7.5正态分布专题讲义【4个重点题型】-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题7.5正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正态曲线与正态密度函数】 知识讲解 1. 定义与公式 正态分布也叫高斯分布，其概率密度函数为：，其中为均值，为标准差，，是自然常数。是随机变量的取值。 2. 图像特点 正态密度函数的图像是一条关于对称的钟形曲线。当时，函数取得最大值。 曲线在左右两侧逐渐下降，且以轴为渐近线。标准差决定了曲线的“胖瘦”程度，越大，曲线越“胖”，表示数据越分散；越小，曲线越“瘦”，表示数据越集中。 3. 均值的意义 均值是正态分布的中心位置，它决定了曲线的对称轴位置。在实际应用中，通常代表所研究对象的平均水平或期望值。例如，在研究某地区成年男性的身高分布时，就是该地区成年男性的平均身高。 4. 标准差的意义 标准差衡量了数据相对于均值的离散程度。越大，说明数据偏离均值的程度越大，数据越分散；反之，越小，数据越集中在均值附近。例如，有两个班级的学生成绩都服从正态分布，班级A的成绩标准差较小，说明该班学生成绩相对集中在平均成绩附近，成绩差异较小；班级B的成绩标准差较大，则该班学生成绩较为分散，高低分差距较大。 5. 概率含义 正态密度函数在某一区间$[a,b]$上的积分表示随机变量落在区间$[a,b]$内的概率。由于正态分布是连续型分布，所以，即随机变量取某一特定值的概率为。 对于正态分布，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内，这就是常说的“原则”。 正态曲线具有以下特点： 1. 形状对称：正态曲线关于直线对称，其中为均值。这意味着在均值两侧，数据出现的概率是相等的，曲线在左右两边的形状完全相同。 2. 单峰性：曲线在处达到峰值，即当时，正态密度函数取得最大值。这表明在均值附近的数据出现的概率最大，离均值越远，数据出现的概率越小。 3. 渐近线：正态曲线以轴为渐近线，当趋于正无穷或负无穷时，曲线无限接近轴，但永远不会与轴相交。这说明正态分布中，极端值出现的概率非常小，但不为零。 4. 参数决定形状：由正态密度函数可知，正态曲线的形状由均值和标准差决定。均值决定了曲线的位置，它是曲线的对称轴所在位置，增大，曲线向右平移；减小，曲线向左平移。标准差决定了曲线的“胖瘦”程度，越大，曲线越“扁平”，数据越分散；越小，曲线越“瘦高”，数据越集中。 5. 概率分布特性：正态曲线与轴之间围成的面积为，这表示随机变量在整个取值范围内的概率总和为。并且，根据“原则”，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内。 例题精选 【例题1】（23-24高二下·全国·课前预习）正态曲线及其性质 （1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为 ．特别地，当，时，称随机变量X服从 正态分布． （3）正态分布的期望与方差：若，则 ， . （4）正态曲线的特点： ①非负性：对，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称． ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．    （6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 . 【答案】 标准 【例题2】（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则 ；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为 . (附：若随机变量服从正态分布，则，，)    【答案】 3 0.1359 【分析】直接由密度函数解析式可得的值，再由与原则求解长度误差落在内的概率. 【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图象可知，则长度内的概率为： . 故答案为：；. 【例题3】（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【例题4】（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 相似练习 【相似题1】（22-23高三上·江苏镇江·开学考试）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误； 根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确． 【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误; 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确. 故选：A. 【相似题2】多选题（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. 【相似题3】多选题（23-24高三上·江西·阶段练习）若随机变量，则（    ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 【答案】ACD 【分析】根据密度函数的解析式可判断A；根据密度函数的性质可判断BCD. 【详解】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确； 的密度曲线关于直线对称，故B错误； ，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD. 【相似题4】多选题（2023·山东潍坊·模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 【答案】AD 【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项. 【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为， 其中，其中，， 则，故A正确； B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，， 所以生产线乙的食盐质量，故B错误； C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误； D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确. 故选：AD 【题型2：正态分布对称性的应用】 正态分布对称性的理解 1. 对称轴：正态分布的概率密度函数图像关于直线对称，为该分布的均值。这意味着在两侧，数据出现的概率是对称相等的。例如，对于正态分布，其图像关于对称，。 2. 对称区间的概率关系：若和关于对称，即，那么，且。例如，在正态分布中，和$13$关于对称，则，。 正态分布对称性在解题中的应用及思路分析 1. 求概率 已知区间关于均值对称：当所求概率的区间关于均值对称时，可直接利用对称性得出概率。例如，对于正态分布，求。因为和10关于对称，所以，又因为，且，而，所以。通过标准正态分布表查出对应的概率值，进而求得。 已知区间不关于均值对称：若所求概率的区间不关于均值对称，可将其转化为关于均值对称的区间组合。例如，对于正态分布，求。可将其拆分为，其中（因为和关于对称），所以。然后通过标准正态分布表分别查出对应区间的概率值，再相加得到最终结果。 2. 求参数 利用对称区间概率相等求均值：已知某两个对称区间的概率相等，可据此求出均值。例如，已知正态分布中，且，因为正态分布关于对称，所以。 结合概率值和对称性求标准差：若已知某个区间的概率以及均值，可利用正态分布的对称性和标准正态分布表来求标准差。例如，对于正态分布，已知（根据“原则”，这里时概率约为0.95），若又已知，且，则可推出，，将，代入可得。 【考向1：根据对称性求概率】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以， 故选：B 【例题2】多选题（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正态分布参数的意义可判断AB，利用正态分布曲线计算概率值的大小，可判断CD. 【详解】由随机变量可知： 所以成立，故A正确； 不成立，故B错误； 再由随机变量可知： ，故成立，故C正确； 由于，， 它们的临界值都是，所以，故D错误； 故选：AC. 【例题3】多选题（2025·山东·二模）若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到，且，结合期望和方差的性质，以及正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量服从正态分布，可得， 又由随机变量服从正态分布，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由正态分布曲线的性质，得，所以C正确； 对于D中，由， 又由正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 故选：ACD. 【例题4】多选题（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用正态分布曲线的概念和性质即可分析求解各选项. 【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布所以，则，故A错误； 对于B，由，根据正态分布关于直线对称，可知，故B正确； 对于C，    根据正态分布曲线，显然成立，故C正确； 对于D，由，则，所以，故D正确； 故选：BCD. 相似练习 【相似题1】多选题（2025·湖北襄阳·模拟预测）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：由，得，故B错误； 对于C：因为， 所以，故C正确； 对于D：由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线， ，所以在正态分布曲线上，的峰值较高， 正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误. 故选：AC. 【相似题2】多选题（2025·吉林·模拟预测）设随机变量，且，则（   ） A． B． C．的方差为 D．若增大，则增大 【答案】BC 【分析】A由正态曲线的对称性可得，再利用可判断；B利用即可；C利用方差的性质可得；D利用的意义即可. 【详解】由结合正态曲线的对称性，可得， 则，故 A错误； ， 故B正确； 由题意可知，，则，故C正确； 越大，数据越分散，越小，故D错误. 故选：BC． 【相似题3】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知随机变量服从正态分布，则＝ 【答案】36 【分析】由方差的性质直接求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以，所以. 故答案为：36. 【相似题4】 （2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，结合概率的性质，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：. 【考向2：根据对称性求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·山东·阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 【例题2】（2025·河北邯郸·二模）已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 【例题3】多选题（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知随机变量，，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用正态分布的数学期望及方差计算判断A，根据正态分布对称性计算判断B，C，应用正态分布方差判断D. 【详解】对于A选项，由得，，，则，A正确； 对于B选项，由，得，， 由正态分布的对称性可知，B错误； 对于C选项，由得，，C正确； 对于D选项，由于X与Y均服从正态分布，且，， 所以X的正态曲线较“矮胖”，随机变量分布比较分散，Y的正态曲线较“高瘦”，随机变量分布比较集中，因此，D正确． 故选：ACD． 【例题4】（2025·江西赣州·二模）若随机变量，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东临沂·期中）设随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 则，解得. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）已知随机变量，若，则的值为 ；若，，则 ． 【答案】 ； . 【分析】由正态分布的对称性列方程求解即可；通过已知概率，结合正态分布的对称性，将所求概率转化为已知量的组合，即可求解. 【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴， 而， 由正态分布的对称性可知，解得. ， 又直线为正态曲线的对称轴，所以， 所以， 所以. 故答案为：；. 【相似题3】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973、至少要测量 次．（若，则） 【答案】48 【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可. 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量48次. 故答案为：48 【相似题4】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 【题型3：3原则】 知识讲解 1. 原则内容：对于正态分布，数值分布在中的概率约为；在中的概率约为；在中的概率约为。 2. 直观理解：可以将正态分布的图像想象成一个钟形曲线，均值位于曲线的中心，决定了曲线的“胖瘦”。大部分数据集中在均值附近，随着与均值距离的增加，数据出现的概率逐渐降低。“3原则”给出了数据在不同区间内出现的大致概率范围，帮助我们快速了解数据的分布特征。 3. 实际意义：在实际应用中，该原则可以帮助我们判断数据的合理性、进行质量控制等。例如，在生产过程中，如果产品的某个质量指标服从正态分布，那么根据“3原则”，我们可以认为在正常生产情况下，几乎所有的产品质量指标都应该落在这个区间内。如果有数据超出这个范围，就可能意味着生产过程出现了异常情况，需要进行检查和调整。 解题思路分析 1. 已知分布求概率：如果题目中给出了正态分布的参数和，要求某一区间的概率，可先判断该区间是否与“3原则”中的区间相关。例如，已知，求。因为，，，，所以就是，根据“3原则”，。 2. 已知概率求参数：当已知某区间的概率以及正态分布的部分参数，求其他参数时，可利用“3原则”建立方程求解。例如，已知，且，由“3原则”可知。再如，已知，，且，则可得，，解方程组可得，。 3. 判断数据合理性：若给出一组数据和其服从的正态分布，可根据“3原则”判断数据是否合理。例如，已知某班级学生考试成绩服从正态分布，根据“3原则”，成绩应主要集中在内。如果有学生成绩为$120$分，超出了这个范围，那么这个成绩相对来说是比较异常的，可能存在一些特殊情况，如加分因素、数据记录错误等，需要进一步核实。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山东临沂·期中）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 【例题2】（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 【例题3】多选题（24-25高三上·江西赣州·期末）小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数 X服从正态分布，则（    ）参考数据：，， A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A、B选项，根据变量符合正态分布，可得出和的值，对于C、D选项，根据原则，可计算出、的值. 【详解】由题意可得，X服从正态分布，则，，故A正确，B错误， ，故C错误， ，故D正确. 故选： 【例题4】（2025·湖南·模拟预测）在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且. (1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数； (2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）. 参考数据：若，则. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，即可求解； （2）根据条件，求出和的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】（1）由已知得，， 所以， 所以长度在内的圆钢根数约为. （2）圆钢的长度在区间的概率为 ， 圆钢的长度在区间内的概率为 ， 因此这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率为 . 相似练习 【相似题1】（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)的分布列见解析； (3) 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【详解】（1）由题意， 得. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 【相似题2】（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.    (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【答案】(1) (2)分布列见解析，元 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加，可得出的值，根据正态分布可得出的值，利用原则可求出的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，求出的值，由此可得出所准备的话费充值卡的总金额为元. 【详解】（1）依题意，， 所以，则，所以，， 故 . （2）参与活动的每位居民得分低于分的概率为，得分不低于分的概率为 的所有可能取值分别为、、、， ，， ，， 所以的概率分布列如表所示： 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元. 【相似题3】（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据80％分位数的求法计算即可； （3）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 （3）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 【相似题4】（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出的值； （2）（i）由题意可得出，，则，可得出，即可得解； （ii）分析可知，，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）由频率分布直方图可得. （2）（i）由题意可得，，则， 所以，； （ii）由题意可知，，故. 【题型4：正态分布的应用】 知识讲解 知识讲解 在自然科学中的应用：许多自然现象和实验数据都近似服从正态分布。例如，测量误差通常服从正态分布，这是因为在测量过程中，受到各种随机因素的影响，如仪器精度、环境因素、人为因素等，这些因素的综合作用使得测量结果围绕真实值呈正态分布。此外，生物的一些特征，如身高、体重等，在大样本情况下也近似服从正态分布。 在社会科学中的应用：在社会科学领域，正态分布也有重要应用。例如，在教育领域，学生的考试成绩在一定程度上服从正态分布。通过对学生成绩的正态分布分析，教师可以了解学生的整体学习情况，评估教学效果，制定合理的教学计划。在经济学中，一些经济指标，如股票价格的波动、居民收入的分布等，也可以用正态分布来近似描述。 在质量管理中的应用：在工业生产中，产品的质量指标往往服从正态分布。企业可以利用正态分布的性质进行质量控制，通过对生产过程中的产品质量数据进行监测和分析，判断生产过程是否稳定。如果产品质量指标超出了正态分布的控制范围，就可能意味着生产过程出现了异常，需要及时采取措施进行调整，以保证产品质量的稳定性和一致性。 解题思路分析 识别正态分布问题：首先要判断题目所描述的问题是否符合正态分布的特征。一般来说，如果问题中涉及到大量的随机因素综合作用的结果，且数据呈现出中间多、两边少的对称分布特征，就有可能是正态分布问题。例如，多次测量同一物体的长度，其测量误差的分布；某地区成年男性的身高分布等。 确定正态分布的参数：对于正态分布，需要确定均值和标准差。均值表示数据的中心位置，标准差表示数据的离散程度。有些题目中会直接给出参数的值，而在一些实际问题中，需要根据已知条件来计算或估计参数。例如，已知某班级学生的平均成绩为$75$分，成绩的标准差为$10$分，那么就可以认为学生成绩服从正态分布。 利用正态分布的性质解题： 计算概率：根据正态分布的概率密度函数或“3原则”等性质来计算相关事件的概率。例如，已知，要求，可以利用“3原则”，因为，，所以。如果需要更精确的计算，可以使用正态分布的概率密度函数进行积分运算，但在实际解题中，通常会借助标准正态分布表来进行计算。 解决实际决策问题：在质量管理、风险评估等实际问题中，根据正态分布的性质来制定决策标准。例如，在产品质量控制中，规定产品质量指标在范围内为合格品，那么可以根据给定的正态分布参数计算出合格品的概率，以及判断某个具体产品是否合格。如果要评估某种投资风险，假设投资回报服从正态分布，通过计算不同回报区间的概率，来评估投资的风险程度，进而做出合理的投资决策。 例题精选 【例题1】 （2025·广东湛江·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 【答案】C 【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果. 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 【例题2】（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【答案】D 【分析】根据正态分布的定义及性质判断A，B，结合正态分布的对称性及概率计算判断C，D. 【详解】由题意可设，， 由题意可得，，，，所以A，B错误； 因为 ， ， 所以，故C错误； 因为， ，所以，故D正确. 故选：D. 【例题3】多选题（2025·河南·二模）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（    ） A． B． C． D．， 【答案】AC 【分析】根据已知及正态分布的性质依次判断各项的正误. 【详解】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误； 由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确； 如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误， 故选：AC 【例题4】【多选】 （24-25高二上·广西桂林·期末）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【答案】ABD 【分析】根据二项分布的知识求得方差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，服从正态分布， 所以，A选项正确. 随机变量，所以， 所以，B选项正确. ，所以C选项错误. ， 估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于正态分布问题，要牢记正态分布的期望，方差，以及正态分布的对称性和特殊区间的概率值.在已知正态分布的参数和后，可利用这些性质计算各种概率. 对于二项分布，其方差，可根据此公式求出二项分布的方差，再结合与其他分布方差的关系解决相关问题. 相似练习 【相似题1】（2025·河北·三模）已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩近似服从正态分布，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为 .（附：若随机变量服从，则，3） 【答案】2275 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】超过140分的概率约为， 所以超过140分的人数约为人. 故答案为：2275. 【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 【答案】 0.16/ 10 【分析】利用正态分布的三段区间及对称性求、，进而估计数学考试成绩特别优秀的人数. 【详解】因为数学成绩服从正态分布， 则， 所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率． 又， 所以数学成绩特别优秀的概率． 又， 则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是人． 故答案为：， 课后针对训练 一、单选题 1．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 二、多选题 2．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．“世界杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：)服从正态分布，其正态密度函数为，，则下列说法正确的是（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则，， A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在及以上的概率比株高在及以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在和在 (单位：cm)内的概率一样大 4．（多选题）已知某种袋装食品每袋质量（单位：g），，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约8186袋 D．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于485g的不多于14袋 5．化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 6．早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若随机变量，则 A．曲线关于直线对称 B．曲线在处达到峰值 C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高” D．若，则 7．下列说法正确的是（    ） A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B．若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C．随机变量X服从正态分布，若，则 D．随机变量Y服从二项分布，若方差，则 三、填空题 8．设随机变量，若，则 . 9．已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为 ． 附：若，则，，． 10．随机变量，若，则 ． 四、解答题 11．为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 12．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C AC AC AC AC AD CD 1．C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 2．AC 【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线， ，所以在正态分布曲线上，的峰值较高， 正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误. 故选：AC. 3．AC 【分析】正态密度函数即可直接读出期望和标准差，则选项A，B可判定；在根据正态分布图像的对称性计算相应区间的概率，则选项C,D可判定. 【详解】正态密度函数为 ，，则该地水稻的平均株高为，故A选项正确； 该地水稻株高的标准差，方差为100，故选项B错误； 设水稻株高为X，则 ， 则随机测量一株水稻，其株高在120 cm及以上的概率比株高在70 cm及以下的概率大， 故C选项正确； 随机测量一株水稻，其株高在和在 (单位：)内的概率不一样大，故D选项错误． 故选：AC． 4．AC 【分析】根据概率的意义，正态分布的对称性以及参考数据依次判断4个选项即可. 【详解】根据题意，，∴，故A正确． 又，故B错误． 由于，所以随机抽取袋这种食品，袋装质量在区间的约袋，故C正确． 虽然， 但是根据概率的意义，袋装质量小于485g的有可能多于14袋，故D错误． 故选：AC. 5．AC 【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D. 【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小. 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误； 故C正确; 而对于任何正态分布都有 故，故D错误. 故选：AC. 6．AD 【分析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断ABC，根据正态分布原则计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，因为当时，单调递增，则单调递增， 当时，单调递减，则单调递减，故曲线是单峰的. 又，则，因此，当且仅当时，等号成立，即曲线在处达到峰值，故B错误； 对于C，由选项B可知，当越小时，峰值越大，则曲线越“瘦高”，当越大时，峰值越小，则曲线越“矮胖”，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD. 7．CD 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据， 因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A错误； 对于B中，数据的标准差为， 由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B错误； 对于C中，随机变量服从正态分布，且， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，随机变量服从二项分布，且， 可得，解得或， 当时，可得； 当时，可得， 综上可得，，所以D正确. 故选：CD. 8．4 【分析】根据正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】由正态分布可知，故. 故答案为：4. 9．0.8186 【分析】由正态分布的性质和对称性结合题意求解即可. 【详解】因为服从正态分布，且，， 所以， 即顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为0.8186． 故答案为：0.8186. 10． 【分析】已知随机变量，即均值，利用正态分布的对称性以及所给的概率等式来求解的值. 【详解】因为正态分布关于均值对称，已知，那么点与点关于均值对称.可列出等式. 得到.解得. 故答案为：. 11．(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频数总和为样本总数的性质来求解和的值. （2）先根据分层随机抽样确定抽取的10人中成绩在内的人数，再确定的取值，通过组合数公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和期望. （3）先根据正态分布的参数求出和，再利用正态分布的性质和参考数据计算成绩在内的概率，最后根据总人数估计该区间内的学生人数. 【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，将其代入，可得，即，解得. 把代入，可得. （2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人， 根据分层抽样的性质，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . .   列出的分布列： 可得. （3）已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 12．(1)， (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题7.5正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正态曲线与正态密度函数】 知识讲解 1. 定义与公式 正态分布也叫高斯分布，其概率密度函数为：，其中为均值，为标准差，，是自然常数。是随机变量的取值。 2. 图像特点 正态密度函数的图像是一条关于对称的钟形曲线。当时，函数取得最大值。 曲线在左右两侧逐渐下降，且以轴为渐近线。标准差决定了曲线的“胖瘦”程度，越大，曲线越“胖”，表示数据越分散；越小，曲线越“瘦”，表示数据越集中。 3. 均值的意义 均值是正态分布的中心位置，它决定了曲线的对称轴位置。在实际应用中，通常代表所研究对象的平均水平或期望值。例如，在研究某地区成年男性的身高分布时，就是该地区成年男性的平均身高。 4. 标准差的意义 标准差衡量了数据相对于均值的离散程度。越大，说明数据偏离均值的程度越大，数据越分散；反之，越小，数据越集中在均值附近。例如，有两个班级的学生成绩都服从正态分布，班级A的成绩标准差较小，说明该班学生成绩相对集中在平均成绩附近，成绩差异较小；班级B的成绩标准差较大，则该班学生成绩较为分散，高低分差距较大。 5. 概率含义 正态密度函数在某一区间$[a,b]$上的积分表示随机变量落在区间$[a,b]$内的概率。由于正态分布是连续型分布，所以，即随机变量取某一特定值的概率为。 对于正态分布，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内，这就是常说的“原则”。 正态曲线具有以下特点： 1. 形状对称：正态曲线关于直线对称，其中为均值。这意味着在均值两侧，数据出现的概率是相等的，曲线在左右两边的形状完全相同。 2. 单峰性：曲线在处达到峰值，即当时，正态密度函数取得最大值。这表明在均值附近的数据出现的概率最大，离均值越远，数据出现的概率越小。 3. 渐近线：正态曲线以轴为渐近线，当趋于正无穷或负无穷时，曲线无限接近轴，但永远不会与轴相交。这说明正态分布中，极端值出现的概率非常小，但不为零。 4. 参数决定形状：由正态密度函数可知，正态曲线的形状由均值和标准差决定。均值决定了曲线的位置，它是曲线的对称轴所在位置，增大，曲线向右平移；减小，曲线向左平移。标准差决定了曲线的“胖瘦”程度，越大，曲线越“扁平”，数据越分散；越小，曲线越“瘦高”，数据越集中。 5. 概率分布特性：正态曲线与轴之间围成的面积为，这表示随机变量在整个取值范围内的概率总和为。并且，根据“原则”，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内，大约的数据落在区间内。 例题精选 【例题1】（23-24高二下·全国·课前预习）正态曲线及其性质 （1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为 ．特别地，当，时，称随机变量X服从 正态分布． （3）正态分布的期望与方差：若，则 ， . （4）正态曲线的特点： ①非负性：对，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称． ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．    （6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 . 【例题2】（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则 ；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为 . (附：若随机变量服从正态分布，则，，)    【例题3】（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【例题4】（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 相似练习 【相似题1】（22-23高三上·江苏镇江·开学考试）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【相似题2】多选题（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【相似题3】多选题（23-24高三上·江西·阶段练习）若随机变量，则（    ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 【相似题4】多选题（2023·山东潍坊·模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 【题型2：正态分布对称性的应用】 正态分布对称性的理解 1. 对称轴：正态分布的概率密度函数图像关于直线对称，为该分布的均值。这意味着在两侧，数据出现的概率是对称相等的。例如，对于正态分布，其图像关于对称，。 2. 对称区间的概率关系：若和关于对称，即，那么，且。例如，在正态分布中，和$13$关于对称，则，。 正态分布对称性在解题中的应用及思路分析 1. 求概率 已知区间关于均值对称：当所求概率的区间关于均值对称时，可直接利用对称性得出概率。例如，对于正态分布，求。因为和10关于对称，所以，又因为，且，而，所以。通过标准正态分布表查出对应的概率值，进而求得。 已知区间不关于均值对称：若所求概率的区间不关于均值对称，可将其转化为关于均值对称的区间组合。例如，对于正态分布，求。可将其拆分为，其中（因为和关于对称），所以。然后通过标准正态分布表分别查出对应区间的概率值，再相加得到最终结果。 2. 求参数 利用对称区间概率相等求均值：已知某两个对称区间的概率相等，可据此求出均值。例如，已知正态分布中，且，因为正态分布关于对称，所以。 结合概率值和对称性求标准差：若已知某个区间的概率以及均值，可利用正态分布的对称性和标准正态分布表来求标准差。例如，对于正态分布，已知（根据“原则”，这里时概率约为0.95），若又已知，且，则可推出，，将，代入可得。 【考向1：根据对称性求概率】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【例题2】多选题（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（2025·山东·二模）若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【例题4】多选题（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 相似练习 【相似题1】多选题（2025·湖北襄阳·模拟预测）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 【相似题2】多选题（2025·吉林·模拟预测）设随机变量，且，则（   ） A． B． C．的方差为 D．若增大，则增大 【相似题3】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知随机变量服从正态分布，则＝ 【相似题4】（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 【考向2：根据对称性求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·山东·阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【例题2】（2025·河北邯郸·二模）已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【例题3】多选题（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知随机变量，，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·江西赣州·二模）若随机变量，，则的值为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东临沂·期中）设随机变量服从正态分布，若，则 . 【相似题2】（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）已知随机变量，若，则的值为 ；若，，则 ． 【相似题3】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973、至少要测量 次．（若，则） 【相似题4】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【题型3：3原则】 知识讲解 1. 原则内容：对于正态分布，数值分布在中的概率约为；在中的概率约为；在中的概率约为。 2. 直观理解：可以将正态分布的图像想象成一个钟形曲线，均值位于曲线的中心，决定了曲线的“胖瘦”。大部分数据集中在均值附近，随着与均值距离的增加，数据出现的概率逐渐降低。“3原则”给出了数据在不同区间内出现的大致概率范围，帮助我们快速了解数据的分布特征。 3. 实际意义：在实际应用中，该原则可以帮助我们判断数据的合理性、进行质量控制等。例如，在生产过程中，如果产品的某个质量指标服从正态分布，那么根据“3原则”，我们可以认为在正常生产情况下，几乎所有的产品质量指标都应该落在这个区间内。如果有数据超出这个范围，就可能意味着生产过程出现了异常情况，需要进行检查和调整。 解题思路分析 1. 已知分布求概率：如果题目中给出了正态分布的参数和，要求某一区间的概率，可先判断该区间是否与“3原则”中的区间相关。例如，已知，求。因为，，，，所以就是，根据“3原则”，。 2. 已知概率求参数：当已知某区间的概率以及正态分布的部分参数，求其他参数时，可利用“3原则”建立方程求解。例如，已知，且，由“3原则”可知。再如，已知，，且，则可得，，解方程组可得，。 3. 判断数据合理性：若给出一组数据和其服从的正态分布，可根据“3原则”判断数据是否合理。例如，已知某班级学生考试成绩服从正态分布，根据“3原则”，成绩应主要集中在内。如果有学生成绩为$120$分，超出了这个范围，那么这个成绩相对来说是比较异常的，可能存在一些特殊情况，如加分因素、数据记录错误等，需要进一步核实。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山东临沂·期中）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【例题3】多选题（24-25高三上·江西赣州·期末）小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数 X服从正态分布，则（    ）参考数据：，， A． B． C． D． 【例题4】（2025·湖南·模拟预测）在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且. (1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数； (2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）. 参考数据：若，则. 相似练习 【相似题1】（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【相似题2】（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.    (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【相似题3】（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【相似题4】（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【题型4：正态分布的应用】 知识讲解 知识讲解 在自然科学中的应用：许多自然现象和实验数据都近似服从正态分布。例如，测量误差通常服从正态分布，这是因为在测量过程中，受到各种随机因素的影响，如仪器精度、环境因素、人为因素等，这些因素的综合作用使得测量结果围绕真实值呈正态分布。此外，生物的一些特征，如身高、体重等，在大样本情况下也近似服从正态分布。 在社会科学中的应用：在社会科学领域，正态分布也有重要应用。例如，在教育领域，学生的考试成绩在一定程度上服从正态分布。通过对学生成绩的正态分布分析，教师可以了解学生的整体学习情况，评估教学效果，制定合理的教学计划。在经济学中，一些经济指标，如股票价格的波动、居民收入的分布等，也可以用正态分布来近似描述。 在质量管理中的应用：在工业生产中，产品的质量指标往往服从正态分布。企业可以利用正态分布的性质进行质量控制，通过对生产过程中的产品质量数据进行监测和分析，判断生产过程是否稳定。如果产品质量指标超出了正态分布的控制范围，就可能意味着生产过程出现了异常，需要及时采取措施进行调整，以保证产品质量的稳定性和一致性。 解题思路分析 识别正态分布问题：首先要判断题目所描述的问题是否符合正态分布的特征。一般来说，如果问题中涉及到大量的随机因素综合作用的结果，且数据呈现出中间多、两边少的对称分布特征，就有可能是正态分布问题。例如，多次测量同一物体的长度，其测量误差的分布；某地区成年男性的身高分布等。 确定正态分布的参数：对于正态分布，需要确定均值和标准差。均值表示数据的中心位置，标准差表示数据的离散程度。有些题目中会直接给出参数的值，而在一些实际问题中，需要根据已知条件来计算或估计参数。例如，已知某班级学生的平均成绩为$75$分，成绩的标准差为$10$分，那么就可以认为学生成绩服从正态分布。 利用正态分布的性质解题： 计算概率：根据正态分布的概率密度函数或“3原则”等性质来计算相关事件的概率。例如，已知，要求，可以利用“3原则”，因为，，所以。如果需要更精确的计算，可以使用正态分布的概率密度函数进行积分运算，但在实际解题中，通常会借助标准正态分布表来进行计算。 解决实际决策问题：在质量管理、风险评估等实际问题中，根据正态分布的性质来制定决策标准。例如，在产品质量控制中，规定产品质量指标在范围内为合格品，那么可以根据给定的正态分布参数计算出合格品的概率，以及判断某个具体产品是否合格。如果要评估某种投资风险，假设投资回报服从正态分布，通过计算不同回报区间的概率，来评估投资的风险程度，进而做出合理的投资决策。 例题精选 【例题1】 （2025·广东湛江·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 【例题2】（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【例题3】多选题（2025·河南·二模）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（    ） A． B． C． D．， 【例题4】【多选】 （24-25高二上·广西桂林·期末）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 相似练习 【相似题1】（2025·河北·三模）已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩近似服从正态分布，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为 .（附：若随机变量服从，则，3） 【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 课后针对训练 一、单选题 1．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 二、多选题 2．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．“世界杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：)服从正态分布，其正态密度函数为，，则下列说法正确的是（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则，， A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在及以上的概率比株高在及以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在和在 (单位：cm)内的概率一样大 4．（多选题）已知某种袋装食品每袋质量（单位：g），，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约8186袋 D．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于485g的不多于14袋 5．化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 6．早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若随机变量，则 A．曲线关于直线对称 B．曲线在处达到峰值 C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高” D．若，则 7．下列说法正确的是（    ） A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B．若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C．随机变量X服从正态分布，若，则 D．随机变量Y服从二项分布，若方差，则 三、填空题 8．设随机变量，若，则 . 9．已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为 ． 附：若，则，，． 10．随机变量，若，则 ． 四、解答题 11．为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 12．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$