精品解析：浙江省宁波市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

高二数学学科试卷 本试卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名､座号､准考证号､班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上，并用2B铅笔把答题卡上准考证号以及对应选择题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.其中解答题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 4. 已知函数，则该函数在上的值域是（　　） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（ ） A. 15 B. 45 C. 135 D. 405 6. 函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象 A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为 A. B. C. D. 8. 若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 二､多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若变量与之间的相关系数，则与正相关 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过点 C. 已知，，则 D. 已知随机变量，则 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 不等式的解集或 B. 一扇形圆心角，半径，则该扇形的周长为 C. 命题，，则， D. 已知幂函数的图象经过点，那么 11. 设函数，下列命题中正确的有（ ） A. 时，奇函数 B 时，方程只有一个实根 C. 的图象关于对称 D. 方程至多有两个实根 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________. 13 设随机变量服从正态分布，若，则实数______. 14. 若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____． 四､解答题：（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）将6个相同的小球放入4个编号为的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答） （2）用这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答） （3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答） 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求值； （3）已知是第二象限角，求的值. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称中心; （2）求的单调递减区间； （3）当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值 18. 一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. （1）现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； （2）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （3）甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 19. 已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. （1）判断函数的奇偶性，并证明之； （2）证明：； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学学科试卷 本试卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名､座号､准考证号､班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上，并用2B铅笔把答题卡上准考证号以及对应选择题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.其中解答题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到或，所以， 又由，得到，所以，得到， 故选：A. 2. “”是“”的（    ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，；反之当时，或， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值. 【详解】因正数a，b满足， 则， 当且仅当，即， 所以当时，取得最小值9. 故选：A 4. 已知函数，则该函数在上的值域是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以得出，从而可得出在上单调递减，在，上单调递增，从而求出在，上的最小值为，并求出，的值，这样即可得出在，上的值域． 【详解】， 在上单调递减，在，上单调递增， 是在，上的最小值，且，， 在，上的值域为，． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的单调性，函数值域的定义及求法，根据函数单调性求值域的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题． 5. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（ ） A. 15 B. 45 C. 135 D. 405 【答案】C 【解析】 【分析】 令代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为,结合两个系数比即可求得的值,进而根据二项展开式的通项求得的系数即可. 【详解】令,代入 可得各项系数和为 展开式的各项的二项式系数和为 由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64 所以 解方程可得 则二项式的展开式的通项公式为 令 解得 所以的系数为 故选:C 【点睛】本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 6. 函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象 A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意，,所以，令，则 ，即向右平移可以得到. 考点：正弦型函数解析式 函数图像平移变换 点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键. 7. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场” 则， 则 本题正确选项： 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率. 8. 若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法令，表示出函数，由确定值，求出解析式，进一步求函数值即可. 【详解】∵对任意实数，都有， 令，则. 又， ∴， ∵函数是上的单调函数，解得. ∴，∴. 故选：C. 二､多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若变量与之间的相关系数，则与正相关 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过点 C. 已知，，则 D. 已知随机变量，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由相关系数的符号意义即可判断，对于B，由回归直线的特点即可判断，对于C，由条件概率即可验算，对于D，由二项分布均值公式即可验算. 【详解】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确； 对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确； 对于C，已知，，则，故C错误； 对于D，已知随机变量，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 不等式的解集或 B. 一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为 C. 命题，，则， D. 已知幂函数的图象经过点，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，即可判断A；根据弧长公式，即可判断B；根据全称量词命题的否定形式，即可判断C；将点的坐标代入幂函数的解析式，即可判断D. 【详解】不等式，即， 整理为，解得：， 所以不等式的解集为，故A错误； 扇形的弧长为，所以扇形的周长为，故B正确； 根据全称量词命题的否定形式可知，命题，，则，，故C正确； 由题意可知，，得，故D正确. 故选：BCD 11. 设函数，下列命题中正确的有（ ） A. 时，是奇函数 B. 时，方程只有一个实根 C. 的图象关于对称 D. 方程至多有两个实根 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得，由奇函数的定义判断A；由，代入可得，令，通过解方程判断B；根据中心对称的条件进行证明是否满足即可判断C；举出反例如，确定方程的根的个数即可判断D. 【详解】对于A，，，定义域为， 所以， 则是奇函数，故A正确； 对于B，，令可得， 则方程只有一个实根，故B正确； 对于C，设函数上的任意一点关于点对称的点， 则．代入可得， 所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，当，，的根有，，， 此时方程有三个实根，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用指数、对数运算法则诱导公式计算得解. 【详解】 . 故答案为： 13. 设随机变量服从正态分布，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，可直接得到，即可得出结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，由正态分布的对称性可知：，解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查正态分布，熟记正态分布的特征即可，属于常考题型. 14. 若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】因为均为正实数，则，则对一切正实数恒成立，利用基本不等式求出的最大值即为的最小值. 【详解】，当且仅当时取等号， ，的最小值为2 故答案为：2 四､解答题：（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）将6个相同的小球放入4个编号为的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答） （2）用这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答） （3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答） 【答案】（1）40；（2）108；（3）960； 【解析】 【分析】（1）相同元素分配问题，采用隔板法处理即可得恰有一个空盒子的放法的种数； （2）数字问题，根据要求分两大类个位上的数字是0和5，结合分类加法原理与分步乘法原理求解即可； （3）排队问题，根据相邻元素“捆绑法”，不相邻元素“插空法”即可得符合要求的方法种数. 【详解】（1）恰有一个空盒子，插板分两步进行： 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法， 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法， 故共有种放法. （2）符合要求的数可分为两类： 第一类：个位上的数字是0的四位数有个， 第二类：个位上的数字是5的四位数有个， 故满足条件的四位数的个数共有（个）. （3）先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有种排法； 由于甲，乙要相邻，故先把甲，乙排好，有种排法； 最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中， 则有种排法.所以共有种不同的排法 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知是第二象限角，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先求，再结合两角和的正弦公式运算求解； （2）根据两角和的正切公式运算求解即可； （3）先求，根据，结合两角和差公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以； （2）因为，所以； （3）因为，且是第二象限角， 可知是第二象限角，则， 所以. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称中心; （2）求的单调递减区间； （3）当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值 【答案】（1），； （2）； （3）当时，最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标； （2）解不等式，可得出函数的单调递减区间； （3）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最大值以及对应的的值. 【小问1详解】 ， 所以，函数的最小正周期为. 由，可得， 函数的对称中心为； 【小问2详解】 解不等式， 解得. 因此，函数的单调递减区间为； 【小问3详解】 当时，， 当时， 即当时， 函数取得最大值，最大值． 18. 一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. （1）现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； （2）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （3）甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先判断奇函数的个数，则的可能取值为、、、、、、，求出相应的概率，即可求出分布列； （2）得到、为奇函数，其余只能由奇函数奇函数得到奇函数，利用组合数公式及古典概型的概率公式计算可得； （3）计算甲赢的概率，即可判断. 【小问1详解】 由函数解析式可知，偶函数有，，； 奇函数有，，，； 非奇非偶函数有，，； 所以的可能取值为、、、、、、， 则，，， ，，，， 所以分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 【小问2详解】 因为为奇函数，， 令定义域为，且， 所以为奇函数，即为奇函数， 其余只能由奇函数奇函数得到奇函数； 所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率； 【小问3详解】 游戏公平，理由如下： 记甲赢为事件，乙赢为事件， 则， 所以，则，故游戏公平. 19. 已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. （1）判断函数的奇偶性，并证明之； （2）证明：； （3）求值. 【答案】（1）是定义在的偶函数；证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令得，再令可得出，结合偶函数的定义可证得结论成立； （2）分别令、可得出，结合偶函数的性质得出，进而推导出，结合函数周期性的定义可证得结论成立； （3）利用赋值法可得出的值，，，，结合函数周期性可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 因为是定义在上的函数， 对、都有 令得，可得， 再令得，所以是定义在的偶函数. 【小问2详解】 令得， 再令得， 两式相加得，这里不恒为零， 故，即， 又因为函数为偶函数，则， 所以，所以函数是周期为的周期函数. 【小问3详解】 由（2）知，，，，， 所以，， 令得； 令，得，又， 得到； 令得， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$