微专题07 双重最值问题（3大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题07 双重最值问题 【题型归纳目录】 题型一：一元双重最值问题 题型二：多元双重最值问题 题型三：双重最值问题 【知识点梳理】 双重最值问题方法总结 双重最值问题，即求形如或的复合最值，常见于高考压轴题。其解决方法可分为以下三类： （1）数形结合法 （2）不等式法：结合条件消元，利用基本不等式（如均值不等式）求解. （3）对称法 【典型例题】 题型一：一元双重最值问题 【典例1-1】定义为，，中的最小值，为，，中的最大值，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【典例1-2】已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-1】用表示a、b两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是 . 【变式1-2】用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是 ． 题型二：多元双重最值问题 【典例2-1】（2025·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为 A． B．1 C． D． 【变式2-1】记为实数x，y，z中的最大值.若实数a，b，c满足，则的最大值为 A．2 B．1 C． D． 【变式2-2】记表示中的最大数，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 题型三：双重最值问题 【典例3-1】（2025·湖北武汉·一模）已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高三·浙江·学业考试）设函数.若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高三·浙江杭州·期中）已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为 ． 【变式3-2】若对任意的，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【专题训练】 1．已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（   ） A．0 B． C． D． 2．记表示中最大的数，已知正实数，记，则M的最小值为（   ） A． B．2 C．1 D． 3．用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 4．定义表示，，，中的最小值，表示，，，中的最大值则对任意的，，的值为 ． 5．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）定义表示中的最小值，表示中的最大值．已知实数满足，，则的值为 ． 6． ，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则 . 7．已知分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则 . 8．（2025·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 9．已知将中最小数记为，最大数记为，若，则 ． 10．设，则 . 11．对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为 . 12． . 13． 表示实数中的较大者，已知均为正数，则的最小值为 ． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ． 15．（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，记的最大值为，则当取得最小值时，的值为 ． 16．记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 17．若，记的最小值为，的最大值为，则 . 18．（2025·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 19．定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为 . 20．设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是 ． 21．设函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数t的取值范围是 . 22．设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题07 双重最值问题 【题型归纳目录】 题型一：一元双重最值问题 题型二：多元双重最值问题 题型三：双重最值问题 【知识点梳理】 双重最值问题方法总结 双重最值问题，即求形如或的复合最值，常见于高考压轴题。其解决方法可分为以下三类： （1）数形结合法 （2）不等式法：结合条件消元，利用基本不等式（如均值不等式）求解. （3）对称法 【典型例题】 题型一：一元双重最值问题 【典例1-1】定义为，，中的最小值，为，，中的最大值，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【解析】令，作出图形如图1（实线部分）， 由函数图象可知，在点处取得最大值， 所以联立解得， 所以的最大值为 令， 作出图形如图2（实线部分）， 由函数图象可知，在点处取得最小值， 所以联立解得， 所以的最小值为 故答案为：； 【典例1-2】已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，先作两个函数的草图， 因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值， 令，得，故，代入直线，得， 故. 故选：B. 【变式1-1】用表示a、b两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是 . 【答案】0 【解析】由题设，要使恒成立，只需， 而，则. 所以m的最大值是0. 故答案为：0 【变式1-2】用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 根据函数单调性的性质可知当时，函数单调递减， 而当时，函数单调递减，故当时，函数有最小值，最小值为， 该函数图象如下图所示： 所以要想恒成立，只需， 因此m的最大值是， 故答案为： 题型二：多元双重最值问题 【典例2-1】（2025·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 得， 设，则， 令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 得， 所以， 得，即. 故选：A 【典例2-2】记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为 A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 整理得：， 解得， 所以， 同理，. 故选B 【变式2-1】记为实数x，y，z中的最大值.若实数a，b，c满足，则的最大值为 A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】通过消元，结合二次方程有解的条件即可求得的取值范围，进而得出结论．由得， ∴，得，则； 同理：，；，； ∴的最大值为1， 故选：B． 【变式2-2】记表示中的最大数，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由，，分两种情况讨论： ①当时，则， 而， 可得至少有一个大于等于2，所以的最小值为2； ②当时，则，而， 可得至少有一个大于等于2，所以的最小值为2. 综上，可得的最小值为2. 故选：C 题型三：双重最值问题 【典例3-1】（2025·湖北武汉·一模）已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数定义域为，记的最大值为， 所以|f（）|，|f（2）|，|f（1）|都不大于M， 即, , , 所以 . 所以， 即M的最小值为：2； 故选C． 【典例3-2】（2025·高三·浙江·学业考试）设函数.若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，，， 由，解得 由，时，；时，；时 由，， 由时，，， 综上可得：， 故答案为： 【变式3-1】（2025·高三·浙江杭州·期中）已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】的定义域为， ， ， ， 函数在上单调递增， ，， 存在使得成立， 存在使的或成立， 或， 成立; 当b<1-a时，只能成立，即先对任意b成立， 故只需，即,对任意成立 故lnm≥2，故答案为． 【变式3-2】若对任意的，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，等价于， 设，存在，使得不等式成立， 故只需满足 ，在上单调递增， ，， ，整理得：， ，，即， 实数的取值范围为. 故答案为：. 【专题训练】 1．已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】令，定义域为， ，得，且在，，单调递增， 所以函数图象如下： 则的图象如下： 当，则， 在同一坐标系中作出的图象，如下： 则的图象如下： 显然最小值为2，不合题意； 当，则，在同一坐标系中作出的图象，如下： 画出的图象如下： 显然函数在点取得最小值，令，解得， 令，解得， 当，则，在同一坐标系中作出的图象，如下： 画出的图象如下： 显然函数在点取得最小值，令，解得， 令，解得， 综上，． 故选：B． 2．记表示中最大的数，已知正实数，记，则M的最小值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得，，， 所以，即，因为，所以； 由基本不等式可得，所以， 所以，， 当，即时，取得最小值. 故选：A 3．用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 【答案】3 【解析】因为，由，得或， 则， 当时，当时，单调递减，则， 综上，时，， 则恒成立，即，解得， 则的最大值是3. 故答案为：3 4．定义表示，，，中的最小值，表示，，，中的最大值则对任意的，，的值为 ． 【答案】 【解析】设， 、， ，，， 即，，可得， ， ， 即有m的最小值为， 故答案为． 5．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）定义表示中的最小值，表示中的最大值．已知实数满足，，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以实数中2个为负数，1个为正数， 不妨设，则， 因为，所以， 因为，，所以，即，解得， 所以的最小值为，即的值为， 故答案为： 6． ，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则 . 【答案】4 【解析】因为 因为，，所以. 故答案为：4. 7．已知分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则 . 【答案】30 【解析】因为，则， 可得，即， 若，则，当且仅当时，等号成立， 即在内的最小值为， 所以； 若，则，当且仅当时，等号成立， 即在内的最大值为， 所以. 故答案为：30. 8．（2025·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 【答案】 【解析】由可得， 设，则 由 ，当且仅当时，等号成立. 故. 故答案为：. 9．已知将中最小数记为，最大数记为，若，则 ． 【答案】 【解析】设，则， 依题意，所以，又， 则， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 10．设，则 . 【答案】. 【解析】设，则， 所以. 设给定的正实数，， 令，解得，，所以. 则， 当且仅当 ，时等号均成立， 故的最大值为, 故答案为：. 11．对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意当时，必有， 故要使得取得最大值，必须当， 此时， 所以， 令， 则 ， 当且仅当即时取等号， 所以， 所以， 故答案为： 12． . 【答案】 【解析】设， 则，，. 从而，，，. 所以，. 于是，，且当时，. 故. 13． 表示实数中的较大者，已知均为正数，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】按和分类． 记． 当时，， 当且仅当时，取得等号； 当时，， 当且仅当时，取得等号． 综上可知，的最小值为． 故答案为：. 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ． 【答案】 【解析】若，由，可得， 所以，即， 若，则有，所以，即， 故的最小值为． 故答案为： 15．（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，记的最大值为，则当取得最小值时，的值为 ． 【答案】 【解析】由题意，得函数的对称中心为， 因为是奇函数，图象关于原点对称，所以其最大值和最小值互为相反数， 所以不小于的最大值； 要使取得最小值，则， 令，，， 当时，则，为增函数，由于是奇函数，所以； 当时，令得； 若，即时，时，，为减函数，； 若，即时，时，，为增函数，时，，为减函数，结合的对称性可知 ， 因为，所以; 若，即时，结合以上分析可知； 若，即时，时，，为增函数，时，，为减函数，时，，为增函数，结合的对称性可知， 因为，所以； 综上可知的最小值为4，此时，，所以． 故答案为：. 16．记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】若函数的值域为， 记， 则，故， 由，得，且， 所以，又， 所以， 故. 则由且， 可得， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 17．若，记的最小值为，的最大值为，则 . 【答案】-1 【解析】由二次函数性质知：， 而，则， 所以上，递增，上，递减， 当趋向负无穷时也趋向负无穷，当趋向正无穷时趋向0，而， 所以， 则可得，，，故. 故答案为：-1 18．（2025·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【解析】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 若，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 综上可知的最小值为， 故答案为： 19．定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为 . 【答案】 【解析】解法一：令，，，其中，，，所以， 若，则，可得， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立. 若，则，即， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立， 综上可得，的最小值为. 解法二：根据数轴上点的距离公式，可得分别为线段的长， 如图所示，若点固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值， 可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值， 不妨设为，的长为，则，即， 若，则，即，解得； 若，则，即，解得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 20．设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵， ∴在上的最大值为， 可得， ， ， 可得 ， 即，∴， ∵存在实数使不等式，所以， 又由对任意实数，，恒成立， ∴. 故答案为：. 21．设函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【解析】分情况讨论不同取值时函数在，上的范围，从而确定的最大值，将对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，转化为恒成立，即可解决．因为存在，使得成立， 所以， 因为对于任意的实数a，b， , 所以恒成立， 设的最大值为（b）， 令，二次函数的对称轴为， 当，即a>0时，单调递增， 此时， 当时，（b），当时，（b）， 从而当时，时（b）取最小值，（b）， 当时，在，上单调递减，在，上单调递减， ， 所以当时，. 当时，在，上单调递减，在，上单调递减， ， 所以当时，. 当a＜-8时，单调递减，， 当时，（b），当时，（b）， 从而当a＜-8时，时（b）取最小值，（b）. 综合得.所以. 故答案为： 22．设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】设的最大值为， 令，则在上，当时，即时，单调递增， 此时， 当时，， 当时，， 从而当时，时，取最小值，， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 在时，，当时，， 在，时，，当时，， 对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立， ， 故的最大值为， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$