精品解析：江西省南昌中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

南昌中学2024-2025学年度下学期高一期中数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在范围内，与角终边相同的角是 A. B. C. D. 2. 函数,的最小正周期为 A. B. C. D. 3. 已知＝3，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 化简：（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像的一条对称轴的方程是 A. B. C. D. 6. 函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知函数，下面结论正确的是 A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数是奇函数 10. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ） A. f(x)是偶函数` B. f(x)在区间单调递增 C. f(x)在[－π，π]有4个零点 D. f(x)的最大值为2 11. 已知函数，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有1个；②满足题目条件的实数有且只有1个；③在上单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是________． 13. 已知，，则______. 14. 若函数的定义域存在，使成立，则称该函数为“互补函数”.函数，则当时，=______；若在上为“互补函数”，则的取值范围为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1）; （2）． 16. 已知，其中 （1）求的值 （2）求的值 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）用五点法在下图中画出在闭区间上的简图. 18. 已知函数. (1)求函数的最小值及取到最小值时自变量x的集合； (2)指出函数y＝的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到； (3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为，求实数m的取值范围． 19. 已知函数的一系列对应值如表： x 1 3 1 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2024-2025学年度下学期高一期中数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在范围内，与角终边相同的角是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，求出结果． 【详解】与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是， 故选A． 【点睛】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到 与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，是解题的关键 2. 函数,的最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如的最小正周期为，而的最小正周期为，故函数的最小正周期为， 故选C. 考点：三角函数的图像与性质. 3. 已知＝3，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系化正余弦为正切，最后代入数值进行计算即可. 【详解】， 故选：A. 4. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简. 【详解】原式． 故选：A 5. 函数的图像的一条对称轴的方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得对称轴的表达式，再对进行赋值，求出正确选项. 【详解】∵， ∴函数的图像的对称轴方程为，即， ∴当时，是该图像一条对称轴的方程.故选A. 【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数对称轴方程的求法，属于基础题. 6. 函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中函数在一个周期内的图像经过和，可分析出函数的最值、周期，求出后，代入点求，即可得到函数解析式 【详解】函数在一个周期内的图像如图，观察选项，不妨设，，， 由函数图像可得，，，，又，故， 则函数的解析式可化为，将点代入得，即， 又，取，得，此时. 故选：A． 7. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法求出，再用二倍角公式及两角和的正切公式求解即可. 【详解】依题意，角的终边经过点，则， 于是， 所以. 故选：D. 8. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：化简，图象向右平移个单位得，由所得图象关于轴对称，得，得，当得.故选C. 考点：函数的图象、正弦函数的性质. 【易错点晴】本题主要考查函数的图象，应用二倍角公式将函数转化成只含一个函数名的函数，方便我们研究函数．而对于“图象关于轴对称”可用两种方法解决：一是用偶函数的定义来解决；二是当时使得有最大值或是最小值.本题的解决方法采用了第二种，这也是三角型函数解决关于轴对称的常用方法．本题考查的知识点稍多，难度中等. 二、多项选择题 9. 已知函数，下面结论正确的是 A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数是奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】先化简函数，对于选项A,求出函数的最小正周期判断得解；对于选项B,利用复合函数的单调性分析判断；对于选项C,利用三角函数的奇偶性分析判断；对于选项D,利用函数的奇偶性判断得解. 【详解】由题意，可得， 对于选项A,,所以选项A正确； 对于选项B,在上是减函数，所以函数在区间上是增函数 ,所以选项B正确； 对于选项C,,所以函数是偶函数，所以其图像关于直线对称，所以选项C正确； 对于选项D,由于函数是偶函数 ,所以选项D错误； 故选ABC 【点睛】本题主要考查诱导公式化简，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ） A. f(x)是偶函数` B. f(x)在区间单调递增 C. f(x)在[－π，π]有4个零点 D. f(x)的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确； B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误； C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数， ∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误； D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立， ∴f(x)的最大值为2，故D正确． 故选：AD 11. 已知函数，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有1个；②满足题目条件的实数有且只有1个；③在上单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可求得的取值范围，设，根据题意作出函数的图象，根据已知条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可判断④①②；由计算出，利用余弦函数的单调性可判断③. 【详解】∵，∴当时，. 设，作出函数的图象如下图所示： 因为都有，则，， 且满足的实数有且只有个， 即函数在上有且只有个零点， 由图象可知，解得，即的取值范围是，故④正确； ∵， ∴由图象知在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点， 故满足题目条件的实数有且只有1个，满足题目条件的实数有1个或个，故①正确，②错误； 当时，， 由知， 所以在上单调递增， 故函数在上单调递增，故③正确. 综上，正确的有①③④. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为；故填． 考点：扇形的面积公式． 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】因为 ，再利用两角和的正切公式运算即可得解. 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为 . 【点睛】本题考查了两角和的正切公式，属基础题. 14. 若函数的定义域存在，使成立，则称该函数为“互补函数”.函数，则当时，=______；若在上为“互补函数”，则的取值范围为___________. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 当时，，可得； 令，则函数在区间上存在两个极值点，则，可得， 当时，即，显然符合题意； 当时，即时，，即，所以 当，即时，，即，所以， 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1）; （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和诱导公式化简即可求值； （2）利用切化弦方法，结合二倍角公式和诱导公式，同角三角函数的关系化简求值. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 ， , ． 16. 已知，其中 （1）求的值 （2）求的值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，两边平方后可得所求．（2）根据题意求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以． （2）因为，， 其中，， ， 所以 ． 【点睛】在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号． 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）用五点法在下图中画出在闭区间上的简图. 【答案】（1）； （2）由得，列表如下： 0 0 2 0 0 如图所示： . 【解析】 【分析】(1)本题首先可以将函数化简为函数，再然后根据得出，即可得出结果； (2)本题可以根据函数解析式确定五个点的坐标，然后在图上绘出即可。 【详解】(1) ， 因为， 所以，即， 所以当时，的值域为； (2)略 【点睛】本题考查三角函数的值域以及五点作图法，考查运用三角函数相关公式进行化简，考查化归与转化思想，考查学生的绘图能力，是中档题。 18. 已知函数. (1)求函数的最小值及取到最小值时自变量x的集合； (2)指出函数y＝的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到； (3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为，求实数m的取值范围． 【答案】(1) ，； (2)把函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再把函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象， 最后再把函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象． (3) . 【解析】 【分析】(1)利用正弦函数的性质求出最小值以及取到最小值时自变量x的集合； (2)由正弦函数的相位变换、周期变换、振幅变换描述即可； (3)画出函数的图像，根据图像找到值域为的图像，即可确定实数m的取值范围. 【详解】(1)，此时，即， 即此时自变量x的集合是. (2)略 (3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以. 又函数y＝f(x)在上是减函数， 故m的最大值为内使函数值为的值， 令，得，所以m的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值、描述正弦型函数图像的变换过程以及由正弦型函数的值域确定参数的范围，属于中档题. 19. 已知函数的一系列对应值如表： x 1 3 1 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据分别求得的值，从而求得解析式. （2）先利用周期公式求k的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得m的取值范围. 【小问1详解】 由表格知，函数的最小正周期，， 由，解得， 由，得，， 则当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，则，即， 于是， 令，由，得， 依题意，，即在上恰有两个不同的解， 即函数在上的图象与直线有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象，当，即时，直线函数在上的图象有两个交点， 所以实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $