期末押题卷（一）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

期末押题卷（人教版）（一） 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024人教版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25七年级下·绵阳市·阶段练习）如图是2025年春节联欢晚会的官方吉祥物——“巳（sì）升升”．在以下四个选项中，能由该图经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南焦作·一模）下列调查中，适合抽样调查的是（  ） A．坐地铁时对乘客行李的安检 B．对班级内的卫生死角进行检查 C．开学前学校对各班级桌椅数量的调查 D．对全国初中生目前睡眠情况的调查 4．（23-24七年级下·北京·期中）如图，是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，下列选项判定错误的是（　　）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24七年级下·北京丰台·期末）“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图是某研究院关于低空经济市场规模的统计图： 根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（     ） A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2023年中国低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 8．（24-25八年级上·四川成都·期中）文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）若关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上） 11．（23-24七年级下·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点的坐标为 ． 12．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）观察下表， ． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 13．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若是关于的方程的一组解，则常数的值是 ． 14．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长必须超过 ． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知方程组的解满足，求a的取值范围 ． 16．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有9位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论： ①E超额完成了目标任务；②目标与实际完成相差最多的是G；③H的目标达成度为； ④月度达成率超过且实际销售额大于4万元的有四个人．其中正确的结论是： ． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，，．（1）如果，那么a的取值范围是 ；（2）如果，满足条件的所有正整数x为 ． 18．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，在整个运动过程中，当，中有一个角是另一个角的倍时，的度数是 ． 三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19题6分，20-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上） 19．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）解分式方程和不等式组： (1)； (2)． 21．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，E为上一点，，的延长线交于点F，，．试说明：． 证明：（已知），∴（ ）， ∴（ ）． ∵（已知），∴（ ）， 即∠ ，∴（ ）． ∵（已知），∴ （等式的基本事实）， ∴（ ），∴（ ）． 22．（24-25七年级上·山东威海·期末）为增强学生的环保意识，某学校开展了以“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．现从七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位/分）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布表如下： 组别 测试成绩（分） 频数 第1组 a 第2组 6 第3组 b 第4组 14 第5组 8 b．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布直方图及扇形图如下： 请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调研，从该校七年级随机抽取了_______名学生进行调查； (2)表中_______；第3组所对应的扇形的圆心角的度数是_______． (3)已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有多少人？(4)为了了解学生环保意识的现状，学校随机抽取了部分学生进行座谈，了解到同学们平时获取环保知识主要通过书籍、网络资料、学校开设的环保课程等途径，这些数据属于_______（填定性数据或者定量数据）． 23．（24-25七年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，．(1)写出，，的坐标：（______，______）,（______，______）,（______，______）；(2)在图中画出平移后的；(3)求的面积． 24．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 25．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 26．（2025七年级下·浙江·专题练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．（2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系；（3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（人教版）（一） 七年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024人教版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25七年级下·绵阳市·阶段练习）如图是2025年春节联欢晚会的官方吉祥物——“巳（sì）升升”．在以下四个选项中，能由该图经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，只有C选项的图形是题干中的图形经过平移得到的，故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；     B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意．故选D． 3．（2025·河南焦作·一模）下列调查中，适合抽样调查的是（  ） A．坐地铁时对乘客行李的安检 B．对班级内的卫生死角进行检查 C．开学前学校对各班级桌椅数量的调查 D．对全国初中生目前睡眠情况的调查 【答案】D 【详解】解：A、坐地铁时对乘客行李的安检，必须保证安全，故必须普查； B、此种情况数量不是很大，故必须普查；C、此种情况数量需要准确，适合普查； D、全国初中生的人数比较多，适合采取抽样调查．故选：D． 4．（23-24七年级下·北京·期中）如图，是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：乾清门的点的坐标是．故选：A． 5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意；     B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意；     C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意；         D． 若，则，故该选项正确，符合题意．故选D． 6．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，下列选项判定错误的是（　　）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、若，则（两直线平行，同旁内角互补），判定正确，不符合题意； B、若，则（同位角相等，两直线平行）；判定正确，不符合题意； C、若，则（两直线平行，内错角相等），判定正确，不符合题意； D、，不能得到，原判定错误，符合题意；故选D． 7．（23-24七年级下·北京丰台·期末）“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图是某研究院关于低空经济市场规模的统计图： 根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（     ） A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2023年中国低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【详解】解：A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升，说法正确，故该选项不符合题意； B．2022年到2025年增量分别为：868.9，1278.8，1643，1889.2，2026年增量为：，故增量最多的年份是2026年，原说法错误，故该选项符合题意； C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小，说法正确，故该选项不符合题意； D．2026年中国低空经济市场规模为，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．（24-25八年级上·四川成都·期中）文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设雀每只x两，燕每只y两，由题意可得，，故选：B 9．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）若关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 解不等式得：，解不等式得：， 不等式组有且只有3个整数解， 该不等式组的解集为，3个整数解分别为2，1，0， ，，故选A． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①过点P作，则， ∵，∴，∵，∴， ∴；①正确； ②过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即，同理：， ∵，∴， ∴, ∴，即，②正确； ③过点P作，则， ∵，∴，即， ∵，∴，∴ 过点N作，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴，③说法错误．综上，正确的有2个，故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上） 11．（23-24七年级下·广西玉林·期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】∵点在轴上，∴，解得，∴，故答案为：． 12．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）观察下表， ． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 【答案】 【详解】解：，∴， ∴，，故答案为：． 13．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若是关于的方程的一组解，则常数的值是 ． 【答案】 【详解】解：把代入关于，的方程得：，解得：，故答案为：． 14．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长必须超过 ． 【答案】 【详解】解：设需要导火线的长为，由题意得，，解得， ∴需要导火线的长必须超过，故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知方程组的解满足，求a的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：，，得：，则得 ∵，∴，解得：．故答案为：． 16．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有9位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论： ①E超额完成了目标任务；②目标与实际完成相差最多的是G；③H的目标达成度为； ④月度达成率超过且实际销售额大于4万元的有四个人．其中正确的结论是： ． 【答案】①②③ 【详解】解：由统计图得： ①E月初制定的目标是4万元，月末实际完成5万元，超额完成了目标任务，正确； ②G月初制定的目标是8万元，月末实际完成2万元，目标与实际完成相差最多，正确； ③H月初制定的目标是3万元，月末实际完成3万元，目标达成度为，正确； ④实际销售额大于4万元的有4个人，分别是E、B、I、C， E月度达成率为：，B月度达成率为：，I月度达成率为：， C月度达成率为：，∴月度达成率超过且实际销售额大于4万元的有E、B、I三个人，正确；故答案为：①②③． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，，．（1）如果，那么a的取值范围是 ；（2）如果，满足条件的所有正整数x为 ． 【答案】 / 5，6，7 【详解】解：（1）∵，∴a的取值范围是：，故答案为：； （2）由题意得：，解得：， ∴满足条件的所有正整数x为：5，6，7．故答案为：5，6，7． 18．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，在整个运动过程中，当，中有一个角是另一个角的倍时，的度数是 ． 【答案】或或 【详解】解：①如图，当点在线段上时，过点作， ，由平移可得：，， ，， ，中有一个角是另一个角的倍， 或，或； ②如图，当点在射线上时，过点作，，由平移可得：， ，，， ，中有一个角是另一个角的倍，，，； 综上所述，的度数是或或，答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19题6分，20-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上） 19．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)5(2)9 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）解分式方程和不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 21．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，E为上一点，，的延长线交于点F，，．试说明：． 证明：（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴（ ）， 即∠ ， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （等式的基本事实）， ∴（ ）， ∴（ ）． 【答案】见详解 【详解】证明：（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（ 两直线平行，内错角相等 ）． ∵（已知）， ∴（ 等式的基本性质 ）， 即， ∴（ 等量代换 ）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴（ 两直线平行，同位角相等 ）． 22．（24-25七年级上·山东威海·期末）为增强学生的环保意识，某学校开展了以“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．现从七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位/分）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布表如下： 组别 测试成绩（分） 频数 第1组 a 第2组 6 第3组 b 第4组 14 第5组 8 b．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布直方图及扇形图如下： 请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调研，从该校七年级随机抽取了_______名学生进行调查； (2)表中_______；第3组所对应的扇形的圆心角的度数是_______． (3)已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有多少人？(4)为了了解学生环保意识的现状，学校随机抽取了部分学生进行座谈，了解到同学们平时获取环保知识主要通过书籍、网络资料、学校开设的环保课程等途径，这些数据属于_______（填定性数据或者定量数据）． 【答案】(1)40(2)(3)165人(4)定性数据 【详解】（1）解：（名）；故答案为：40； （2），；故答案为：； （3）（人）； 答：估计七年级学生测试成绩达到优秀的约有165人； （4）由题意，这些数据属于定性数量；故答案为：定性数据． 23．（24-25七年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，．(1)写出，，的坐标：（______，______）,（______，______）,（______，______）；(2)在图中画出平移后的；(3)求的面积． 【答案】(1)1，0，3，1，4，-2(2)见解析(3)3.5 【详解】（1）解：由题意得：，，，故答案为1，0，3，1，4，-2． （2）解：平移后的如图所示． （3）解：，的面积为． 【点睛】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 24．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知：解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出：解得： ∵m为正整数，∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆，此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆，此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 25．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③(2)(3)或 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时；故答案为：②③； （2）解：，由得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴，∴，解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组，∴， 联立得：，解得：或，把代入得：， ∴，∵m为任意有理数，∴，解得：，∴； 把代入得：，∴， ∵m为任意有理数，∴，解得：，∴； 综上所述，得值为或． 26．（2025七年级下·浙江·专题练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【详解】解：（1）过点作， ，，，， ，即； （2）如图，设，则，设，则， 由（1）知，，同理可得， ，，， 由，得，由，得， 将，代入，可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， 直线与直线相交所夹的锐角为，， ，，； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为，， ，即，； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为，， ，即，； 综上所述，或或． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$