边上有一点(－sin θ，cos θ)，则α等于(　　) A.θ＋ B.θ＋ C. D. 【答案】A 【解析】点(－sin θ，cos θ)到原点的距离为1， 故(－sin θ，cos θ)即为(cos α，sin α)， 由诱导公式得 故 又θ∈则＋θ∈ 结合α∈(0，2π)可得α＝θ＋. 14.(2025·萍乡模拟)设0<θ<且cos θ＋sin θ＋(cos θ－sin θ)2＝m(cos θ＋sin θ＋1)2，则实数m的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】m＝ 令x＝cos θ＋sin θ，则x＝sinx∈(1]，且sin θcos θ＝ 所以m＝－1， 令f(x)＝－1，则f(x)在(1]上单调递减，所以f()≤m<f(1)，即m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$