第24章　圆讲义　2025年暑假预习人教版数学九年级上册　

第16讲 圆的有关性质（6个知识点+5个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 了解圆及弦、弧（劣弧、优弧）圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆内接多边形等有关概念。 2. 通过观察实验，认识圆的对称性，理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形。 3. 掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决实际问题。 4. 掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。 5. 掌握圆周角定理及其推论，并能进行相关的证明和算计。 知识点1.圆（重点） (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点归纳： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点归纳： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2.圆的有关概念 1.弦： 连结圆上任意两点的线段叫做弦. 2.直径： 经过圆心的弦叫做直径. 要点归纳： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 3.弧的有关概念： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点归纳： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 5.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 知识点3.垂直于弦的直径（难点） 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的逆定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 垂径定理的逆定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 要点归纳： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点） 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等． 要点归纳： 　 等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； 知识点5.圆周角（重点） 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点6.圆内接多边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 1.圆内接四边形的对角互补． 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） 考点1.圆的有关概念 【例1-1】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-2】如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC. 【例1-3】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数． 【变式1-1】（2023秋•永善县期末）已知中最长的弦为8，则的半径是　　 A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1-2】．（2023秋•绥化期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】．（2023秋•游仙区期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．若，求的度数． 【变式1-4】．（2023秋•赣榆区月考）已知：如图，是的直径，点、在上，于，于，且，与相等吗？为什么？ 考点2.垂径定理 【例2-1】如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　) A．2cm 　　　　B．3cm C．4cm 　　　　D．4cm 【例2-2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 【例2-3】如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 【例2-4】如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长． 【例2-5】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 【变式2-1】．（2024•荔湾区校级三模）如图，是的直径，于，若，，则的半径是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】．（2024•长沙实验第一次月考）.如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 【变式2-3】．（2024•溧阳市一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是　　 A． B． C． D． 【变式2-4】．（2024•凉州区二模）点，，都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长． 【变式2-5】．（2024•南郑区校级一模）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，连接． （1）求的度数． （2）若，求的半径． 考点3.圆心角、弦、弧之间的关系 【例3-1】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是(　　) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB 【例3-2】如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是(　　) A．40° B．60° C．80° D．120° 【例3-4】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝. 【变式3-1】（2024•丛台区校级三模）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【变式3-2】．（2024•桓台县一模）如图，的直径与弦交于点，且．若弧的度数为，则弧的度数为　　 A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________． 【变式3-4】（2024•武威二模）如图，在中，，．求证是等边三角形． 【变式3-5】．（2024•武威三模）如图，在中，、是直径，且交圆于，求证：． 【变式3-6】．（2024•凉州区二模）如图，在中，，，直径于点，连接，． （1）求的度数； （2）求的长度． 【变式3-7】．（2024•安徽模拟）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，． （1）求证：； （2）如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：． 考点4.圆周角定理 【例4-1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(　　) A．25° B．30° C．35° D．50° 【例4-2】如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，则BC的长为________． 【变式4-1】如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式4-2】（2023•西湖区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝　 　． 【变式4-3】（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC 的度数为（　　） ​ A．40° B．45° C．50° D．55° 【变式4-4】（2024•长沙长郡月考）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°， ∠APD＝75°． （1）求∠B的大小； （2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长． 【变式4-5】．（2024•突泉县二模）已知：如图，为的直径，点为上一点，过点作，交于点、． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，点为上一点，连接交直径于点，连接，若，求证：． 【变式4-6】．（2024•康县模拟）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 考点5.圆的内接四边形 【例5-1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度． 【例5-2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形． 【变式5-1】．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．140° 【变式5-2】．（2024•长沙长郡月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠CDM＝71°，则∠AOC＝　 　． 【变式5-3】．（2023秋•广陵区月考）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线． （1）求证∠DAB＝∠DCE； （2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． 【变式5-4】．（2024秋•长沙实验第一次月考）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 一．选择题（共7小题） 1．（2024春•秦安县校级月考）如图，是的直径，若，是的中点，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024•文山州一模）如图，是的直径，、为圆上两点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•兴化市期末）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024•凉州区三模）如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 5．（2024•永昌县三模）如图，是半圆的直径，、、三点依次在半圆上，若，，则与之间的关系是　　 A． B． C． D． 6．（2024•秦安县校级三模）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．（2024•深圳模拟）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为2.4米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.4米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（　　） A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米 二．填空题（共9小题） 8．（2024•罗湖区模拟）如图，的弦、的延长线相交于点，，，则　　． 9．（2024•惠农区模拟）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为 　　（结果保留整数） 10．（2024•益阳三模）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 　　． 11．（2024•北京）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则　　． 12．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 　　． 13．（2024春•巴彦县校级月考）如图，在中，弦、交于点，若的半径为1，，，则的度数为 　　． 14．（2024•盱眙县校级模拟）如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则　　． 15．（2024•陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 　　． 16．（2024•长沙长郡月考）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 三．解答题（共3小题） 17．（2024秋•长沙实验第一次月考）.如图，是直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． （1）若，，求的半径． （2）若，求的度数． 18．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使． （1）若，为直径，求的度数． （2）求证：①； ②． 19．（2024•蚌埠二模）如图，中两条互相垂直的弦，交于点，经过点，是的中点，连接并延长，交于点． （1）若，，求的长； （2）求证：． 20．（2024•长沙师大附中月考）.新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； （2）如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 第17讲 点和圆、直线和圆的位置关系（9个知识点+8个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 6. 了解点和圆的三种位置关系的图形特征；掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系；掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆。 7. 了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明。 8. 掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法；了解割线、切线的概念；掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。 9. 了解并会应用切线长定理，了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 10. 体验数形结合思想和建模思想，提高解决实际问题的能力。 知识点1.点和圆的位置关系（重点） （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2.圆的确定条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 要点归纳：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点3.三角形的外接圆 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点4.反证法（难点） 1.反证法 假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法. 2.用反证法证明命题的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确 知识点5.直线和圆的位置关系（重点） (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 知识点6.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． （3）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （4）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （5）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 要点归纳： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点7.切线长及切线长定理（重点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点8.三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点归纳： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点9.圆和圆的位置关系（拓展） 1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 要点归纳： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 考点1.点和圆的位置关系 【例1-1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm. (1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 【例1-2】如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 【变式1-1】（2023秋•江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【变式1-2】（2024•蒸湘区一模）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2024•榕城区校级三模）如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 　 　． 【变式1-4】（2023秋•东光县期中）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． （1）圆心的坐标为　 　； （2）判断点与的位置关系． 考点2.确定圆的条件 【例2】已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C. 【变式2-1】（2024•上饶一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】．（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为、、，则、、这三个点 　　确定一个圆（填“可以”或“不可以” ． 【变式2-3】．（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 考点3.三角形的外接圆 【例3-1】如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 【例3-2】如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 【变式3-1】（2024•香洲区二模）如图，已知四边形，过，，的圆交于点，连接，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式3-2】．（2024•黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则　　． 【变式3-3】．（2024•云岩区校级二模）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点、重合），连接、，过点作交的延长线于点． （1）求和的度数； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 考点4.直线与圆的位置关系 【例4-1】已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【例4-2】△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是________． 【例4-3】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为(　　) A．(－1，－2) B．(1，2) C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2) 【例4-4】已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 【变式4-1】（2024春•丰城市校级月考）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2024•汉川市模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是　　 A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【变式4-3】．（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 　　． 【变式4-4】．（2023秋•安州区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是　 　． 考点5.切线的判定 【例5】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线． 【变式5-1】（2024•凉州区校级三模）如图，为的直径，点，在上，，． 求证：是的切线． 【变式5-2】（2024•赣州二模）如图，的顶点，在上，交于点，连接，已知．（1）若的半径为3，求弦的长； （2）当，求证：是的切线． 【变式5-3】（2024•良庆区校级模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 考点6.切线的性质 【例6-1】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝，求⊙O的半径． 【例6-2】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2，求⊙O的半径． 【例6-3】（2024长沙麓山月考）如图四边形ABCD是⊙O内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E. ⑴ 求证：AB＝AC. ⑵ 若BD＝11，DE＝2，求CD的长. 【变式6-1】（2024春•东昌府区校级月考）如图，四边形是平行四边形，是的直径，点在上，与相交于点，连接，过点作的切线交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【变式6-2】（2024•永城市校级二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，作切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 考点7.切线长定理 【例7-1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________． 【例7-2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度． 【例7-3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 【变式7-1】（2024•城中区校级一模）如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为　　 A．60 B．55 C．45 D．50 【变式7-2】．（2023秋•康县期末）如图，，是的切线，，为切点，，则　 　 ． 【变式7-3】（2022秋•永年区校级月考）已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于． （1）若，求的周长． （2）若求． 考点8.三角形的内切圆 【例8-1】如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 【例8-2】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　) A．r B.r C．2r D.r 【变式8-1】（2024•阳新县校级二模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则的大小是　　 A． B． C． D． 【变式8-2】．（2024•高青县模拟）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为　　 A．19 B．17 C．22 D．20 【变式8-3】（2024•克什克腾旗一模）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•萨迦县一模）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024•越秀区校级二模）在中，，是角平分线．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（2024•西宁二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为　　 A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 4．（2024•东莞市校级模拟）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．6 C．12 D．10 5．（2024•二道区校级四模）如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 6．（2024•福建）如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于　　 A． B． C． D． 7．（2024•临邑县一模）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为　　 A．9 B．10 C． D．12 8．（2024春•大足区期末）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为　　 A．44 B．42 C．46 D．47 10．（2024•武汉模拟）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为、，则的值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．（2024•浙江）如图，是的直径，与相切，为切点，连接．已知，则的度数为 　　． 12．（2024春•海淀区校级期末）如图，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为优弧上一点，若，则　　． 13．（2024•龙马潭区校级二模）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 　　． 14．（2024•西城区二模）如图，与相切于点．点，分别在，上，四边形为正方形．若，则　　． 15．（2024•六合区校级三模）如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 　　． 16．（2024•南岗区校级二模）如图，已知四边形为菱形，以为直径作，过点作的切线交于点．若，则的度数为 　　． 三．解答题（共4小题） 17．（2024•辽阳三模）如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点在斜边上．与分别交于点和，与切于点，于点． （1）求证：； （2）若，求的半径长． 18．（2024•凉州区三模）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 19．（2024•民权县校级四模）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 20．（2024•河北区二模）在中，是的直径，，弦交于点，． （Ⅰ）如图①，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点作的切线，过点作于点，若，求的长． 21.（2024•长沙青竹湖湘一月考） 如图，四边形是的内接四边形，，，点是的中点，且. （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，若，求的内心与外心之间的距离. 第18讲 正多边形和圆（3个知识点+4个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.初步认识正多边形与圆的关系。 2.理解正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算。 3.掌握等分圆周画圆内接正多边形的方法。 知识点1.正多边形及有关概念（重点） 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点归纳： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点2.正多边形的有关计算（重点） 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点3.正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1.求正多边形的中心角 【例1】已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度． 【变式1-1】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（　　） A．72° B．60° C．48° D．36° 【变式1-2】（2024•河北三模）如图，正五边形内接于，连接，，则　　 A． B． C． D． 【变式1-3】（2024•威县校级三模）如图，，分别是的内接正五边形的边，上的点，，则　　 A． B． C． D． 【变式1-4】（2024•聊城模拟）如图，在中，点为上的点，．若，且是的内接正边形的一边，则的值为　　 A．8 B．9 C．10 D．12 考点2.正多边形的有关计算 【例2】已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S. 【变式2-1】（2023秋•东阳市期末）如图，在正六边形中，，点在边上，且．若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 　 　． 【变式2-2】如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为　　． 【变式2-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）若CE＝1，求四边形AECD的面积． 考点3.圆的内接正多边形的探究题 【例3】 如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；　　(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) 【变式3-1】（2023•山西模拟）如图，正方形内接于，连接，点是的中点，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的度数． 【变式3-2】（2022秋•尧都区期末）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： （1）如图1，等边三角形中，在、边上分别取点、，使，连接、，发现，且，试说明：． （2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　度，并说明理由． （3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　，且　　度．（正边形内角和，正多边形各内角相等） 【变式3-3】．（2023秋•张店区校级月考）如图，正六边形中，点在边上，，与六边形外角的平分线交于点． （1）当点不与点、重合时，求证：． （2）当点在正六边形一边上运动（点不与点重合）时，猜想与的数量关系，并对猜想的结果加以证明． 考点4.作圆的内接正多边形 【例4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 【变式4-1】如图，点是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）画出的内接正． （2）在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【变式4-2】（2022秋•江门期末）如图，在等边三角形中． （1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）； （2）若，求的半径． 【变式4-3】（2023秋•兴国县期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法 如图2． 1．作直径． 2．以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． （1）求的度数． （2）是正三角形吗？请说明理由． （3）从点开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•南关区一模）如图，在正六边形中，的面积为4，则的面积为　　 A．16． B．12 C．8 D．6 2．（2024春•海淀区校级期末）如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为　　 A．16 B．12 C．8 D．6 3．（2024•安庆二模）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点，分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为　　 A．8 B． C． D．4 4．（2024•蜀山区二模）苯（分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图，图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024•榕江县校级二模）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•阳新县校级月考）在正五边形中，连接对角线、、，其中、相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•河北二模）如图，正五边形中，，连接，点在线段上，连接，，将五边形分成面积为，，，，的五部分，则下列式子不能确定大小的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•石家庄模拟）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•头屯河区二模）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于　 　度． 10．（2024•仓山区校级模拟）正多边形的一个内角等于，则该正多边形的边数为 　　． 11．（2024•榆阳区校级模拟）如图，点是正八边形的中心，连接、，则　　． 12．（2023秋•钢城区期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 　　． 13．（2024•越秀区校级模拟）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 　　；（2）周长的最小值是 　　． 14．（2024•雨花台区模拟）如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为 　　． 三．解答题（共3小题） 15．（2023秋•同心县期末）如图，四边形内接于，，求的度数． 16．（2023秋•林芝市期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 17．（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 第19讲 弧长和扇形面积（3个知识点+9个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并会计算弧长和扇形的面积。 2. 了解圆锥母线的概念理解圆锥与其展开图的对应关系，并掌握圆锥侧面积和全面积的计算方法。 3. 会利用平移及旋转求不规则图形的面积。 知识点1.弧长公式（重点） （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2.扇形的面积公式（重点） （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点3.圆锥的侧面积和全面积（难点） 圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． 圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 考点1.求弧长 【例1-1】在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm. 【例1-2】如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为________cm. 【变式1-1】（2024•清城区一模）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2024•福田区三模）为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为　　． A． B． C． D． 【变式1-3】（2024•广安）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为　　 A． B． C． D． 【变式1-4】（2024•瑶海区校级模拟）如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为　　 A． B． C． D． 考点2.利用弧长求半径或圆心角 【例2】(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________． 【变式2-1】（2024春•巴彦县校级月考）已知扇形的半径为20，弧长为，那么这个扇形的圆心角为 　　 度． 【变式2-2】（2024•盐都区校级一模）一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是 　　． 【变式2-3】（2024•哈尔滨模拟）若半径为8的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 　 　． 【变式2-4】（2023秋•于都县期末）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图需用此材料，则此圆弧所在圆的半径为 　 　． 考点3.求动点运行的弧形轨迹 【例3】如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)． 【变式3-1】（2024•任城区模拟）如图，放置在直线上的扇形，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径，，则点的路径长为　 　． 【变式3-2】（2023•罗山县三模）如图，把一个含角的直角三角板在桌面上沿着直线无滑动的翻滚一周，若，，则点运动的路径长是 　 　． 【变式3-3】（2023秋•普陀区校级期末）如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向的翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是 　 　厘米． 考点4.求扇形面积 【例4-1】一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π) 【例4-2】如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是(　　) A．π　　　　　　B. C.＋ D.＋ 【变式4-1】在中，，，，把绕点顺时针旋转后，得到△（如图所示），则线段所扫过的面积为　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2024春•越秀区校级月考）如图，点，，在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为 　 　（结果保留． 考点5.求阴影部分的面积 【例5】如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) A．πcm2 B.πcm2 C.cm2 D.cm2 【变式5-1】（2024•兴庆区校级一模）如图，在等边中，，以为直径作，与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【变式5-2】（2024•旺苍县三模）如图．点、是以为直径的半圆的三等分点，的长为．则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【变式5-3】（2024•青山区校级三模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点处，若，则阴影部分的面积为 　　． 考点6.求圆锥的侧面积 【例6】小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为(　　) A．270πcm2 B．540πcm2 C．135πcm2 D．216πcm2 【变式6-1】（2024•扬州三模）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2024•云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为　　 A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【变式6-3】（2024•五华区校级模拟）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【变式6-4】（2024春•崇义县期中）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是　　 A． B． C． D． 考点7.求圆锥底面的半径 【例7】用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(　　) A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm 【变式7-1】一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为　　 A． B．3 C．2 D．1 【变式7-2】某圆锥母线长为60，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为　　 A．36 B．18 C． D． 【变式7-3】（2024•河口区校级模拟）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为　　 A． B． C．1 D．2 考点8.求圆锥的高 【例8】小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是(　　) A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm 【变式8-1】小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为，弧长是，那么这个圆锥的高是　　 A． B． C． D． 【变式8-2】（2023秋•霸州市期中）底面直径为的圆锥的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的高为　　 A． B． C． D． 【变式8-3】如图，四边形是边长为4的正方形，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），则这个圆锥的高为　　 A． B． C．2 D． 考点9.圆锥的侧面展开图的圆心角 【例9】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是(　　) A．120° B．180° C．240° D．300° 【变式9-1】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为　　 A． B． C． D． 【变式9-2】（2024•吉木萨尔县校级模拟）如图，已知圆锥的母线长为，底面半径长为，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为　　度． A．30 B．45 C．60 D．180 【变式9-3】（2024•黑龙江）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 　 　． 一．选择题（共5小题） 1．（2024•通辽模拟）如图，，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 2．（2024•红河州一模）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”的周长是　　 A．10 B． C．30 D． 3．（2024•广水市模拟）如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为　　 A． B． C． D． 4．（2024•盂县三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形，，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是　　 A． B． C． D． 5．（2024•威县校级三模）如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 6．（2024•南岗区校级三模）如图，四边形中，，，交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点，若，则阴影部分的面积为 　 　． 7．（2024•呼兰区校级一模）一个扇形的圆心角为，该扇形面积为，则该扇形的半径为 　 　． 8．（2024•宝安区校级模拟）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点在上，，则的长为 　　． 9．（2024•沭阳县校级二模）一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是 　 　． 10．（2024•让胡路区模拟）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 　 　． 11．（2024•任城区校级三模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 　 　． 12．（2024•祁阳市二模）用半径为，圆心角为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 　 　． 13．（2024•梧州二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，母线与底面圆的夹角，则该圆锥侧面积为 　 　． 三．解答题（共5小题） 14．（2024•垦利区三模）已知：如图，是的直径，弦，垂足为，，． （1）求弦的长； （2）求图中阴影部分的面积． 15．（2024•金安区校级三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求劣弧的长．（结果保留 16．（2024•城厢区校级一模）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若以为直径的圆上与、相交于点、，若，且，求弧的长 　　． 17．（2023秋•乌海期末）如图，四边形为菱形，点、在以点为圆心的弧上，若，．求扇形的面积． 18．（2024•沿河县一模）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为． （1）的度数为 　 　； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 第24章 圆全章复习与测试 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积； 知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 要点归纳： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 要点归纳： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角 　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点归纳： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 知识点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 要点归纳： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点在同一个圆上的方法 　　当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. 　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. 　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. 　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 要点归纳： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2．圆内接四边形和外切四边形 　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 知识点四、圆中有关计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． （3）圆面积公式：S＝πr2 （4）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （5）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （6）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （7）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． （8）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （9）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 一．圆的认识（共3小题） 1．（2024春•青州市校级月考）下列说法正确的是　　 A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦 C．过圆心的线段是直径 D．能够重合的圆叫做等圆 2．（2024•扶沟县一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮主视图的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为 　　分钟． 3．（2024•即墨区校级一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． （1）计算：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长　　； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长　　； ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长　　； ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长　　； （2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：　　． 二．垂径定理（共3小题） 4．（2024•湖北模拟）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是　　 A． B． C． D． 5．（2024•兴宁区校级模拟）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为　　 A． B． C． D． 6．（2024•茌平区一模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，，且，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为　　 A． B． C． D． 三．垂径定理的应用（共2小题） 7．（2024•龙岗区校级模拟）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为　　 A． B． C． D． 8．（2024•东莞市校级一模）是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长． （1）求的长； （2）求半径的长． 四．圆心角、弧、弦的关系（共3小题） 9．（2024•碑林区校级模拟）如图，、是的弦，且，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024•下陆区校级三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，，那么的半径为　　 A．5 B．10 C． D． 11．（2024•前郭县三模）如图，顶点、、均在上，，则为　　 A． B． C． D． 五．圆周角定理（共2小题） 12．（2024•湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 13．（2024•沈阳模拟）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于　　 A． B． C． D． 六．圆内接四边形的性质（共2小题） 14．（2024•西乡塘区校级模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 15．（2024•长沙县二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 七．点与圆的位置关系（共2小题） 16．（2023秋•江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 17．（2024•中江县一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值　　 A．3 B． C． D．4 八．确定圆的条件（共2小题） 18．（2024•绿园区校级三模）将边长为2的小正方形和边长为4的大正方形如图摆放，使得、两点刚好重合，且、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 　　． 19．（2023秋•桥西区期末）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 九．三角形的外接圆与外心（共2小题） 20．（2024•惠安县模拟）如图，内接于，若，，则的半径为　　 A．1 B．2 C． D． 21．（2024•横山区二模）如图，已知内接于，是的直径，过点作，垂足为，交于点，，，则的长为　　 A． B． C．1 D． 一十．直线与圆的位置关系（共2小题） 22．（2024•鼓楼区二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 23．（2024•崇明区二模）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 一十一．切线的性质（共3小题） 24．（2024•宁阳县二模）如图，，分别与相切于点，，，为上一点，则的度数是　　 A． B． C． D． 25．（2024•澄海区一模）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则　　 A． B． C． D． 26．（2024•北碚区校级模拟）如图，是等边的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，若，则的长为　　 A．2 B．3 C． D． 一十二．切线的判定（共1小题） 27．（2024•石阡县模拟）如图，直线，相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧处．若以的速度由向的方向移动，则 　　后，与直线相切． 一十三．切线长定理（共3小题） 28．（2024•凉州区三模）如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为　 　． 29．（2023秋•宿城区期中）如图，为的切线，、分别与切于、点，若，，则的长是 　　． 30．（2024秋•长沙雅镜中学月考）．如图， P 是抛物线 y = x2 - 4x + 3 上的一动点， 以 P 为圆心，1 个单位长度为半径作 ΘP ，且 ΘP 与x 轴相切， 则 P 的坐标为 . 一十四．三角形的内切圆与内心（共3小题） 31．（2024•江汉区二模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 32．（2024•碑林区校级模拟）如图，中，，，，点为内心，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则　　 A． B．1 C． D． 33．（2024•武汉模拟）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为　　 A．1 B． C． D． 一十五．正多边形和圆（共1小题） 34．（2024•鼓楼区校级二模）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形内切圆半径为　　 A． B． C．15 D． 35 ．（2024长沙雅镜中学月考）如图， O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， 以 O 为圆心， OA 长为半径的 ΘO 与 BC 相切于点M . （1）求证： CD 与 ΘO 相切； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4 ，求 ΘO 的半径. 一十六．弧长的计算（共2小题） 35．（2024•越秀区校级三模）如图，点，，在半径为3的上，，则的长为　　 A．3 B． C． D． 36．（2024•安徽）若扇形的半径为6，，则的长为　　 A． B． C． D． 一十七．扇形面积的计算（共2小题） 37．（2024•西华县三模）如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 38．（2024•甘井子区校级一模）已知某扇形弧长为，圆心角为，则扇形面积为　　 A． B． C． D． 一十八．圆锥的计算（共2小题） 39．（2024•红塔区二模）云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于　　 A． B． C． D． 40．（2024•松山区二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为　　 A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 2．如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（    ） A．4π B．2π C．π D． 3．如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B．如果平分， C．如果平分，那么 D．如果，那么也是的切线 4．在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（    ） A．等于 B．最小值为 C．最大值为 D．不等于 5．如图所示，已知点C在以AB为直径的⊙O上运动，AB＝2，以BC为边作等边△BCD，则AD的最大值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴交于点，．若圆心的坐标是，则弦的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 8．若一个圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高是 ． 9．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．    10．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ． 11．如图，四边形OABC是平行四边形，AB＝1，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D．则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 ．    三、解答题 13．如图，为的弦，连接、，，请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 14．如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 15．如图，点C在⊙O上，点P是⊙O直径AB延长线上一点，连接AC，OC，BC，CP，且有BO＝BC＝BP． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若OP＝4，求AC的长． 16．如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为． (1)证明：为的切线； (2) 连接， 若， 求的面积． 17．如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径及的长． 18．如图，中弦将圆周分成两部分，是优弧的中点，连接并延长交于点，交于点，连，若，    （1）求的半径； （2）求弓形的面积； （3）若是的动点（不与、重合），求图中阴影部分面积的最大值． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$