专题22 反比例函数与几何综合问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题22 反比例函数与几何综合问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数与平行四边形的综合问题 2 类型二、反比例函数与矩形的综合问题 9 类型三、反比例函数与菱形的综合问题 18 类型四、反比例函数与正方形的综合问题 23 压轴能力测评（16题） 33 解题知识必备 1. 反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 2. 反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 压轴题型讲练 类型一、反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，反比例函数与几何综合： （1）过点A作于E，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形面积计算公式求出，则点A的纵坐标为8； （2）设，则，，进而得到，解得，则，即反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是48， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为8， 故答案为：；8； （2）解：设，则， ∵，D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A和的中点D， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)和； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数解析式，平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）由原点是平行四边形对角线的交点，可求出一次函数的解析式，再求出反比例函数与一次函数的交点坐标即可求解； （3）由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，点， ∴ 将点代入，得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵原点是平行四边形对角线的交点， ∴点关于原点对称， ∵ ∴ 将代入直线的解析式中，得： ， 解得：， ∴直线的解析式， 联立和得： ， 解得：，， ∴反比例函数与的交点为：如图： ∴不等式时，即，的取值范围是和． （3）解：设分别与轴交于点，如图： 由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积， ∵点， ∴点到轴的距离为， 又∵， ∴． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． (1)求和的值； (2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 【答案】(1)，； (2)四边形是平行四边形，理由见解析． 【分析】（1）把点代入解析式求得，根据，，，且四边形是平行四边形，设，根据题意，得，解得，继而得到，代入解析式计算即可； （2）求得的坐标，判定，结合，即可判断四边形是平行四边形． 本题考查了反比例函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）把点代入解析式， 得， ∵，，，且四边形是平行四边形， 设，根据题意，得， 解得， ∴， 代入解析式，得． （2）∵，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴； ∵，， 设直线的解析式为，， 根据题意，得， 解得， ∴， 设， ∴， 解得(舍去)， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点． (1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________； (2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法） (3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求． 【答案】(1)4； (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性质，尺规作图，三角形的面积公式． （1）把点代入求得的值，利用中点坐标公式，求出点的坐标； （2）作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求； （3）先求出的坐标，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ∵，D是边的中点， ∴； （2）解：作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求，如图所示： ； （3）解：∵点，D是边的中点，点， ∴点的纵坐标为2， 把代入，得． ∴点． ∴． ∴． 类型二、反比例函数与矩形的综合问题 例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的坐标与几何图形，矩形的性质， 三角形的中位线定理等； （1）由矩形的性质得，可得，，即可求解； （2）过作轴交于，作轴交于，由三角形的中位线定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，可得，将，两点的坐标分别代入即可求解； 掌握矩形的性质，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 点的纵坐标为， ， ， ，； 故答案：，； （2）解：过作轴交于，作轴交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 反比例函数经过，两点， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数k值意义，矩形的性质，待定系数求一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）利用k的几何意义求解即可； （2）先求出，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，然后根据得出关于k的方程，求解即可； （3）设，，利用矩形的性质，k的几何意义可求出，，，，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点， ∴ ，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点，，， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：设，，则，， ∴， ∴， ∴，， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点坐标为或 (3)点的坐标为或或或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点坐标，代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解； （3）由平行四边形的面积为14，可求点坐标，再分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点，点，点， 反比例函数的图象过点， ； （2）， 反比例函数解析式为：， 设点， 四边形是正方形， ， 当点在第一象限时， ， ，（舍去）， 点； 当点在第三象限， ， （舍去），， 点； 综上所述：点坐标为或； （3）设点坐标为， 若为边， 以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14， ， ，， 点或， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， ，， 点或或或； 若为对角线， 设点， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， 与互相平分， ，或，， ，，或，， 点或， 综上所述：点的坐标为或或或或或． 类型三、反比例函数与菱形的综合问题 例题：（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查反比例函数的综合，菱形的性质，垂直平分线的定义，中点坐标公式，三角形的面积求法等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出的长度，也就是菱形的边长，从而求出点的坐标，再用中点公式求出点D的坐标，从而得解； （2）根据点的坐标求出点E的横坐标，继而求出点E的坐标，再利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴， 四边形是菱形，边长为5， ， 的纵坐标为4，横坐标为， ， 为的中点，在反比例函数上， 的横坐标为，纵坐标为， ∴； （2）∵， ∴反比例函数解析式是 ∵E在AB的垂直平分线上，A，， E点横坐标为， 把代入 得：， ， 如图，过A作⊥ x轴于 H，的垂直平分线交x轴于F， 则，，，，， ． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 【答案】(1)5，22 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用两点间距离公式求即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可； （2）设E的纵坐标为，则E到的距离为，然后利用的面积求，在把代入反比例函数解析式求出E的横坐标即可． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为 ∴， ∵菱形， ∴，轴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入，得； （2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为， ∵的面积为， ∴， 解得或2， 由（1）知：反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴E的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， 由图象得关于的不等式的解集为：； （2）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． ． 类型四、反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据正方形的性质得到，求得，得到，得到反比例函数解析式为，进而可得点的坐标； （）设，则点，根据图形可得，利用梯形的面积公式解答即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：在正方形中，， 把代入得，， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， 把代入得，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则点， 根据反比例函数的几何意义得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）过点A作轴于点F，求出，证明，进一步求出点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）证明，则，得到，则E点的横坐标为，把代入得，即可得到答案； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点F， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点坐标为， 设反比例函数解析式为， 把代入得， ∴反比例函数解析式为; （2）∵四边形为正方形， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴E点的横坐标为， 把代入得， 点坐标为; （3）如图， ∴ ∴ 当则， 故点的坐标是， 当则， 当设，则， 故在中，， 即， 解得，即点与点G重合，故， 当则， 综上可知，符合题意的点的坐标为或或或 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直．首先设出、点的坐标，再根据菱形的性质可得点坐标，再根据点在反比例函数上，再结合面积等于，解方程即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 则，点的坐标为， ∴， 解得，， 故选：D． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，反比例函数在第一象限内的图象经过矩形，交于点，交于点，将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、矩形与折叠问题 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，矩形与折叠，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，折叠得到，得到，推出，进而得到，得到，进而得到，，根据点在反比例函数图象上，得到，进行求解即可． 【详解】解：设， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； 故选A． 4．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、在坐标轴上，且，顶点、在反比例函数的图象上，在的延长线上取一点，使，过点作交轴于点，当时，的值为（　　） A．8 B．12 C． D．16 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得，然后可得，则有，根据是等腰直角三角形可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点D作于点H，如图示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，若点在反比例函数上，的面积为3，点坐标为，则 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质．如图，过作轴于，由平行四边形的性质可得，，，可得，，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵的面积为3，点坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 6．（2025·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与矩形的边，分别相交于点，，已知，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查坐标与图形性质、矩形的性质、反比例图像的性质，熟练掌握矩形的性质，利用割补法求解图形面积是解答的关键． 利用矩形性质和坐标与反比例图像的性质可得M的坐标是，N的坐标是，再根据坐标与图形性质和矩形性质，借助割补法，根据求解面积列方程即可求出．进而求解． 【详解】∵四边形是矩形，，， ∴轴，，， ∵M、在上， ∴M的坐标是，N的坐标是， ∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴的面积， ∴， 解得：（负值已经舍去） 故 故答案为． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为 ，的值为 ．    【答案】 12 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键． 过点A作轴的垂线，交的延长线于点，根据A，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可表示，的长，根据菱形的面积为，求得的长；在中，勾股定理计算的长，列方程即可得出的值． 【详解】解：过点A作轴的垂线，交的延长线于点，   轴， ， ，两点在反比例函数的图象上，且纵坐标分别为，， ，， ，， 菱形的面积为， ，即， ，即菱形的边长为； 在中，， ， ． 故答案为：，12 8．（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 【答案】 18 【知识点】反比例函数与几何综合、最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键． （1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点， ∴点的坐标为， ∴，即； （2） ∵正方形的边长是6， ∴，， ∴，， ∵的面积为16， ∴， ∴或（舍去）， ∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值， ∵， ∴，又， ∴，即的最小值为. 三、解答题 9．（2025·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交于点D． (1)求k的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，菱形的性质，进行数形结合的思想做题是解题的关键． （1）把代入反比例函数解析式即可解答； （2）求得菱形的边长，说明的面积为菱形面积的一半，再计算，即可解答． 【详解】（1）解：把代入反比例函数解析式， 可得，解得； （2）解：根据勾股定理可得， 四边形是菱形， ， 设菱形在边上的高为， ， ． 10．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在平面直角坐标系上，平行四边形的顶点，，一反比例函数的图象过点．将平行四边形沿轴向右平移，使边的中点在该反比例函数图象上． (1)点的坐标为__________． (2)求反比例函数解析式． (3)在平移过程中，直接写出平行四边形扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解、利用平移的性质求解 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，即得点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）求出平移前后中点的坐标，进而求出平移的距离，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设反比例函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：∵，， ∴平移前中点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴平移后中点坐标为， ∴平行四边形平移的距离为， ∴平行四边形扫过的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，中点坐标公式，平移的性质，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 11．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断三边能否构成直角三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（）设，， 由勾股定理得，即得，，即得到，进而求出点坐标即可求解； （）连接，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，据此即可求证； （）设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，证明得，证明得，，即得，进而得，即得到，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）证明：连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点的横坐标为，且反比例函数 的图象经过点， ∴点的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、利用菱形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先证明可得得出，再设直线的解析式为，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式 （3）先求直线解析式为：，再联立方程组得： ，求出，再求解即可． 【详解】（1）解：的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 过，， ， 解得， 直线解析式为：； （3）解：设直线的解析式为， 过， ， 解得， 直线解析式为：， 联立方程组得： ，解得：或， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 13．（2025·河南郑州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求与的函数关系式； (3)随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S逐渐增大，见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查反比例函数图象与几何图形的综合，矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象的性质是关键． （1）点在反比例函数图象上，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，由代入计算即可求解； （3）根据，结合反比例函数图象的性质判定即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， 代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：根据题意，轴，轴，轴，轴， ∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形， ∵，则， ∴， ∴． （3）解：S逐渐增大，理由如下： ∵，， ∴随着m增大，减小，则S逐渐增大． 14．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数（为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点． (1)则点的坐标为______； (2)的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】根据平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标之间的关系求解即可； 分别求出正比例函数经过点和点时的的值，即可得到的取值范围；求出当点是中点时的坐标，利用待定系数法即可求出的 值； 根据中心对称图形的性质可得：阴影部分的面积是的面积的，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：关于原点中心对称， 点与点关于原点中心对称， 又点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：当正比例函数（为常数，）的图像经过点时， 可得：， 当正比例函数（为常数，）的图像经过点时， 可得：， 解得：， ； 当点是中点时， 点的横坐标为， 点的坐标为， ， 解得：； 故答案为：，； （3）解：点，的坐标分别为，，点的坐标为， ，点到的距离为， 又和正比例函数的图象都是关于原点的中心对称图形， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、中心对称图形的性质，解决本题的关键是利用中心对称图形的性质求出点的坐标，再根据点的坐标求出阴影部分的面积． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点是反比例函数图像上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点作直线轴，交轴于点，过点作直线轴交轴于点、交直线于点．用只含的代数式表示四边形的面积； (3)当四边形的面积为8时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质与判定求面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据值的几何意义，求出点坐标，用分割法表示出四边形的面积即可； （3）根据（2）中求出的代数式，令其值等于8，进行求解即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和中， 则：， ∴， ∴正比例函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：； （2）由题意，得：， ∴， ∵轴，轴，， ∴，四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴四边形的面积； （3）由（2）可知：四边形的面积为， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)①；②不存在，见解析 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明 【分析】此题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键： （1）①当时，，，得到，求出反比例函数的解析式为，将代入即可求出点E的坐标； ②由，得到，证明，得到，由①可知，，则，表示出，求出，不符合题意； （2）设，得到，求得，当时，，求出，，计算出，即可求出比值． 【详解】（1）①当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； ②不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可知，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，不存在； （2）设， ∵， ∴， ∴ 将点代入，得， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 反比例函数与几何综合问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数与平行四边形的综合问题 2 类型二、反比例函数与矩形的综合问题 9 类型三、反比例函数与菱形的综合问题 18 类型四、反比例函数与正方形的综合问题 23 压轴能力测评（16题） 33 解题知识必备 1. 反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 2. 反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 压轴题型讲练 类型一、反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． (1)求和的值； (2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点． (1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________； (2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法） (3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求． 类型二、反比例函数与矩形的综合问题 例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、反比例函数与菱形的综合问题 例题：（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 类型四、反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，反比例函数在第一象限内的图象经过矩形，交于点，交于点，将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、在坐标轴上，且，顶点、在反比例函数的图象上，在的延长线上取一点，使，过点作交轴于点，当时，的值为（　　） A．8 B．12 C． D．16 二、填空题 5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，若点在反比例函数上，的面积为3，点坐标为，则 ． 6．（2025·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与矩形的边，分别相交于点，，已知，，的面积为，则的面积为 ． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为 ，的值为 ．    8．（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 三、解答题 9．（2025·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交于点D． (1)求k的值； (2)连接，求的面积． 10．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在平面直角坐标系上，平行四边形的顶点，，一反比例函数的图象过点．将平行四边形沿轴向右平移，使边的中点在该反比例函数图象上． (1)点的坐标为__________． (2)求反比例函数解析式． (3)在平移过程中，直接写出平行四边形扫过的面积． 11．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 12．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)直接写出的面积． 13．（2025·河南郑州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求与的函数关系式； (3)随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 14．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数（为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点． (1)则点的坐标为______； (2)的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点是反比例函数图像上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点作直线轴，交轴于点，过点作直线轴交轴于点、交直线于点．用只含的代数式表示四边形的面积； (3)当四边形的面积为8时，求的值． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$