精品解析：四川省广元市实验中学2024-2025学年八年级下学期第一次阶段测试数学试题

广元市实验中学2025年春八年级第一次阶段性测试 数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的计算结果是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 如图，在中，点M是AB延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，字母B所代表的正方形的面积为（ ） A. 120 B. 122 C. 135 D. 144 4. 如图1是边长分别为的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（ ） A. 割⑤补⑥ B. 割③补① C. 割①补④ D. 割③补② 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 6. 如图，已知中，CD⊥AB，垂足为D，CE平分∠ACD交AD于E，若CD＝12，BC＝13，且的面积为48，则点E到AC的距离为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 1 7. 如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，点Q是边BC上的一个定点，连接PA和PQ，点E和F分别是PA和PQ的中点，则随着点P的运动，线段EF的长（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变小再变大 D. 始终不变 9. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A. 16秒 B. 18秒 C. 20秒 D. 22秒 10. 如图，长方体的所有棱长和为，长、宽、高的比为，若一只蚂蚁从顶点沿长方体表面爬行到顶点，从点爬行到点的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11 当_____时，代数式有意义． 12. 如图，在射线上取，在射线上取，连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则 ______ ． 13. 菱形的两条对角线长分别是10cm和8cm，则菱形的周长为______ 14. 菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=_____ 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______． 16. 在平行四边形中，边上的高为，， ，则平行四边形的周长等于______． 三、解答题 17. 如图所示，在的正方形网格中，从点A出发的四条线段，它的另一个端点均在格点上（正方形网格的交点）． （1）若每个小正方形边长都是1，分别求出的长度（结果保留根号）． （2）在四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由． 18. （1）计算 （2）已知直角三角形的两条直角边，，求该直角三角形斜边c的长． 19. 如图，平行四边形中，平分交于点E，，，求的长． 20. 如图，是平行四边形中的平分线，交于E． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 21. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形平行四边形． （2）若，，，求的长． 22. 已知a，b，c满足， （1）求，b，c的值； （2）试问以，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由． 23. 计算题 （1） （2） （3） 24. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 25. 如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，且满足． （1）用尺规完成以下基本作图：在图中过点B求作的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：（过程如下，请补充完整） ∵四边形是矩形， ∴①_____________，． ∴， ∵， ∴②_____________． ∵， ∴③_____________， ∴． 在和中， ∴， ∴⑤_____________， ∴ 即． 26. 阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： （1）平面直角坐标系中有两点，，则线段长为_______ （2）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； （3）若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有_______，即_______ 若，则有_______，即_______ （4）在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市实验中学2025年春八年级第一次阶段性测试 数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的计算结果是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】=, 故选C． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 2. 如图，在中，点M是AB延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠ABC的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠CBM的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D=120°， ∴∠CBM=180°-∠ABC=60°． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，注意平行四边形的对角相等定理的应用． 3. 如图，字母B所代表的正方形的面积为（ ） A. 120 B. 122 C. 135 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母B所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积． 【详解】解：∵16925=13252=122， ∴字母B所代表的正方形的面积=122=144． 故选：D． 【点睛】此题主要考查勾股定理这一知识点，比较简单，要求学生应熟练掌握． 4. 如图1是边长分别为的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（ ） A. 割⑤补⑥ B. 割③补① C. 割①补④ D. 割③补② 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2所示可以判断如何剪拼能够拼成正方形． 【详解】解：由题意可得： 要拼成一个正方形，应当割⑤补⑥，割①补④，割③补②， 故选B． 【点睛】本题主要考查了图形的设计，正确理解小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积是解题的关键． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判定，平行四边形，正方形，矩形，菱形的判定定理，根据平行四边形，正方形，矩形，菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题； C、对角线互相相等的平行四边形是矩形，所以C选项为真命题； D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项为真命题． 故选B． 6. 如图，已知中，CD⊥AB，垂足为D，CE平分∠ACD交AD于E，若CD＝12，BC＝13，且的面积为48，则点E到AC的距离为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】作EF⊥AC，根据勾股定理以及三角形的面积公式求出ED，再根据角平分线的性质得出EF=ED，从而得出结论． 【详解】如图所示，作EF⊥AC与F点，则EF长度即为点E到AC的距离， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°，则， ∵， ∴， ∴， ∵CE为∠ACD角平分线，ED⊥CD，EF⊥AC， ∴， ∴点E到AC的距离为3， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理以及角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题关键． 7. 如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的“三线合一”，掌握菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，，，可证，得到点是的中点，则有平分，，根据直角三角形两锐角互余，角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴平分，，即， 在中，， ∴， 故选：B ． 8. 如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，点Q是边BC上的一个定点，连接PA和PQ，点E和F分别是PA和PQ的中点，则随着点P的运动，线段EF的长（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变小再变大 D. 始终不变 【答案】D 【解析】 【分析】连接AQ，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】连接AQ， ∵点Q是边BC上的定点， ∴AQ的大小不变， ∵E，F分别是AP，PQ的中点， ∴EFAQ， ∴线段EF的长度保持不变， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 9. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A. 16秒 B. 18秒 C. 20秒 D. 22秒 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米， ∵∠QON＝30°，OA＝240米， ∴AC＝120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米， ∵AB＝200米，AC＝120米， ∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米， ∵火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶， ∴影响时间应是：320÷20＝16秒． 故选A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以为圆心，米为半径的圆内行驶的的弦长，求出对处产生嗓音的时间，难度适中. 10. 如图，长方体的所有棱长和为，长、宽、高的比为，若一只蚂蚁从顶点沿长方体表面爬行到顶点，从点爬行到点的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长宽高比例和棱长和即可得到各棱长度，根据长方体的侧面积展开情况不同进行计算比较即可. 【详解】∵所有棱长和为，∴一组长、宽、高的和为12cm，又∵长、宽、高的比为 ∴长方体的长为，宽为，高为 蚂蚁有三种爬法： 如图1：蚂蚁爬行的路径 如图2：蚂蚁爬行的路径 如图2：蚂蚁爬行的路径 ∵ ∴蚂蚁从A爬到B最短的距离是，故答案选C. 【点睛】本题考查的是几何体表面积的展开图与勾股定理的应用，能够根据展开图的不同情况分别计算比较是解题的关键. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 当_____时，代数式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不大于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，x-1≥0且x-2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故答案是：≥1且x≠2． 【点睛】考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 12. 如图，在射线上取，在射线上取，连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由题意得，，，由勾股定理得，则，，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ． 故答案为：． 13. 菱形的两条对角线长分别是10cm和8cm，则菱形的周长为______ 【答案】4 cm 【解析】 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理可求得其边长，再根据周长公式即可求得其周长． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线的一半与一边构成直角三角形， 根据勾股定理可得菱形的边长为=， 则周长是4cm． 故答案为4 cm． 【点睛】此题主要考查菱形的性质及勾股定理的运用，熟记菱形的性质是解题的关键． 14. 菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=_____ 【答案】 【解析】 【详解】连接AC，BD，AC，BD交于点O，则AC⊥BD， ∵∠BAD=120° ∴∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°， ∴OA=AB=， 则BO=， ∴BD= 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 16. 在平行四边形中，边上的高为，， ，则平行四边形的周长等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段和差，根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵在中，边上的高，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长等于， 如图所示， ∵在中，边上的高为，， ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴的周长等于：， 则的周长等于或， 故答案为：或． 三、解答题 17. 如图所示，在的正方形网格中，从点A出发的四条线段，它的另一个端点均在格点上（正方形网格的交点）． （1）若每个小正方形的边长都是1，分别求出的长度（结果保留根号）． （2）在四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由． 【答案】（1） （2）存， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，准确计算线段长度，通过线段平方并验证平方和关系是解题的关键． （1）通过确定每条线段在网格中横向与纵向的格数，将其作为直角三角形的两条直角边，利用勾股定理求出斜边（即线段长度）； （2）计算各线段长度的平方，验证是否存在两条线段的平方和等于第三条线段的平方，若存在则这三条线段可构成直角三角形． 【小问1详解】 解：观察网格可知，对应的直角三角形横向格数为，纵向格数为，根据勾股定理（其中为直角边，为斜边），可得： ； 对应的直角三角形横向格数为，纵向格数为，同理，； 对应的直角三角形横向格数为，纵向格数为，因此，； 对应的直角三角形横向格数为，纵向格数为，所以，； 【小问2详解】 存在，理由如下： 由（1）的结果，可得： ，，，， ，而， ， 线段、、能构成直角三角形． 18. （1）计算 （2）已知直角三角形的两条直角边，，求该直角三角形斜边c的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并即可； （2）直接利用勾股定理列式计算即可； 【详解】解：（1） ； （2）∵直角三角形的两条直角边，， ∴ ； 19. 如图，平行四边形中，平分交于点E，，，求的长． 【答案】3cm 【解析】 【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AB=CD=8， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD=5， ∴CE=CD-DE=8-5=3cm． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图，是平行四边形中的平分线，交于E． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用角平分线证明即可； （2）连接与相交于O，根据勾股定理求出对角线长，再求面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵是平行四边形中的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵， 又由(1)知， ∴为等边三角形， ∴； 连接与相交于O． 由(1)知四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，解题关键是熟练运用菱形的判定进行证明，利用等边三角形的判定和勾股定理求出对角线长． 21. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）先证明，再由平行四边形的性质得到，则，据此可得，由此可证明四边形是平行四边形； （2）连接交于O，由平行四边形对角线互相平分可得，，设，则，由勾股定理得，解得，则，可得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于O， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 22. 已知a，b，c满足， （1）求，b，c的值； （2）试问以，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1）． （2）构成三角形，周长40，面积 60． 【解析】 【分析】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平方数非负性的性质和勾股定理的逆定理，根据非负性求出，b，c的值是解题的关键． （1）根据平方根的定义和非负数原理求出，b，c的值； （2）因，根据勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，求得该三角形的面积和周长即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． ∴． （2）∵， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形是直角三角形的周长为， 该三角形是直角三角形的面积为． 23. 计算题 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂公式，零指数幂公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）运用二次根式的混合运算相关运算法则计算即可； （2）运用二次根式的混合运算相关运算法则、负整数指数幂公式、零指数幂公式计算即可； （3）运用二次根式的混合运算相关运算法则、乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式． 24. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理数即可； （2）先将a化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理数，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 25. 如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，且满足． （1）用尺规完成以下基本作图：在图中过点B求作的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：（过程如下，请补充完整） ∵四边形是矩形， ∴①_____________，． ∴， ∵， ∴②_____________． ∵， ∴③_____________， ∴． 在和中， ∴， ∴⑤_____________， ∴ 即． 【答案】（1）作图见解答过程 （2）①；②；③；④；⑤ 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-作垂线，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图画图； （2）先证明，再利用线段的和差证明． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 26. 阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： （1）平面直角坐标系中有两点，，则线段长为_______ （2）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； （3）若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有_______，即_______ 若，则有_______，即_______ （4）在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】（1）5 （2）为等腰三角形 （3），，， （4）点的坐标有 【解析】 【分析】（1）根据题中所给出的两点的直线距离公式进行计算即可得出结论； （2）根据两点间的距离公式分别求得三边的长度；最后根据三角形的三条边长关系来判断该三角形的形状； （3）由题意利用两点间距离公式结合勾股定理进行分析即可； （4）由题意设点坐标结合为等腰三角形并利用两点间距离公式进行计算即可，注意对腰长进行分类讨论. 【小问1详解】 解：，， 故答案为：5 【小问2详解】 解：，，， 为等腰三角形 小问3详解】 解：设，两点，，为直角三角形， ，， 若，则有，即 若，则有，即 故答案为：，，， 【小问4详解】 解: 在轴上存在一点， 设点 ，，， 且为等腰三角形 ①当时，则 即，解得 此时； ②当时，则 即，解得或 此时与点N重合，舍去，或； ③当时，则 即，解得或 此时或； 综上点的坐标有. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式和等腰三角形性质与直角三角形结合勾股定理，要注意分类讨论思想的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $