专题05 高阶等比数列和类等比数列（3大题型）-2025年新高考数学19题新定义培优教程

专题05 高阶等比数列和类等比数列 【题型归纳目录】 题型一：二阶等比数列 题型二：类等比数列 题型三：综合问题 【知识点梳理】 高阶等比数列（递推数列）解题方法总结如下： 1、特征方程法 2、数学归纳法 【典型例题】 题型一：二阶等比数列 【例1】定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 【变式1-1】数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，...如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列 (1)已知数列满足 （i）求，· （ii）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，的前5项分别为1，，求 【变式1-2】（2025·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型二：类等比数列 【例2】已知等差数列，若存在有穷等比数列，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． (1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； (2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； (3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值． 【变式2-1】在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【变式2-2】（2025·山西晋城·二模）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． (1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； (2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； (3)证明：不存在“等比关联数列”． 题型三：综合问题 【例3】（2025·黑龙江·模拟预测）对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. (1)数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. (2)若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. (3)对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 【变式3-1】对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 【变式3-2】（2025·高三·北京昌平·期末）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． (1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； (2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； (3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值． 【强化训练】 1．（2025·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 2．（2025·北京朝阳·一模）设数列，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． （1）写出数列：3，6，12，24的一个“等比分割数列”； （2）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比q的取值范围； （3）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求m的最大值． 3．记，若是等差数列，则称为数列的“等差均值”；若是等比数列，则称为数列的“等比均值”．已知数列的“等差均值”为2，数列的“等比均值”为3．记，数列的前项和为． （1）求数列，的通项公式； （2）若对任意的正整数都有，求实数的取值范围． 4．（2025·江苏南通·一模）定义：从数列{an}中抽取m（m∈N，m≥3）项按其在{an}中的次序排列形成一个新数列{bn}，则称{bn}为{an}的子数列；若{bn}成等差（或等比），则称{bn}为{an}的等差（或等比）子数列． （1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知． ①求数列{an}的通项公式； ②数列{an}是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由． （2）已知数列{an}的通项公式为an＝n+a（a∈Q+），证明：{an}存在等比子数列． 5．（2025·湖北·三模）已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者. (1)直接写出数列的所有“调节数列”； (2)若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和； (3)已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 6．（2025·河南安阳·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”. (1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”； (2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值； (3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 7．（2025·河南新乡·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”. (1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”； (2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数的最大值； (3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 8．（2025·河北张家口·二模）现定义：对于实数，若，则称b是a和c的加比中项；若，则称b是a和c的减比中项.已知数列满足，，且存在正数m，使是和的加比中项与减比中项. (1)若是与的等比中项，求m； (2)数列满足，，且是和的减比中项.记数列的前n项和为. （ⅰ）证明：是和的减比中项； （ⅱ）当时，证明：. 9．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 10．对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. (1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. (2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 11．（2025·福建厦门·三模）将区间中的全体有理数按一定顺序排列得到数列，规则如下：①，其中正整数与互质，如，；②，当且仅当时，. (1)写出的前5项； (2)若，，求； (3)记的前项和为，证明：. 12．（2025·云南·一模）定义数列的 “衍生数列”如下：. (1)若，求的值. (2)已知是首项为，公比为的等比数列，求的通项公式. (3)设是有界数列，即存在，使得对任意成立.证明：数列收敛. 13．（2025·陕西渭南·二模）若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”. (1)设，证明：数列是数列的“分割数列”； (2)设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由； (3)设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围. （附：当时，若，则） 14．（2025·河南·二模）若数列共有项，都有（为常数），则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列. (1)若，，，求的值； (2)已知数列共有项，且满足：，. （ⅰ）证明：是一个对数等和数列； （ⅱ）若是首项为，公比为的等比数列，且的对数等和常数为，是否存在，使中某一项等于另外三项之和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 高阶等比数列和类等比数列 【题型归纳目录】 题型一：二阶等比数列 题型二：类等比数列 题型三：综合问题 【知识点梳理】 高阶等比数列（递推数列）解题方法总结如下： 1、特征方程法 2、数学归纳法 【典型例题】 题型一：二阶等比数列 【例1】定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 【解析】（1）依题意，二阶等比数列的二阶公比为，则， 于是当时，， ， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，不等式，而， 由，得，又的值随n的增大而增大，且， 当时，，当时，， 数列是递增数列，因此， 所以使的最小正整数的值为8. 【变式1-1】数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，...如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列 (1)已知数列满足 （i）求，· （ii）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，的前5项分别为1，，求 【解析】（1）（i）由，易得， 由一阶差数列的定义得： ， （ii）证明：因为，所以当时有， 所以，即 即，又因为， 故是以1为首项，2为公比的等比数列，即是一阶等比数列. （2）由题意的二阶差数列为等比数列，设公比为q， 由的前5项分别为1，， 则，，，， 即，，，可得，所以， 由，，，， 则，易知满足上式， 同理可得，易知满足上式， 即. 【变式1-2】（2025·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）设，由题意得数列是等比数列，，， 则，即， 由累乘法得：， 于是，故. （2）由（1）得 ， 令，则， ∴ . 题型二：类等比数列 【例2】已知等差数列，若存在有穷等比数列，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． (1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； (2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； (3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以数列满足要求， 所以数列的一个长度为的“等比伴随数列”为（答案不唯一）. （2）由题意可知，，所以， 联立，所以，即， 联立，所以，即， 联立，所以，即， 由上可知，， 当时，取的前项为，经验证可知满足条件， 综上所述，. （3）设数列的公比为，由题意可知，对，当时，恒成立， 即对恒成立，即对恒成立， 当时，解得，当时，解得， 当时，则有， 所以； 设，所以， 令，均在上单调递减， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以在上单调递减，所以； 令，所以， 因为，所以， 所以，所以在上单调递减，所以； 所以对恒成立，即对恒成立， 设，所以， 当时，显然单调递减，所以，所以在上单调递减， 又因为， 所以使得，所以的最大值为. 【变式2-1】在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【解析】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【变式2-2】（2025·山西晋城·二模）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． (1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； (2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； (3)证明：不存在“等比关联数列”． 【解析】（1）因为，，， 由定义可知，， 故数列的通项公式为； （2）因为中4项均不相同，所以有种，有项， 假设，则，，，． 设的公比为，则， 又数列的第三项，第四项， 或第三项，第四项， 所以， 且，得，且， 或， 且，得，且， 这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况， 故． （3）当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项， 则，，，， 因为是等比数列，所以，即，所以． 设的公比为，则，所以， 所以，， 剩余四项为，，，， 又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项， 当时，，所以，即，不符合题意； 当时，，所以，即，不符合题意； 因此当时，不存在“等比关联数列”． 题型三：综合问题 【例3】（2025·黑龙江·模拟预测）对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. (1)数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. (2)若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. (3)对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 【解析】（1）依题意设数列的通项为， 则，，， ，， 由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数， 故数列为一个1到5连续可表数列， 对于数列，设其通项为，直接计算可知， 该数列的，，，，， 而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到. （2）当准等比数列公比为，，，时， 可以对应构造数列，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，， 其中由（1）可知，，为1到5连续可表数列， 对于最后一个数列，有，， ，，， 而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列， 现在，假设，满足， 数列，，，为一个公比为的1到5连续可表准等比数列， 则可以设， 其中，，为，，的一个排列， 则该数列的连续表出具有的形式， 其绝对值不小于，由于1可以被表出，有，故或， 如果不参与表出1到5，则不包含， 故可提出，即， 由于，必是非零整数， 而， 无法表示这个数字，故的表出有的参与， 如果参与表出1和2，有两种可能， 一是当独立表出，二是与其他若干项一起表出， 若当和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而为1或， 所以与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由独立表出， 所以，现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和， 故不大于，不小于4，矛盾.所以不可能成立， 综上的可能取值为 （3）我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列， 如果满足，，，的形式， 则其中一项必定为1或，且， 从而当时，任一个进制残片都不可能排列成一个1至5连续可表数列. 故，，当时，残片的各项可能取值为， 即，，，，，.由于残片各项一定非负， 则1，2，3，4，5的表出一定没有，，等值参与， 注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值， 而0对这5个数字的表出没有贡献， 故残片能够排列成1到5连续可表数列当且仅当残片中含有1，2，4三项 即所挑选的数字应当满足， 故，，从而， 其中表示不超过的最大整数， 综上，. 【变式3-1】对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 【解析】（1）取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个“完美等比子列”. （2）猜想：数列存在“完美等比子列”. 证明：设数列的通项公式，该数列为等比数列， 令，则， 因为整数的各位数字上的和为3， 所以一定为正整数，且m随着n的增大而增大， 易得此时有无穷项，所以即数列的一个“完美等比子列”. （3）充分性：若存在“等比子列”， ， ， 必要性：则若，则设，， 则. 希望为等比等比， 令等比， 发现等比， 取， 令，， 即时，成等比， 综上，得证. 事实上，， 因为时，， 时，. 【变式3-2】（2025·高三·北京昌平·期末）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． (1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； (2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； (3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值． 【解析】（1）数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4，16,64（答案不唯一）. （2）由题意，， 即   ，则. 又数列符合题意，所以的最大值为3. （3）设长度为的“等比伴随数列”的公比为， 则对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立. 当时，有； 当时，，即； 当时，有恒成立， 即当时，. 令当时，， 所以在单调递减，所以当4时，. 同理，令，则在上单调递减， 即4时，. 则，即. 令，当时，， 所以在上单调递减. 又由于， 所以，存在(6，7)，使得， 所以的最大值为6． 【强化训练】 1．（2025·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 【解析】（1）（ⅰ）由，易得，…… 由一阶等差数列的定义得： ，，. （ⅱ）因为，所以当时有， 所以，即， 即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 即是一阶等比数列. （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为， 则，，所以. 由题意，所以， 所以， 即. 所以为整数当且仅当为整数. 由已知时符合题意，时不合题意， 当时，， 所以原题等价于为整数， 因为①， 显然含质因子3，所以必为9的倍数， 设，则，将代入①式， 当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数； 当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数， 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当时，为整数. 2．（2025·北京朝阳·一模）设数列，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． （1）写出数列：3，6，12，24的一个“等比分割数列”； （2）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比q的取值范围； （3）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求m的最大值． 【解析】（1）由“等比分割数列”的定义可知， （2）的首项为1，公比为q，， 而，对成立， 当时，， 当时，， 而单调递增，随着的增大而减小， ，. （3）若，则不可能有， 设，故， 又，，，，， 验得， 的最大值可能为，此时， 则，符合题意， 综上，m的最大值为. 3．记，若是等差数列，则称为数列的“等差均值”；若是等比数列，则称为数列的“等比均值”．已知数列的“等差均值”为2，数列的“等比均值”为3．记，数列的前项和为． （1）求数列，的通项公式； （2）若对任意的正整数都有，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得， 所以， 所以（，）， 两式相减得，则（，）． 当时，，符合上式， 所以（）． 又由题意得， 所以， 所以（，）， 两式相减得，则（，）． 当时，，符合上式， 所以（）． （2）由（1）知． 则数列是等差数列. 因为对任意的正整数都有， 所以，即，解得． 即实数的取值范围是. 4．（2025·江苏南通·一模）定义：从数列{an}中抽取m（m∈N，m≥3）项按其在{an}中的次序排列形成一个新数列{bn}，则称{bn}为{an}的子数列；若{bn}成等差（或等比），则称{bn}为{an}的等差（或等比）子数列． （1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知． ①求数列{an}的通项公式； ②数列{an}是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由． （2）已知数列{an}的通项公式为an＝n+a（a∈Q+），证明：{an}存在等比子数列． 【解析】（1）①因为，所以当n＝1时，， 当n≥2时，，所以． 综上可知：． ②假设从数列{an}中抽3项ak，al，am（k＜l＜m）成等差， 则2al＝ak+am，即2×2l﹣1＝2k﹣1+2m﹣1， 化简得：2×2l﹣k＝1+2m﹣k． 因为k＜l＜m，所以l﹣k＞0，m﹣k＞0，且l﹣k，m﹣k都是整数， 所以2×2l﹣k为偶数，1+2m﹣k为奇数，所以2×2l﹣k＝1+2m﹣k不成立． 因此，数列{an}不存在三项等差子数列． 若从数列{an}中抽m（m∈N，m≥4）项，其前三项必成等差数列，不成立． 综上可知，数列{an}不存在等差子数列． （2）假设数列{an}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比． 设n0+a＝b，则b∈Q+，故可设（p与q是互质的正整数）． 则需满足， 即需满足（b+k）2＝b（b+l），则需满足． 取k＝q，则l＝2k+pq． 此时，． 故此时（b+k）2＝b（b+l）成立． 因此数列{an}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比， 所以数列{an}存在等比子数列． 5．（2025·湖北·三模）已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者. (1)直接写出数列的所有“调节数列”； (2)若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和； (3)已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 【解析】（1）. （2）因为，由题意共个数， 而共有项，则“调节数列”共有种情况 不妨设；则 ；则 依此类推；则 故 （3）依题意，对任意， 有或或， 因为均为递增数列，所以，即同时满足： ①，②，③，④. 因为为递增数列，因此①和②恒成立. 又因为为整数数列，对于③，也恒成立. 对于④，一方面，由，得，即. 另一方面，， 所以， 即从第2项到第项是连续的正整数， 所以， 因此， 故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个. 6．（2025·河南安阳·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”. (1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”； (2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值； (3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 【解析】（1）①因为，所以， 所以数列1，2，5，13是“倍增数列”. ②因为，所以， 所以数列1，3，8，21不是“倍增数列”. （2）因为数列是“倍增数列”，为整数，且， 所以，且为正整数， 所以， 即. 又因为，所以. 因为能整除，结合（*），可得， 所以， 所以正整数的最大值为6. （3）是“倍增数列”.理由如下： 因为，所以 . 所以，即， 所以是“倍增数列”. 7．（2025·河南新乡·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”. (1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”； (2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数的最大值； (3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 【解析】（1）对于数列，因为，故该数列是“倍增数列”； 对于数列，因为，故该数列不是“倍增数列”； （2）因为数列为“倍增数列”，故， 而为整数，且为正项数列，故且为正整数， 而，故当时，，故， 因为，而， 若有一个为的倍数，则只能为的倍数， 否则或， 若为前者，则累乘的数分别为； 若为后者，则累乘的数分别为； 当时，则累乘的数只可能为中的数， 则无论取其中一个或两个，都与矛盾； 若无的倍数， 故有两个不同的数，一个数为5，另一个为的倍数， 或者有两个不同的数，它们一个为15的倍数，另一个为45的倍数， 若一个为15的倍数，另一个为45的倍数，则此时，这与矛盾； 若一个数为5，另一个为的倍数，则累乘的数为， 综上，的最大值为5，此时. （3）先证明：（*）， 由， 同理有， 利用迭代可得， 而，故，证毕. 在（*）中，取,则得，故， 由可得为正项数列，故， 故数列是“倍增数列”. 8．（2025·河北张家口·二模）现定义：对于实数，若，则称b是a和c的加比中项；若，则称b是a和c的减比中项.已知数列满足，，且存在正数m，使是和的加比中项与减比中项. (1)若是与的等比中项，求m； (2)数列满足，，且是和的减比中项.记数列的前n项和为. （ⅰ）证明：是和的减比中项； （ⅱ）当时，证明：. 【解析】（1）由题意：且， 所以， 令可得：，又，，则， 令可得：，则， 令可得：，则， 又是与的等比中项， 所以，又为正数， 解得； （2）（i）是和的减比中项，， 又为正数，为正项数列，. ，为正项数列， ，， ，即， 是和的减比中项. 所以是和的减比中项； （ii），， 又，，，，易得， ，即， 由（i）有：，， . 9．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为，， 所以数列是周期数列，其最小正周期为2； （2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，， 所以当为偶数时，； 当为奇数时，， 因为对一切正整数恒成立， 所以当为偶数时，，故只需即可； 当为奇数时，恒成立，故只需即可； 综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为； （3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为， 即，因为， 所以，， 所以数列的周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在非零常数，使得是周期数列. 10．对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. (1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. (2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）已知，则，. 所以数列是 “等差比数列”，. （2）因为数列从第项起为 “等差比数列”，所以时，. 所以，故， 整理得到：，故， 所以为常数列，故， 而，故即，故， 故，故为等差数列，其首项为，公差为， 故. （3），由得，即对任意的成立. 因为的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 11．（2025·福建厦门·三模）将区间中的全体有理数按一定顺序排列得到数列，规则如下：①，其中正整数与互质，如，；②，当且仅当时，. (1)写出的前5项； (2)若，，求； (3)记的前项和为，证明：. 【解析】（1）的前5项为，，，，. （2）因为，，所以. 又因为，故，， 因此，当且仅当时，. 由于， 故由与2025互质可得既不是3的倍数，也不是5的倍数. 而在1到2024之间的正整数中，是3的倍数的整数有个， 是5的倍数的整数有个，是15的倍数的整数有个. 所以. （3）方法一：依题意，若正整数与互质，则与也互质， 记中分母为正整数的共有项， 则总满足或，其中，为偶数. 因为，所以，且这项的平均数为. （i）对于满足的所有的前项和为. （ii）当时，不妨设，其中. 则. ①若，则，则. ②若，则 ， 则， 所以. 综上，. 方法二：记，中的元素个数为. 设，其中. ，若正整数与互质，则与互质， 故，中所有元素之和为. （i）若，则，. （ii）若，设中的元素从小到大排列依次为， 则，这是由于不等式两边的元素数量均为个， 但左边的最大元素小于右边的最小元素. 所以， 所以， 从而， 综上，. 12．（2025·云南·一模）定义数列的 “衍生数列”如下：. (1)若，求的值. (2)已知是首项为，公比为的等比数列，求的通项公式. (3)设是有界数列，即存在，使得对任意成立.证明：数列收敛. 【解析】（1）当时，. （2）由题知，则. 考虑幂级数，令，（这里利用了的幂级数展开）. （3）因为，则. 对于，其收敛（因为，去掉有限项不影响收敛性）. 由柯西收敛准则，对于任意，存在，当（不妨设）时，，所以收敛. 13．（2025·陕西渭南·二模）若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”. (1)设，证明：数列是数列的“分割数列”； (2)设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由； (3)设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围. （附：当时，若，则） 【解析】（1）若是递增数列，且， 则， ，且，即. ， ，即， 对任意的，存在，使得. 是的“分割数列”. （2）. 假设是的“分割数列”，则对任意的，存在，使得， ，即， 当时，， 易知在上单调递增， ， 满足条件的正整数不存在， 不是的“分割数列”. （3）是的“分割数列”，， 是递增数列， . ，即， 即， 即， ， 记，则. 下面分析的取值范围. 因为，单调递减，单调递增， 所以为减函数，且时，， . （i）当时，， ， 总存在满足条件，符合题意. （ii）当时，，根据函数零点存在定理， 并结合的单调性可知，存在唯一正整数，使得， 此时有，则， 即，显然不存在满足条件的正整数. 综上，的取值范围为. 14．（2025·河南·二模）若数列共有项，都有（为常数），则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列. (1)若，，，求的值； (2)已知数列共有项，且满足：，. （ⅰ）证明：是一个对数等和数列； （ⅱ）若是首项为，公比为的等比数列，且的对数等和常数为，是否存在，使中某一项等于另外三项之和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）依题意，又， 所以，即，所以. （2）（ⅰ）依题意，则，因此， 又，从而，即数列是一个项数为的对数等和数列，且对数等和常数为. （ⅱ）依题意可得， 又的对数等和常数为，所以， 则，即， 所以，即， 假设存在，使中某一项等于另外三项之和， 不妨设，， 即， 又， 所以，所以不成立， 所以不存在，使中某一项等于另外三项之和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$