2025年河南中考数学二轮复习课件　题型十四 几何探究题

题型十四 几何探究题 1 历年考法通览 2 类型1 新定义类几何探究题 （2024河南中考新题型） 1.[2024洛阳三模] 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边 形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动. 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 操作发现 （1）①如图（1），构造一个四边形,使得, ,那么四边 形 ____“垂美四边形”.（填“是”或“不是”） 是 3 ②如图（2）,分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 和正方形,连接，，，，.那么四边形 是“垂美四边 形”吗?请说明理由. 4 [答案] 四边形 是“垂美四边形”. 理由：在正方形和正方形 中， ,, , ， ， ， . 设，交于点,，交于点 . ， ， ， 四边形 是“垂美四边形”. 5 拓展探究 （2）如图（3）,若四边形是“垂美四边形”,则两组对边，与 ， 之间有怎样的数量关系?请说明理由. 6 [答案] . 理由： 四边形 是“垂美四边形”， . 设，交点为 ， ,, ， ， ， ， . 7 迁移应用 （3）如图（4）,在中， ,,，, 分别是 射线,上一个动点，同时从点出发，分别沿和 方向以每秒5个单 位长度和每秒21个单位长度的速度运动，运动时间为秒，连接,, ,当 以点,,,为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出 的值. [答案] 或 . [解析] 解法提示：过点作于点，易得， ， ，， . 分三种情况讨论. 8 图（1） ①当点在线段上，点在线段上，且四边形 是 “垂美四边形”时，如图（1）， 则， . 由（2）可知， ， ， 解得， （舍去）， . 9 图（2） ②当点在线段上，点在线段 的延长线上时，如图 （2），易知与不垂直，故四边形 不是“垂美四 边形”. 10 图（3） ③当点在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上，且四边形 是“垂美四边形”时，如图 （3），则， ， ，，， ， 由（2）可知， ， ， 解得（舍去）， ， . 综上所述，的值为或 . 11 2.在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验， 对“搭档三角形”进行探究. 定义：一个等腰三角形的腰与另一个三角形的一边重合、两个三角形的公共 边所对的角相等，这样的一组三角形称为“搭档三角形”. 12 （1）操作判断 用两块全等的等腰直角三角形纸板拼出如图（1）所示的图形，其中是“搭档 三角形”的有_____（填字母）. BC （2）性质探究 根据定义进行如下探究. 已知和是“搭档三角形”，.以点为圆心， 的长为半 径画弧，交的延长线于点，连接 . 13 ①若 ，如图（2），求 的度数； 图（1） [答案] 如图（1），连接,则 . 又 ， ， . ， ， ， ， ， ， . 14 ②若，，如图（3），求点到 的距离 （用含， 的式子表示）. 图（2） [答案] 如图（2），连接 ， 则 ， . ， ， . 又 ， ， 15 ， ， ， ， . 过点作于点 ， 则 ， 故点到的距离为 . （3）拓展应用 如图（4）， ，，点为射线上一动点，将 绕 点逆时针旋转 ，得到，连接，.当是以 为腰的等腰 三角形时，直接写出 的面积. [答案] 的面积为或 . [解析] 解法提示：， ， ， ， 是“搭档三角形”. 17 图（3） 如图（3），在的延长线上取一点 ，使 ，连接.过点作于点 ， 由可知 ， . 18 图（4） 当时，如图（4），过点作 于 点 ， 则 ， ， . 19 当 时，如图（5）， 图（5） 则 . 综上可知，的面积为或 . 20 3.[2024江西中考改编] 综合与实践 新定义：如图（1），在四边形中， ，称这样的 四边形为“双直四边形”. （1）观察思考 图（1）中除直角外的相等的角是____________. 21 （2）深入探究 在图（1）的基础上过点作，交于点 . ①若 ，如图（2）所示，求证： . 图（1） 证明:如图（1）， ， ， ， . ， . 又， ， . 22 ②若 ，，，如图（3）所示，求的长（用含 ， ， 的代数式表示）. [答案] 如图（2）， ， . 图（2） 又， ， ， ， . 23 （3）拓展延伸 如图（4），在“双直四边形”中， ， ，，点为动点.点为上一点，且 ， 作点关于直线的对称点，连接，，.当 时，请直接写出 的长. [答案] 的长为或 . 24 图（3） [解析] 解法提示：如图（3），连接，过点 作 于点，则 . 25 ， 点,,,, 在同一个圆上. 由可知，， ， 四边形 是正方形， ， ， . 26 当点在左侧，且 时，如图（4）， 图（4） 27 则 ， ， , . 图（5） 当点在右侧，且 时，如图（5）， 同理可求得 . 综上可知，的长为或 . 28 类型2 铺垫、迁移、拓展类几何探究题 4.[2024安阳二模] 综合与实践课上，老师带领同学们开展以“图形的变化”为 主题的数学活动. 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 29 （1）观察发现 如图（1）,将平面直角坐标系中的进行平移后得到 ,则线段 与线段 的位置关系为______，数量关系为______；如图（2）,将平面 直角坐标系中的以点为旋转中心逆时针旋转 ,得到 ，则 线段所在直线与线段 所在直线的位置关系为______. 平行 相等 垂直 30 （2）探究迁移 如图（3）,将平面直角坐标系中的进行平移后得到 ,再将 以点为旋转中心逆时针旋转，得到 ， 线段所在直线与线段所在直线相交于点,锐角记为 ,请判断 和 的数量关系并说明理由. [答案] . 理由如下： 31 图（1） 如图（1），延长，与交于点 ， 与交于点 ， 由平移得到 可知 ， . 由旋转的性质可得 ， . 又 ， ， . 32 （3）拓展应用 如图（4）,平面直角坐标系中,,, ,将 在轴上水平平移得到,平移后以点 为旋转中心将 逆时针旋转 ，得到,线段所在直线与线段 所在直线相交于点，若点在某个位置可使点与点或点 重合， 请直接写出 的值. [答案] 或5. [解析] 解法提示：在（2）的条件下，进行如下分析: 已知 ，则 . 33 图（2） ， 必定与直线 垂直，结合本题中的信息，可知 中 的倾斜程度如图（2）所示. 34 图（3） ①当点与点重合时， 点在轴上， 在图（2）的 基础上平移至如图（3）所示的位置,易知此时点 与点重合，此时易求得点的坐标为， . 35 图（4） ②当点与点重合时， 点在轴上， 在图（2） 的基础上平移 至如图（4）所示的位置, 36 易证, . 在中， ， ， . 又，, ， ， . 综上所述，的值为 或5. 37 5.[2024焦作一模] 在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答. 图（1） 图（2） 备用图 38 （1）观察发现 如图（1）,在平面直角坐标系中，过点作关于轴的对称点 ,再分别 作点关于直线和轴的对称点,,则点可以看作是点绕点 顺时针 旋转得到的，旋转角的度数为_____;点可以看作是点 关于点___的对称点. （2）探究迁移 如图（2）,正方形中，为直线下方一点，作点关于直线 的对 称点,再分别作关于直线和直线的对称点和,连接, ,请仅 就图（2）的情况解决以下问题： 39 ①请判断 的度数，并说明理由； [答案] . 理由：如图（1），连接,, ， 图（1） 点与点关于直线 对称， 40 垂直平分，， . 同理可得 . 四边形是正方形， ， ， . ②若,求,两点间的距离（用含 的代数式表示）. [答案] 如图（1），连接，，由①知 ， 图（1） . 同理可得， . 42 又 ， ， 即,, 三点共线. 又 ， . 又 ， 是等腰直角三角形， . （3）拓展应用 在（2）的条件下，若, ,请直接写出 的长. [答案] 或 . 图（2） [解析] 解法提示：当点在右侧，且 时，如 图（2），易得 ， . 44 过点作于点，则， ， ， . 45 图（3） 当点在左侧，且 时，如图（3），易得 ， . 46 过点作交的延长线于点 ， 则 ， ， ， ， . 综上可知，的长为或 . 47 类型3 实践操作类几何探究题 6.[2024安阳一模] 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会 用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素 养.下面是王老师在“图形的翻折与旋转”主题下设计的问题，请你解答. 如图（1）, 中, ,,点 是折线上的动点,连接 ， 线段沿折叠得到线段，点 （1）观察发现 ___（填“ ” “ ”或“ ”）. 绕点按逆时针方向旋转得到点,旋转角为 ,且,作射线 交 折线于点 . 48 （2）探究迁移 ①如图（2）,当点，，共线时，判断 与 的数量关系，并说明理由; [答案] . 理由：， ， . 点,,共线， . 四边形是平行四边形，, ，即 . 49 ②若,，求 的长. [答案] ， . 四边形是平行四边形， . 又由（1）知, , . 在中，， . 50 （3）拓展应用 若 ,,,点在运动过程中，当点恰好落在 的 边所在直线上时，请直接写出 的长. [答案] 或 . 51 图（1） [解析] 解法提示：①当点落在点 的左侧时，如图 （1），过点作于点 ， 52 则 . 过点作于点，则 . 又，， . 由平行四边形的性质及 ，易得 , , ， ， . ， ， ，， ， . 53 ②当点落在点的右侧时，如图（2），同理可得 ， 图（2） 54 ， . 由平行四边形的性质易知 . 过点作于点，则 ， ， . 综上可知，的长为或 . 55 7.[2024开封一模] 问题情境 在数学课上，张老师带领学生以“图形的平移”为主题进行教学活动.在菱形纸 片中，,对角线,将菱形沿对角线剪开，得到 和 .将沿射线方向平移一定的距离，得到 . 图（1） 图（2） 图（3） 备用图 观察发现 （1）如图（1）,菱形中，__；如图（2）,连接, ,四边 形 的形状是____________. 平行四边形 56 操作探究 （2）将沿直线翻折，得,如图（3）,然后沿射线 方向进 行平移，连接,,，若添加一个条件，能否使得四边形 是一个 特殊的四边形?若能，请写出添加的条件和这个特殊的四边形，并写出证明 过程；若不能，说明理由. 57 [答案] 能，添加的条件为点为的中点（或 ）. 结论：四边形 是矩形. 证明： 四边形是菱形且是由 平移得到的， . 是由 翻折得到的， ， , . 点为 的中点， ， ， 58 ， . 又且 ， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 拓展应用 （3）在（2）的条件下，设和相交于点,当是 的三等分点时，直 接写出 的面积. [答案] 或 . [解析] 解法提示：易求 . 分两种情况讨论. 60 ①当 时，如图， , . ②当时， , . 61 类型4 几何问题的阶段探究活动 8.[2024郑州一模] 数学活动课上,同学们研究一个问题:任意给定一个矩形,是 否存在一个新矩形,它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的 ? 62 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况,即是否存在一个 正方形,其周长和面积都为原正方形周长和面积的 ? 思路一:设给定的正方形的边长为,则其周长为,面积为 .若新正方形的周 长是原正方形周长的,则新正方形的边长为 ,此时新正方形的面积是①. 思路二:新正方形和原正方形是相似图形,周长之比等于相似比,面积之比等于 相似比的平方,如果新正方形的面积是原正方形面积的 ,则新正方形与原正 方形的相似比为1 ,此时新正方形周长应是原正方形周长的②. 结论:③（“存在”或“不存在”）一个新正方形,其周长和面积都为原正方形周 长和面积的 . 拓展:除正方形外,上面的结论对哪种图形也成立?请写出一种图形：④. 63 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究. 活动一:从特殊的矩形入手,如果已知矩形的长和宽分别为4和2,是否存在一个 新矩形,它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的 ? 分析:设新矩形的长和宽分别为,,根据题意,得 思路一:消去未知数,得到关于 的方程,根据方程的解的情况解决问题. 思路二:借助一次函数与反比例函数 的图象 （画出简单的函数图象即可）研究. 结论:⑤（“存在”或“不存在”）一个新矩形,使其周长和面积都是长和宽分别 为4和2的矩形周长和面积的 . 64 活动二:对于一般的矩形,如果已知矩形的长和宽分别为和 ,是否存在一个 新矩形,它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的 ?若存在,请指出需要满 足的条件;若不存在,请说明理由. 65 请你完成以下任务: 备用图 （1）将【阶段一】中的①~④分别补充完整. [答案] ; ; 不存在; 等边三角形（答案不唯一，如圆） 66 （2）分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题,并将⑤补充 完整. [答案] 思路一：消去未知数，得到关于的方程 ,整理，得 ． ， 方程没有实数根, 不存在这样的新矩形． 67 思路二：如图， 两个函数的图象没有交点， 不存在这样的新矩形． ⑤不存在 68 （3）完成对【阶段二】中活动二的研究. [答案] 活动二：给定矩形的长和宽分别为和，则其周长为 ，面 积为 ， 由题意可知，新矩形的周长为，面积为 ． 设新矩形一边长为，则 ，整理，得 . , 当时,方程有实数根,即当 时，存在这 样的新矩形． （方法不唯一） 69 9.下面是人教版八上的一道复习题： 如图（1），牧马人从 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到 处，请画出最短路径. _______________________________________________________________ 图（1） 王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行 了如下探究. 70 【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点关于的对称点 ， 作点关于直线的对称点，连接，分别交，直线于点， ，连接 ，，则最短路径为折线 . 请同学们研讨：王老师判定折线 是最短路径运用的基本事实为①，最 短路径的长是线段②的长. 【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），是内一点，在, 上分别找点,,使 的周长最小. 解决方法：分别作点关于,的对称点,,连接,分别交于点 ， 交于点,连接，,则此时的周长最小，最小值为 的长. 若 ，,则 周长的最小值为③. 71 【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边 上的一点出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点 . （机器人的速度为 ） 请你完成以下任务. （1）【阶段一】中的①处应填____________________,②处应填_____. 两点之间，线段最短 72 （2）在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出 ；③处应填_____. [答案] 根据题中的“解决方法”画图，如图（1）所示. 图（1） 73 [解析] 解法提示：如图（2），连接，， , 图（2） 根据轴对称的性质，可得, ， . 又 ， ， . 过点作于点，则 ， ，故周长的最小值为 . 75 （3）若, ， ，请计算出机器人完成比赛所用 的最短时间. [答案] 如图（3），分别作点关于，的对称点,,连接 ,分别 交于点，交于点,则的长为 的周长. ，， ， ，，即的周长为 , 当的值最小时， 的周长最小. 76 而当时， 的值最小，如图（4）， 则 ， 周长的最小值为 , 机器人完成比赛的最短时间为 . 77 $$