第四章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 【考情分析·探规律】 考点 近年考情 （200-2024） 命题趋势 考点1 任意角和弧度制及求扇形的弧长、面积计算 2022·全国甲卷 了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题。 考点2 任意角的三角函数 2020·山东卷 2020·全国卷 【知识梳理】 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0). 【名师点拨】 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝. 3.象限角 4.轴线角 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 【解析】(1)锐角的取值范围是. (2)第一象限角不一定是锐角. 2.角－863°的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】－863°＝－2×360°－143°，则－863°和－143°的终边相同，故角－863°的终边在第三象限. 3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为(　　) A.20 cm B.14 cm C.10π cm D.8π cm 【答案】C 【解析】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为×2π＝因此，秒针的端点所走的路线长为×12＝10π(cm). 4.已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为　　　　　　.  【答案】－ 【解析】因为sin α＝＝－ cos α＝ 所以sin α－cos α＝－＝－. 【名师点拨】 1.熟记以下常用结论 (1)轴线角 (2)若角α∈则sin α<α<tan α. (3)α所在象限与所在象限的关系 α所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 2.谨防三个易误点 (1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用； (2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况. 【必练核心题型】 题型一　角及其表示 【典例】1.(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 【答案】D 【解析】因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时的终边在第一象限；当k为奇数时的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确. 【典例】2.如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.  【答案】 【解析】方法一　由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋2kπ，k∈Z}，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为. 方法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为所以所求角α的集合为. 思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 【变式训练】 变式1.(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A.－是第二象限角 B.是第三象限角 C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角 【答案】BCD 【解析】－是第三象限角，故A错误；＝π＋所以是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确. 变式2.已知α为第三象限角，则是第　　　　　象限角，2α是　　　　　　　　　　　　　　　　的角.  【答案】二或四　终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上 【解析】∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋k∈Z，∴kπ＋<<kπ＋k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时为第二象限角；当k为奇数时为第四象限角，而2α的终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上. 题型二　弧度制及其应用 【典例】1.《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414≈1.732)(　　) A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米 【答案】B 【解析】由题意得，“弓”所在的弧长l＝(米)，所在圆的半径R＝1.25＝(米)，所以其所对的圆心角α＝所以双手之间的距离d＝×1.25≈1.768(米). 变式2.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. ①若α＝R＝10 cm，求扇形的弧长l； ②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ ③若α＝R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【解析】①因为α＝R＝10 cm， 所以l＝|α|R＝×10＝(cm). ②由已知，得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以当R＝5 cm时，S取得最大值， 此时l＝10 cm，α＝＝2 rad. ③设弓形面积为S弓形， 方法一　由题意知l＝ cm， 所以S弓形＝××2－×22×sin (cm2). 方法二　S弓形＝××22－×22×sin (cm2). 【解题技巧】 应用弧度制解决问题的思路 (1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【变式训练】 变式1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是(　　) A.1 rad B.2 rad C.4 rad D.6 rad 【答案】B 【解析】半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是＝2 rad. 变式2.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积为(　　) A.1 600 cm2 B.3 200 cm2 C.3 350 cm2 D.4 800 cm2 【答案】D 【解析】由题意知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形所得， 设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ， 则θ＝得r1＝2r2， 又因为r1－r2＝40，所以r1＝80，r2＝40， 该扇形玉雕壁画的扇面面积 S＝×160×r1－×80×r2＝×160×80－×80×40＝4 800(cm2). 题型三　三角函数的概念 【典例】1.若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】B 【解析】因为sin α·cos α<0，所以α是第二或第四象限角； 当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0； 当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不符合题意， 综上所述，α是第二象限角. 【典例】2.(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】A 【解析】∵角α的终边过点(4，3)， ∴cos α＝ ∴sin＝cos α＝. 【解题技巧】 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标. (2)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置. 【变式训练】 变式1.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，得θ为第二象限角，又θ∈[0，2π)，则<θ<π，易知tan θ＝－所以θ＝. 变式2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】因为点P(sin α，tan α)在第四象限，所以sin α>0，tan α<0，所以角α的终边在第二象限. 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A.－6π B.－6π C.－8π D.－8π 【答案】D 【解析】－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋. 2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上 【答案】A 【解析】由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝＋2kπ，k∈Z， 故α＋＋2kπ＋＋2kπ，k∈Z， 而角＝2π＋的终边在第一象限， 故角α＋的终边在第一象限. 3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】D 【解析】因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0. 又cos α＝x＝解得x＝－3(x＝3舍去)， 所以tan α＝＝－. 4.已知角x的终边上一点的坐标为则角x的最小正值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为sin >0，cos <0， 所以角x的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知sin x＝cos ＝－ 故角x的最小正值为2π－. 5.“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵sin 2θ＝2sin θ·cos θ>0⇔>0⇔tan θ>0，∴θ为第一或第三象限角. 6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　) A. B. C.3－ D.－2 【答案】B 【解析】设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1， 依题意，有 即 所以 从而得. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下面说法正确的有(　　) A.角与角－的终边相同 B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为 D.67°30'化成弧度是 rad 【答案】AD 【解析】角与角－相差2π，终边相同，故A正确； 终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误； 若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为±故C错误； 67°30'化成弧度是 rad，故D正确. 8.(2025·深圳模拟)如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为B的角速度为2 rad/s，起点位置坐标为(1，0)，则(　　) A.在1 s末，点B的坐标为(sin 2，cos 2) B.在1 s末，扇形AOB的弧长为－1 C.在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合 D.△AOB面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】在1 s末，点B的坐标为(cos 2，sin 2)，故A错误； 在1 s末，∠AOB＝－1，扇形AOB的弧长为－1，故B正确； 设在t s末，点A，B在单位圆上第二次重合，则2t－t＝t＝2π＋故在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合，故C正确； S△AOB＝sin∠AOB，又∠AOB∈(0，π)，∠AOB＝则经过 s后，可得∠AOB＝此时△AOB的面积可取得最大值故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值集合为　　　　　　　　　　　　.  【答案】{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z} 【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{γ|γ＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此，终边在题图中阴影部分内的角α的集合为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}. 10.已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是　　　　　　.(写出一个即可)  【答案】2(答案不唯一) 【解析】点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3， 则1＋a2≤9，解得－2≤a≤2a∈Z， 则a的值可为－2，－1，0，1，2，又tan θ＝＝a， 故tan θ的值可以是0或±1或±2. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知α＝. (1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(－4π，－π)内与角α终边相同的角；(6分) (2)若角β与角α的终边相同，判断角是第几象限角.(7分) 【解析】 (1)与角α终边相同的角的集合为 令－4π<2kπ＋<－π， 得－<k<－ 又k∈Z，所以k＝－2，－1， 所以在(－4π，－π)内与角α终边相同的角是－－. (2)由(1)知，β＝2kπ＋(k∈Z)， 则＝kπ＋(k∈Z)， 则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角， 所以角是第一或第三象限角. 12.(14分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝2米，OB＝x米(0<x<2)，线段BA，线段CD与的长度之和为6米，圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式；(6分) (2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.(8分) 【解析】 (1)根据题意的长度为xθ米的长度为2θ米， 所以2(2－x)＋xθ＋2θ＝6， 所以θ＝(0<x<2). (2)依据题意，可知 y＝θ×22－θx2 ＝－x2＋x＋2＝－0<x<2. 所以当x＝时，y的值最大，最大值为. 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　) A.sin θ＝－ B.α为钝角 C.cos α＝－ D.点(tan θ，tan α)在第四象限 【答案】ACD 【解析】因为角θ的终边经过点(－2，－)， 所以sin θ＝－A正确； 由θ与α的终边关于x轴对称，得α的终边经过点(－2)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，tan α＝－<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确. 14.如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时的坐标为　　　　　　.  【答案】(2－sin 2，1－cos 2) 【解析】如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B. 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2， 则∠PCB＝2－ 所以PB＝sin＝－cos 2， CB＝cos＝sin 2， 所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2， 所以＝(2－sin 2，1－cos 2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 【考情分析·探规律】 考点 近年考情 （200-2024） 命题趋势 考点1 任意角和弧度制及求扇形的弧长、面积计算 2022·全国甲卷 了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题。 考点2 任意角的三角函数 2020·山东卷 2020·全国卷 【知识梳理】 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0). 【名师点拨】 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝. 3.象限角 4.轴线角 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 2.角－863°的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为(　　) A.20 cm B.14 cm C.10π cm D.8π cm 4.已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为　　　　　　.  【名师点拨】 1.熟记以下常用结论 (1)轴线角 (2)若角α∈则sin α<α<tan α. (3)α所在象限与所在象限的关系 α所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 2.谨防三个易误点 (1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用； (2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况. 【必练核心题型】 题型一　角及其表示 【典例】1.(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 【典例】2.如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.  【变式训练】 变式1.(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A.－是第二象限角 B.是第三象限角 C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角 变式2.已知α为第三象限角，则是第　　　　　象限角，2α是　　　　　　　　　　　　　　　　的角.  题型二　弧度制及其应用 【典例】1.《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414≈1.732)(　　) A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米 变式2.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. ①若α＝R＝10 cm，求扇形的弧长l； ②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ ③若α＝R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【变式训练】 变式1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是(　　) A.1 rad B.2 rad C.4 rad D.6 rad 变式2.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积为(　　) A.1 600 cm2 B.3 200 cm2 C.3 350 cm2 D.4 800 cm2 题型三　三角函数的概念 【典例】1.若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【典例】2.(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【变式训练】 变式1.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　　) A. B. C. D. 变式2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【限时训练】（限时：40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A.－6π B.－6π C.－8π D.－8π 2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上 3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 4.已知角x的终边上一点的坐标为则角x的最小正值为(　　) A. B. C. D. 5.“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　) A. B. C.3－ D.－2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下面说法正确的有(　　) A.角与角－的终边相同 B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为 D.67°30'化成弧度是 rad 8.(2025·深圳模拟)如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为B的角速度为2 rad/s，起点位置坐标为(1，0)，则(　　) A.在1 s末，点B的坐标为(sin 2，cos 2) B.在1 s末，扇形AOB的弧长为－1 C.在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合 D.△AOB面积的最大值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值集合为　　　　　　　　　　　　.  10.已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是　　　　　　.(写出一个即可)  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知α＝. (1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(－4π，－π)内与角α终边相同的角；(6分) (2)若角β与角α的终边相同，判断角是第几象限角.(7分) 12.(14分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝2米，OB＝x米(0<x<2)，线段BA，线段CD与的长度之和为6米，圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式；(6分) (2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.(8分) 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　) A.sin θ＝－ B.α为钝角 C.cos α＝－ D.点(tan θ，tan α)在第四象限 14.如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时的坐标为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$