期末押题卷（一）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

期末押题卷（北师大版）（一） 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024北师大版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）澳大利亚悉尼大学纳米研究所团队利用折纸技术，成功开发出定制设计且可编程的纳米机器人．这一创新成果于年月日刊登在《科学·机器人》杂志上．该团队此次制作了超过种纳米级别的物体模型，其中微缩澳大利亚地图宽度仅为．已知．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：． 3．（2025·安徽合肥·一模）下列各式中，计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故该选项错误；B、，故该选项错误； C、，故该选项正确；D、，故该选项错误；故选：C． 4．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．黄球 D．红球 【答案】C 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ∵，∴抽出某个球的颜色最有可能的是黄球；故选C． 5．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，点，，分别在的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，则（同位角相等，两直线平行），故A不符合题意； B．，则（同旁内角互补，两直线平行），故B不符合题意； C．，则（内错角相等，两直线平行），故C不符合题意； D．，则（同位角相等，两直线平行），不能判定，故D符合题意；故选：D． 6．（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，，故选：D． 7．（2025·广东清远·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ，，，，故选：B． 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是（   ） A．只携带①去 B．只携带②去 C．只携带③去 D．携带②和③去 【答案】A 【详解】解：只第①块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合．故选A． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：平分平分，， ，； ①当时，平分，， ，，； ②当时，，，此种情况不成立； ③当时，设，，， ，，； ④当时，设，，，此种情况不成立； 综上所述，的度数为或；故选：A． 10．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：，，和为等边三角形， ，， 则在和中，，，故①符合题意；， 则在和中，，，故②符合题意； ，则在和中，，，故③符合题意； 但不一定成立，故④不符合题意；故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，，求的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵，，∴，， ∴，故答案为：4． 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是 ． 【答案】 【详解】解：所有情况有： 共种，其中能构成三角形的有：共种；故．故答案为：． 13．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/65度 【详解】解：∵，，∴， ∵，即，∴．故答案为： 14．（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 【答案】110 【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：，∴， ∴， ∴， ∴，∴．故答案为：110． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知则的值为 ． 【答案】22 【详解】解：设，则， ∵，∴，∴， ∵，∴． ∴．故答案为：22． 16．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】32 【详解】解：由题意得垂直平分，， 的周长为，，， 即，．故答案为：32． 17．（23-24八年级·江苏·期中）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，． （1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号） （2） ；（3）若，则 ， ， ． 【答案】 ①③/③① 15 4 20 【详解】解：（1）①，②， ③，∴和为45的是①③．故答案为：①③． （2）．故答案为：15． （3）∵中二次项系数为3，∴， ∴ ， ∵，∴， ∴，，故答案为：4；；20． 18．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为 ．    【答案】4 【详解】解：∵，，，∴， 如图，延长，交于，延长交于，    ∵和的平分线相交于点O，交于E，∴，∵，∴， ∴，同理可得：，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴ ．∴的周长为．故答案为：4． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级上·北京·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）原式． （2）解：原式, , , ， 当，时，原式 20．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）． (1)画出关于直线对称的；(2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见详解；(2)见详解． 【详解】（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求； （2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。 21．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：；(3)已知，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析, ；(2)见解析；(3)33． 【详解】（1）解：如图，点为所求作，作图依据是； （2）证明：平分，， 在和中，，； （3）解：由（2）可知，，， 的周长为15，，， 的周长． 22．（24-25八年级下·重庆·期中）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______（精确到0.1）； （2）任意摸一次球，摸到白球的概率P（白球）=_______； （3）估计盒子里黑球、白球各有多少个． 迁移运用 小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小明输，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率 0.730 0.760 0.755 0.748 0.751 0.750 （1）向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少． （2）小明获胜的机会约为多大？（3）若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【答案】（1）0.6；（2）0.6；（3）估计黑球有16个，白球有24个；【迁移运用】（1）0.75；（2）小明获胜的机会为；（3）． 【详解】（1）求当很大时，摸到白球的频率即为摸到白球的概率 －观察表格中摸到白球的频率数据0.65，0.62，0.593，0.604，0.601，0.599，0.601，当很大时，这些频率值稳定在0.6左右，精确到0.1，摸到白球的频率将会接近0.6； （2）当试验次数很大时，频率稳定值可作为概率估计值，所以任意摸一次球，摸到白球的概率白球； （3）已知球的总数为40个，摸到白球概率为0.6，则白球个数为（个）． 黑球个数为（个）； 故答案为：（1）0.6；（2）0.6；（3）估计黑球有16个，白球有24个； 【迁移运用】（1）求小石子落在阴影区域的概率 观察表格中落在阴影区域的频率数据0.730，0.760，0.755，0.748，0.751，0.750，随着试验次数增加，频率稳定在0.75左右，所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为； （2）求小明获胜的机会 因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为，所以小明获胜的机会约为； （3）估计阴影区域的面积 设阴影区域面积为，已知内圆半径，则内圆面积， 设整个图案面积为，由小石子落在阴影区域的概率，则， 又因为，即，解得，所以阴影区域面积约为， 23．（23-24七年级下·四川成都·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①：  ②：  ③： (2)如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值． (3)将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1)①(2)12(3)12 【详解】（1）解：根据题意，得，故选：①； （2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5， ∴，，∴，∴； （3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b， ∵正方形与正方形面积和为74，，∴，， ∴，∴，∴， ∴（负数舍去），∴，即， ∴阴影部分的面积为． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度；(3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 【答案】(1)，(2)千米/小时(3)小时或小时 【详解】（1）解：由时，，则西宁和西安两地相距千米， 由图象知时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需小时， 故普通列车的速度是（千米/小时），故答案为：，； （2）解：设动车的速度为千米/小时，根据题意，得：，解得：， 答：动车的速度为千米/小时； （3）解：①当相遇前动车行驶与普通列车相距千米， 根据题意得：（小时），∴相遇前动车行驶小时与普通列车相距千米； ②当相遇后动车行驶与普通列车相距千米，由当动车到达终点时用时（小时）， 此时两车相距，即两车相距千米是在动车到达终点之前， 根据题意得：（小时），∴相遇后动车行驶小时与普通列车相距千米； 综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米． 25．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图①，已知，，，则∠P的度数为________． （2）如图③，已知，，，求的度数． （3）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】（4）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【详解】（1）解：根据阅读材料可知：， ∵，，∴； （2）过点作，， ，，，． （3）如图④，过P作，∵，∴， ∴，， ∵，∴； （4）过Q作，∵，∴， ∴，，∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知，∴， ∴，∴． 26．（24-25七年级下·重庆·期中）中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．    (1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值． 【答案】(1)3(2)，理由见解析(3)①证明见解析；②12 【详解】（1）解：如图，分别延长，交于点．       ∵，∴，又∵，∴． 在和中， ∴．∴； ∵，∴，∵平分，∴． 在和中， ∴．∴； （2）解：，理由如下：如图所示，延长，交于点． 由（1）可得，，∴． ∵，∴，∵平分，∴． 在和中， ∴．∴． ∵．∴． （3）解：①如图所示， 在上截取， 在和中，，∴， ∴，，∵，∴，即， ∴；       ②如图所示，过点C作于G，∴， ∴都是等腰直角三角形，∴， ∵，∴∴， ∴，即，∴，∴， ∴，∴，∴． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（北师大版）（一） 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024北师大版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）澳大利亚悉尼大学纳米研究所团队利用折纸技术，成功开发出定制设计且可编程的纳米机器人．这一创新成果于年月日刊登在《科学·机器人》杂志上．该团队此次制作了超过种纳米级别的物体模型，其中微缩澳大利亚地图宽度仅为．已知．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·一模）下列各式中，计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．黄球 D．红球 5．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，点，，分别在的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东清远·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是（   ） A．只携带①去 B．只携带②去 C．只携带③去 D．携带②和③去 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 10．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，，求的值为 ． 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是 ． 13．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，，则 ． 14．（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知则的值为 ． 16．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为 ． 17．（23-24八年级·江苏·期中）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，． （1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号） （2） ；（3）若，则 ， ， ． 18．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为 ．    三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级上·北京·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 20．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）． (1)画出关于直线对称的；(2)在直线上画出点，使最小． 21．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：；(3)已知，的周长为15，求的周长． 22．（24-25八年级下·重庆·期中）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______（精确到0.1）； （2）任意摸一次球，摸到白球的概率P（白球）=_______； （3）估计盒子里黑球、白球各有多少个． 迁移运用 小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小明输，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率 0.730 0.760 0.755 0.748 0.751 0.750 （1）向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少． （2）小明获胜的机会约为多大？（3）若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 23．（23-24七年级下·四川成都·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①：  ②：  ③： (2)如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值． (3)将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题：(1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度；(3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 25．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图①，已知，，，则∠P的度数为________． （2）如图③，已知，，，求的度数． （3）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】（4）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 26．（24-25七年级下·重庆·期中）中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．    (1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$