专题19 正方形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题19 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 3 类型三、求正方形重叠部分面积 7 类型四、根据正方形的性质证明 10 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 15 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 19 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 24 压轴能力测评（20题） 30 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质，可得，又由，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，进一步即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】/75度 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题主要查了正方形的性质，等边三角形的性质．根据正方形的性质可得，，再由等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，     ∴， ∴， ∴． 故答案为： 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，推出，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵正方形，边长为4， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、含30度直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键；作轴于，作轴于，作于，根据含30度直角三角形性质及勾股定理求解即可； 【详解】解：作轴于，作轴于，作于，如图， 与轴的夹角为， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ， ， 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、相交于H，先证明，得到，从而得到，再证明，得到，从而得到，即可由直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：延长、相交于H，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2． 类型三、求正方形重叠部分面积 例题：（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，本题的解题关键是知道题中重合的部分的面积是不变的，总是等于正方形面积的． 根据正方形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定得出，即可求出四边形的面积三角形的面积，即可得出答案． 【详解】解：如图： 连接和，则和都过点O， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：4． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 2.（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【详解】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、根据正方形的性质证明 例题：（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)；，理由见解析． 【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可； （）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论； 过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形, ∴，即， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵，关于对称， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ，理由： 过点作于点，    ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同角的等角相等等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15 (2)①；②，见解析 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题； （2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题； ②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题， 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， 点C关于直线的对称点为F， ， ， 故答案为：． （2）解：①四边形是正方形， ，， 点C关于直线的对称点为F， ，， ， 设， ， ， ； ②解：数量关系为：， 理由如下： 过点作交于点，连接， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可； （2）证明，推出，得到四边形是菱形，再证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示：； ； （2）解：四边形是正方形， ∵正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定． （1）平分正方形的面积，会经过正方形的中心，过点作的垂线即可； （2）过点作于点，过点作，设交于点，证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图所示，过点作于点，过点作，设交于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴即 在中， ∴ ∴ 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，即有； （2）设、交于点T，连接、，二者交于点P，连接，连接，并延长交于点G，连接，并延长交的延长线于点O，连接，问题得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 在正方形中，有，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）如图， 矩形即为所求． 证明：根据点E为边中点，，可得，进而可证明，则有，，即点T为、的中点； 根据正方形的性质可得点P为、的中点； 即有：，，结合点P为、的中点，可得点G为、的中点，即可证明四边形是平行四边形，结合，则平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】先由正方形的性质得到，，再由线段中点的定义推出，，据此可证明四边形是平行四边形，即可判断②；证明，得到，进而证明，即，即可判断①；根据直角三角形的性质可得，据此可判断⑤；根据，即可判断③；证明垂直平分，得到，进而证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，，分别为边，，上的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点G为的中点， ∴，故⑤正确； ∵， ∴，故③错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质与判定,直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．本题的综合性较强，是中考常考题型． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质和“”可证明，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设相交于点，相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理可得，即可判断②；过点作的延长线于，过点作于，根据余角的性质即可判断③；利用“”即可证明，可得，同理可证，从而得到，再证明，可得，从而可判断④． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于，过点作于，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质得，，而，则，即可证明，得，，可判断①正确，②正确，由，得，可判断③正确；设，则，求得，所以，由，求得，则，所以点不是的中点，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点， ， ， 在和中， ， ， ，，， 故①②正确； ， ， 故③正确； 设， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 点不是的中点， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、中点定义及三角形面积等知识，证明是解题的关键． 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系、证明四边形是正方形 【分析】（1）过点作于点，于点，根据正方形的性质有，接着证，得出，最后根据四边形是矩形，问题得证 （2）连接，先证，得出，在中，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）31 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解； （）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长，进而可得到答案； 本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）四边形 是正方形，见解析；（2），见解析；（3），不发生变化，见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）， ，， 证明 ，，可得，可得矩形是正方形． （2）证明四边形是矩形，结合 ， 可得四边形是正方形 ，可得，进一步可得结论； （3）过点B作于点P ，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ， 理由： ∵四边形是矩形， ∴ ， 又∵， ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 即， 又∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴矩形是正方形． （2）， 理由： ， ， ， ∴四边形是矩形， 由（1）得 ， ∴ ，， ∴四边形是正方形 ， ∴， ∴； （3），理由如下： 过点B作于点P ，在上截取，连接， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形为正方形， ∴，，， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查菱形的性质及正方形的判定．在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意； D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握正方形和等边三角形的性质，能根据题意画出图形，通过进行分类讨论得出结果是解题的关键．由正方形和等边三角形的性质容易得出，易证，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理求出，再根据即可得到结果． 【详解】解：∵四边形正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图三个正方形连在一起，正方形的边长为10，点在上，则阴影部分的面积为（   ） A．50 B．75 C．100 D．150 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线的性质，连接，，，由正方形的性质可得，从而得出，由平行线的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，，， ， ∵三个正方形连在一起，，，分别是三个正方形的对角线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为10， ∴， 故选：C． 4．（2025八年级下·广西·专题练习）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（     ） A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由题意可以得到四边形是对角互补的四边形，过作、的垂线，垂足分别为、，先证≌，从而推得四边形的面积为正方形面积的四分之一，同样的方法，求得另外两个阴影部分面积，即可解决． 【详解】 解：设三个阴影部分的面积从左至右分别为、、， 如图， 设与交于点，与交于点， 过分别作于，于， 连接，， ∵四边形是正方形，是对角线的交点， ∴平分，且是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ∴阴影部分的面积和为：． 故选：C． 5．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的面积公式的运用，解决本题的关键是根据图形的性质找到边和角之间的关系． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是等边三角形， ，， ， 在和中，， ， ， 故正确； 由可知：， ，， 四边形是正方形， ， ， 垂直平分， ， 在中，，， ， 即， ， 在中，点是的中点，， ， ， 故正确； 是等边三角形，， ， 又，， ， 同理可知， ， 故错误； 设，， 则有， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 整理得：， ， ， 故正确． 正确的有． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·吉林四平·阶段练习）若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理即可得到正方形的一条对角线的长． 【详解】解：∵正方形的边长是， ∴它的一条对角线的长是， 故答案为： 7．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一，如：或或或） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：由于四边形是菱形，则添加或或或或就可以判定四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一，如：或或或）． 8．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，设，将、和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，，， 在中， 根据勾股定理，得， 即， 解得． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，正方形的边长为8，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为，则的长度为 ． 【答案】或 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】分点F在上、点F在上两种情况，分别依据全等三角形的性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点． 10．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在正方形中，E是上的一点，且．若点P在正方形的边上，当为等腰三角形时，则的长为 ．    【答案】或2或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意分当点P在边上时，点在边上时，点在BC边上时三种情况进行计算即可． 【详解】解：分三种情况画图，如图所示，在正方形中， ∵， ∴， ∴, ①当点P在边上时，， ②当点在边上时，过点作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ③当点在边上时，． ∴， ∴, 综上所述，的长为或2或. 故答案为：或2或．    三、解答题 11．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 【答案】(1)，，理由见解析； (2)，，理由见解析． 【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由正方形性质可得，，又分别是的中点，则有，然后证明，由性质可得，，再根据三角形内角和定理求出即可； （）设与交于点，由正方形性质可得，，又，则有，然后证明，由性质可得，，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出以为底边的等腰，且； (2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正方形性质理解、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了正方形的性质，无刻度直尺画图，掌握正方形的性质成为解题的关键． （1）如图（1）连接相交于O，连接并延长交与F，连接即可完成作图； （2）如图（2）连接相交于O，连接并延长交与H，连接并延长交与G，连接即可完成作图； 【详解】（1）解：如图（1）：等腰即为所求． ∵是正方形的对称轴， ∴， ∵，， ∴． ∴等腰即为所求． （2）解：如图（2）：正方形即为所求． ∵，， ∴，即正方形即为所求． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接，交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定，三线合一，勾股定理： （1）三线合一，得到，证明，得到，推出四边形是平行四边形，再根据，，即可得证； （2）先证明，进而得到，根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形． （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解； （2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 在中，； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)存在， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质可知，，再利用同角的余角相等，即可证明结论； （2）在上截取，连接，由正方形和等腰三角形的性质，得出，进而可证，即可证明结论； （3）过点作，交于点，交于点，连接，证明，得到，进而得到，证得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ， ， ， ∵为正方形的外角平分线， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：存在点使得四边形是平行四边形，， 理由如下： 过点作，交于点，交于点，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， 由（2）可知，， ， ∴四边形是平行四边形， 此时． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 16．（2025·甘肃张掖·一模）【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G，用等式写出线段、的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交延长线于点M，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交延长线于点M，请直接写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析  （2）；理由见解析  （3）；理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键是要能根据题意构造出全等三角形，即作出合适的辅助线，截取等长线段作辅助线是解决此类题型常用的方法． （1）证明即可； （2）构造辅助线平行且等于，H在上，再证明即可； （3）构造平行且等于，再证明即可． 【详解】解：（1）；理由如下， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2），理由如下： 在上取一点H，使， 由平行且等于，得到四边形为平行四边形， ∴平行且等于， ∵， ∴， 由（1）知， ∴； （3）．理由如下： 在上取一点N，使，延长交于点K， 由平行且等于，得四边形为平行四边形， ∴平行且等于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得结论； （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到； （3）过点作，过点作，勾股定理求出的长，三线合一求出的长，进而求出的长，根据全等三角形的性质，求出的长，证明为等腰三角形，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 则在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）； 理由：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）过点作，过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 18．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 【答案】(1)16 (2) (3) 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）连结，交于点O，先证明矩形是正方形，根据正方形的性质可得点P与点O重合，进一步求解即得答案； （2）过点P作于点F，交于点E，根据勾股定理得，，，，，从而可推得结论； （3）以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F，根据（2）的解题思路，首先得到，从而求得，再根据两点之间线段最短，可得，即，当点C、D、E三点共线时，取最小值，从而可求得答案． 【详解】（1）解：连结，交于点O， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，，， ， ， ， 点P与点O重合， ， ； （2）解：过点P作于点F，交于点E， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 即； （3） 解：以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 当点C、D、E三点共线时，取最小值， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确理解各小题之间思考方法上的关联是解题的关键． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）（1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 【答案】（1）垂直（或）；（2）45；（3）见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并结合条件作出辅助线构造合理的全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点，得出，进而利用，即可得出答案； （2）由得出，进而证明即可求得答案； （3）可分别证明以及，然后结合，，可得，进一步即可得证． 【详解】解：（1）延长交于点，如图： ， ， 四边形和是正方形， ， ，即； 故答案为：垂直（或）； （2）， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：45； （3）过作，交于点，如图： 由（2）知在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵，， ， ，即． 20．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； (3)8 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． （3）根据正方形的性质和勾股定理求得，由（2）得，则． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①过点E作于，于，如图，   正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，   ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 由（2）得， 则． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 3 类型三、求正方形重叠部分面积 7 类型四、根据正方形的性质证明 10 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 15 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 19 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 24 压轴能力测评（20题） 30 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【变式训练】 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 类型三、求正方形重叠部分面积 例题：（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是 ． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 2.（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 类型四、根据正方形的性质证明 例题：（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图三个正方形连在一起，正方形的边长为10，点在上，则阴影部分的面积为（   ） A．50 B．75 C．100 D．150 4．（2025八年级下·广西·专题练习）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（     ） A．12 B．13 C．14 D．18 5．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·吉林四平·阶段练习）若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是 ． 7．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 8．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为 ． 9．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，正方形的边长为8，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为，则的长度为 ． 10．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在正方形中，E是上的一点，且．若点P在正方形的边上，当为等腰三角形时，则的长为 ．    三、解答题 11．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 12．（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出以为底边的等腰，且； (2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接，交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：． 14．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 15．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 16．（2025·甘肃张掖·一模）【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G，用等式写出线段、的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交延长线于点M，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交延长线于点M，请直接写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 17．（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 18．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）（1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 20．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$