期末押题卷（一）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

期末押题卷（人教版）（一） 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版八年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·陕西安康·期中）某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 下列说法不正确的是（   ） A．这组数据的众数是4.6 B．这组数据的中位数是4.7 C．这组数据的平均数是4.7 D．这组数据的方差是1.3 4．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）在中，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 7．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A．B．C． D． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上） 11．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年8月14日，莱西市人民政府发布了2023年青岛教育系统招聘工作人员拟聘用人员公示，为一年一度的教师招聘画上了圆满的句号．本次考试采用先笔试后面试的方式进行，（其中面试分值按照模拟上课70%、答辩30%的比例加权计算出面试得分，并设置最低分60分），总成绩按照笔试40%、面试60%的比例加权计算，保留两位小数，尾数四舍五入，择优录取．已知甲、乙、丙三名考生的各类成绩如下表，最终被录取的是 ．      成绩     项目 姓名 笔试 模拟上课 答辩 甲 90 60 50 乙 80 70 40 丙 70 80 40 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 13．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，垂直平分，点在上，连接，为的中点，连结，若，则的长为 ． 15．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，分别以，和为直径作半圆，已知，，则的值为 16．（24-25八年级上·福建漳州·期中）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则； ④当时，无论取何值，直线一定过定点． 其中正确的是 ． （填写序号） 17．（24-25八年级上·江苏常州·期中）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 18．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19题8分，20-21题每题7分，22-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算与解方程： (1) (2) 20．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将向上平移个单位长度，得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)连接、，则四边形的形状是______，连接，则四边形的形状是______． 21．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛．(1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                   ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是：92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题：①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 22．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践：某校开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图 说明：如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点，测量多出的绳子长度．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点位置，测量点到地面的距离，以及点到旗杆的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 1米 图2中的长度 米 (1)根据以上测量结果，请求学校旗杆的高度； (2)若，，请用关于的代数式表示学校旗杆的高度． 23．（24-25八年级上·广东佛山·期末） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．    （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．      问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 24．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长． 25．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． (1)求直线的解析式；(2)连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：；(2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．①求证：矩形是正方形；②若正方形的边长为，，求正方形的边长；(3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（人教版）（一） 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版八年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，可化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B. 不可化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； C. ，可化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D. ，可化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；故选：B． 3．（24-25九年级下·陕西安康·期中）某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 3 4 9 6 7 7 3 下列说法不正确的是（   ） A．这组数据的众数是4.6 B．这组数据的中位数是4.7 C．这组数据的平均数是4.7 D．这组数据的方差是1.3 【答案】D 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中4.6是出现次数最多的，故众数是4.6；A选项正确； 将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是4.7和4.7，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.7．B选项正确； 这组数据的平均数是,C选项正确； 这组数据的方差是 ，D选项错误；故选D． 4．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为：，根据表格数据可得：，解得， 与的函数关系式为：，故选：A． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）在中，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：∵，∴，    ∵，∴，∴，故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米．故选：D． 7．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在中，于点，点在上，连结，点分别是上的中点，连结．已知，若要求的长，只需知道（    ）     A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【详解】解：要求的长，只需知道线段的长，理由如下：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，∴ ∵点分别是上的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴要求的长，只需知道线段的长，故选：D． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，所以，即，所以． 因为，所以，观察四个选项，D选项符合题意．故选：D． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵m，n均为正实数，∴可化为， ∴，即， ∵，∴，∴，∴的最大值为．故选：B 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，正方形纸片的边长为9，，, ， ， 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，，， 设，则，在中，， 在中，，则可得，解得，，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， 则可得，，， 设直线的解析式为，把，代入可得 ，解得，直线的解析式为， 当时，，，设直线的解析式为, 把代入可得，解得，直线的解析式为, 联立方程，解得，，则， ，，故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上） 11．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年8月14日，莱西市人民政府发布了2023年青岛教育系统招聘工作人员拟聘用人员公示，为一年一度的教师招聘画上了圆满的句号．本次考试采用先笔试后面试的方式进行，（其中面试分值按照模拟上课70%、答辩30%的比例加权计算出面试得分，并设置最低分60分），总成绩按照笔试40%、面试60%的比例加权计算，保留两位小数，尾数四舍五入，择优录取．已知甲、乙、丙三名考生的各类成绩如下表，最终被录取的是 ．      成绩     项目 姓名 笔试 模拟上课 答辩 甲 90 60 50 乙 80 70 40 丙 70 80 40 【答案】丙 【详解】解：甲的面试成绩为（分）， ，甲的面试成绩未达到录取标准；乙的面试成绩为（分）， ，乙的面试成绩达到录取标准， 乙的总成绩为（分）；丙的面试成绩为（分）， ，丙的面试成绩达到录取标准，丙的总成绩为（分） ，最终被录取的是丙，故答案为：丙． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 【答案】7 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵，∴ 故答案为：7． 13．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 【答案】 【详解】解：由题意得的频率为， 抽取的学生人数为（名），故答案为：． 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，垂直平分，点在上，连接，为的中点，连结，若，则的长为 ． 【答案】6 【详解】∵垂直平分，∴，且为中点． ∵为的中点，，∴是的中位线．∴， ∵，∴．∵，由，∵，∴． 15．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，分别以，和为直径作半圆，已知，，则的值为 【答案】6 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，∴，∴， ∴或（舍去），故答案为：6． 16．（24-25八年级上·福建漳州·期中）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则； ④当时，无论取何值，直线一定过定点． 其中正确的是 ． （填写序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：一次函数，当时，， ∴一次函数图象从左往右，呈上升趋势，即的值随着的值的增大而增大，故①正确； 当时，，∴该函数图象经过第一、二、三象限，故②正确； 将该函数图象向下平移2个单位长度后得到， ∴，解得，，故③正确； 当时，，∴时，，函数值与的取值无关， ∴当时，无论取何值，直线一定过定点，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，故答案为：①②③④ ． 17．（24-25八年级上·江苏常州·期中）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，，∵朱入与朱出的三角形全等，∴，∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，∴，， ∴，，∴阴影部分面积为 ， ∵，，∴， 即阴影部分的面积为，故答案为：． 18．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， 在矩形中，， ，，， ，， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，，， 在中，，，， 的最大值为，故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19题8分，20-21题每题7分，22-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算与解方程： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2） 20．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将向上平移个单位长度，得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)连接、，则四边形的形状是______，连接，则四边形的形状是______． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)平行四边形，平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，，∴四边形是平行四边形，故答案为：平行四边形，平行四边形． 21．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛．(1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                   ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是：92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题：①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【答案】(1)①；；②(2)乙； 【详解】（1）解：①由题意，共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数，∴中位数故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为               平均数为：∴，故答案为：； （2）解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时，此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙故答案为：乙；． 22．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践：某校开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图 说明：如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点，测量多出的绳子长度．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点位置，测量点到地面的距离，以及点到旗杆的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 1米 图2中的长度 米 (1)根据以上测量结果，请求学校旗杆的高度； (2)若，，请用关于的代数式表示学校旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为米(2) 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子为米， 由题意可知，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， 答：旗杆的高度为米． （2）解：设旗杆的高度为x米，根据题意得，， 在中，由勾股定理得：，即 解得：旗杆的高度为． 23．（24-25八年级上·广东佛山·期末） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．    （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．      问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 【答案】（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元；（2）图3，图2；（3）方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损，理由见解析 【详解】解：（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元； （2）观察图像可知，反映乘客代表意见的是图3，反映客运公司行政代表意见的是图2； 故答案为：图3，图2； （3）该线路一周内乘客数量为（万人），每天乘客数量平均为（万人），设原来与的函数关系式为，把，代入， 得，解得，原来与的函数关系式为； 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时与的函数关系式为， 令得，客运公司平均每天利润为万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时， 令得，客运公司平均每天利润为0.04万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时， 令得，客运公司每天平均利润为0.075万元； ，方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损． 24．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，且，∴四边形是平行四边形， 又，∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，∴，，， ∴，∴， ∵，点是中点，∴在中，． 25．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． (1)求直线的解析式；(2)连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：将代入，得，解得，∴， ∵中，当时，，∴，∴， ∵，∴，∴，设解析式为， 则，解得，∴； （2）解：当时，，∴，∴， ∵中，时，，∴，∴，设， ∵， ∴，∴， 解得，或， ∴； （3）解：存在．理由：将向下平移6个长度单位为， 当时，，∴，∴，设， 当时，，解得， ∴， 当时，∵，∴，∴，∴， ∴轴，∴．故． 26．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：；(2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．①求证：矩形是正方形；②若正方形的边长为，，求正方形的边长；(3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②；(3)8 【详解】（1）证明：四边形为正方形，，， 在和中，，，； （2）解：①过点E作于，于，如图，    正方形中，，四边形是矩形，， 点是正方形对角线上的点，，， ，，在和中，， ，，四边形是矩形，矩形是正方形； ②正方形和正方形，，，， ，， 在和中，，，，， ，，， 在中，．，， 如图，连接，，    是等腰直角三角形，．正方形的边长为． （3）解：∵正方形的边长为，∴， 由（2）得，则． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$