精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题（B） 2025.04 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的． 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 2. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 3. 已知向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解. 【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则， 由，得，于是，又， 所以. 故选：A 4. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，从而得到，进而得到在复平面内对应的点的坐标，从而求得答案. 【详解】由于，故， 所以在复平面内对应的点为，在第二象限. 故选：B. 5. 在中，，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 又，、不共线， 所以，所以. 故选：C 6. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 7. 在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（ ） A. 越小越费力，越大越省力 B. 的范围为 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量分解及直角三角形的性质得，根据余弦函数性质即可判断A；举反例判断B；将角的值代入计算判断CD. 【详解】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 8. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是复数，其在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例判断即可，对于B，根据复数模的性质分析判断，对于C，设，再由可得答案，对于D，设，然后由可得，再化简判断. 【详解】对于A，若，不是纯虚数，故A错误 对于B，因为，所以，故B正确 对于C，设即， 表示圆心在，半径为1的圆，故C正确 对于D，，设，则 ，故D正确 故选：BCD. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【详解】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，， 由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因， 故， 当，即时， 也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确. 故选：ACD. 11. 在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（ ） A. B. 外接圆面积为 C. D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角A，再利用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答. 【详解】在中，由正弦定理及得：， 而，则有，即，又，， 则，所以，即，A正确； 由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误； 如图，，C正确； 由余弦定理得：，当且仅当时取等号， 因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出一个满足的复数______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出符合题意的答案即可. 【详解】令，则， 故答案为：（答案不唯一） 13. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 14. 深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意及图形分别求出三角形及弓形面积可得答案. 【详解】如图将圆O补充完整，连接OB，OC，取BC中点为D，连接AD. 因，为对应的圆周角，为对应的圆心角， 则，为正三角形，又外接圆半径为2，则弓形面积为. 因，则三角形为等腰三角形，AD平分角. 则，又，则. 又， 则，则. 则图形面积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数，． （1）若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； （2）若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或． 【解析】 【分析】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意得，解得或； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 16. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 17. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， 又，故， 故三点共线. 18. 已知复数，，． （1）若，求角； （2）复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解； （2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围； （ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围. 【小问1详解】 ，，且， ，，即，， 又，故. 【小问2详解】 （ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ），， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由，得， 故. 由正弦定理可得，故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）可得，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由，得， 整理得， 则. 【小问3详解】 如图，点为的费马点，则， 设， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立. 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题（B） 2025.04 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的． 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（ ） A. 越小越费力，越大越省力 B. 的范围为 C. 当时， D. 当时， 8. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是复数，其在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D. 若，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 11. 在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（ ） A. B. 外接圆面积为 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出一个满足的复数______．（写出一个即可） 13. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 _________________． 14. 深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数，． （1）若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； （2）若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 16. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 18. 已知复数，，． （1）若，求角； （2）复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $