2025届高考考前数学题型训练之三角函数与解三角形

高考最后三十天之三角必考题型 题型一：面积公式+三角函数范围问题 1．在中，角所对的边分别为，已知的面积为. (1)若，求； (2)求的取值范围. 1.解：【详解】（1）由的面积为，得， 则由余弦定理得，，得， 则由正弦定理得，，所以. （2）由题意知，，即， 又由，可得， 故， 因，则， 因，则， 当，即时，有最大值； 又（当且仅当时，即时取等号）， 故的取值范围为. 题型二：正弦定理+引进变量+三角函数面积范围问题 2．在中内角的对边分别为，满足， (1)求． (2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围． 2.解：【详解】（1），由正弦定理得. 因为，所以.因为，所以. 由，可得，即，所以. 由正弦定理可得，则， 得，则或（舍去）， 所以. （2）设，在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 的面积 . 因为，所以， 则，故面积的取值范围为. 题型三：三角函数图象+性质 3．已知函数能同时满足下列四个条件中的三个：①的最大值为2；②的最小正周期为；③的图象可由的图象平移得到；④． (1)请判定所满足的三个条件，并求出函数的解析式； (2)若的图象只有一个对称中心落在区间内，求实数的取值范围． 3.【详解】（1）若选①，则可知； 若选②，由，可得，； 若选③，则， 仅通过平移不能改变函数的最值以及周期，此时可得，，这与①②都矛盾.故③不满足题意，应选择①②④. 由①②可得，. 又由④可得，， 所以. 又，所以， . （2）因为，所以. 根据正弦函数的对称性可知，要使的图象只有一个对称中心落在区间内， 则应满足， 所以. 所以，实数的取值范围为. 题型四：引进变量+建立平面直角坐标系 4．如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. (1)求图2中的长度； (2)求图2中直线与所成角的余弦值； (3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 4.【详解】（1）图中，因为，，所以， 设，则， 在中，由正弦定理，得， 即，所以. 所以， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值， 此时，所以的长度为. （2）如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）知，， ，， 所以，， ， 所以四面体的表面积为 设四面体内切球的半径为， 则四面体的体积， 解得，因为，所以， 所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为. 题型五：余弦定理+多三角形问题 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． (1)证明：； (2)证明：； (3)记，若，求的值． 5.【详解】（1）设，则． 由余弦定理得， 所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由（1）知，又，所以． （3）若，则，得，与已知矛盾． 若，则， 所以化为，即， 整理得，即，解得． 题型六：余弦定理+中线问题 6．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积. 6.【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，因此，而， 所以. （2）令边上的中线为，则，又， 则， 由（1）知，于是， 所以的面积. 题型七：正弦定理+恒等变形+内心问题 7．在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 7.【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 由，则， 即, 而，故， 又， 所以 （2）由（1）可得， 即， 设的内心为，即， 故. 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以的周长为 因为， 所以， 所以， 所以， 故的周长取值范围为. 题型八：预先定理+面积公式+角平分线问题 8．在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若的面积为，求a的值； (3)若角A的平分线交于点D，且，求的值． 8.【详解】（1）由正弦定理及，得， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理，得． （2）由，所以， 由的面积为，得，所以． 又，所以， 故． （3）因为，所以， 又，所以，所以， 由，得， 所以， 所以． 题型九：余弦定理+内切圆+最值问题 9．的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求内切圆的半径； (3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 9.【详解】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. （3）如图，设，，则，且. 因为，所以. 由正弦定理得，所以， 所以，其中， 故的最大值为. 题型十：方位角+三角应用题 10．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 10【详解】（1）依题意，在中，， 由余弦定理得 ， ∴， 即此时该外国船只与D岛的距离为海里. （2）建立以点A为坐标原点，为x轴，过点A往正北方向为y轴的坐标系，如图， 则，，， 设经过t小时外国船只到达点. 又，所以. 由,解得或（舍去）, 故（小时）， 则， ∴， ∴海监船的航向为东偏北41.8°， ∴海监船的速度（海里/小时）. 又， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考最后三十天之三角必考题型 题型一：面积公式+三角函数范围问题 1．在中，角所对的边分别为，已知的面积为. (1)若，求； (2)求的取值范围. 题型二：正弦定理+引进变量+三角函数面积范围问题 2．在中内角的对边分别为，满足， (1)求． (2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围． 题型三：三角函数图象+性质 3．已知函数能同时满足下列四个条件中的三个：①的最大值为2；②的最小正周期为；③的图象可由的图象平移得到；④． (1)请判定所满足的三个条件，并求出函数的解析式； (2)若的图象只有一个对称中心落在区间内，求实数的取值范围． 题型四：引进变量+建立平面直角坐标系 4．如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. (1)求图2中的长度； (2)求图2中直线与所成角的余弦值； (3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 题型五：余弦定理+多三角形问题 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． (1)证明：； (2)证明：； (3)记，若，求的值． 题型六：余弦定理+中线问题 6．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积. 题型七：正弦定理+恒等变形+内心问题 7．在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 题型八：预先定理+面积公式+角平分线问题 8．在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若的面积为，求a的值； (3)若角A的平分线交于点D，且，求的值． 题型九：余弦定理+内切圆+最值问题 9．的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求内切圆的半径； (3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 题型十：方位角+三角应用题 10．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$