专题06 特殊平行四边形的折叠、旋转、最值、多结论问题及新定义（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（山东专用）
|
2份
|
101页
|
1155人阅读
|
28人下载
内容正文：
专题06 特殊平行四边形的折叠、旋转、最值、多结论问题及新定义
题型概览
题型01折叠问题
题型02旋转问题
题型03最值问题
题型04多结论问题
题型05新定义问题
题型06存在性问题
(
题型01
)折叠问题
1．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______．
A．3 B． C．4 D．
2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（ ）
A． B．2.5 C．3 D．
3．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ．
4．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，一张长方形纸片的长，宽．点E在边上，点F在边上，将四边形沿直线翻折后，点B落在边的三等分点G处，则的长为 ．
5．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ．
6．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形的边长为3，M为边上一点，，与交于点N，将沿翻折得到，延长与交于点D，与的延长线交于点E．
(1)求证∶ ；
(2)当时，求的长．
(
题型0
2
)旋转问题
7．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C． D．14
8．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，两张正方形的纸片，的一个顶点重合，正方形纸片绕点旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上，与边相交于点．
（1）若，则 （用含的式子表示）；
（2）若，，则的长为 ．
9．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，，，中心为，在矩形外有一点，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形的距离的取值范围为 ．
10．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，．O是的中点，过点A、C的直线l绕点O按逆时针方向旋转，交边于点D，作，交直线l于点E．当时，判断四边形是否是菱形，并说明理由．
11．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，点是的中点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．求证：四边形是菱形．
12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，正方形的边在坐标轴上，点B坐标为，将正方形绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形交线段与点G，的延长线交线段于点H，连接．
(1)求证：；
(2)认真探究，直接写出 ，之间的数量关系为 ．
(3)连接得到四边形，在旋转过程中四边形能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．
13．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．
(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，连接，求的长；
(3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
(
题型0
3
)最值问题
14．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
15．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，将两张长为的矩形纸条交叉放置，重叠部分四边形是一个菱形，当两张纸条互相垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值（ ）
A． B． C． D．
16．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知，点为所在平面内的一个动点，满足，则面积的最大值为 ．
18．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为 ．
19．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，F为平面内一点，，连接．以为腰作等腰，则底边的最大值为 ．
20．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，菱形的周长为，，是的中点，则的最小值是 ．
21．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接．
(1)若，则的长为 ．
(2)若，则的最小值为 ．
(
题型0
4
)多结论问题
22．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．③
23．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
24．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
25．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：
①；②；③当时，四边形是菱形．④若，，则线段
其中，正确结论的个数有（ ）个
A． B． C． D．
26．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
27．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(
题型0
5
)新定义问题
28．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n．
（1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形．
29．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ．
30．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点．
(1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由．
(2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）．
(3)当时，求证：点是的中点．
31．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________．
(2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
32．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）定义：两组邻边对应相等的四边形为“筝形”．如图①．在四边形中，，，那么四边形就是筝形．
(1)在①平行四边形：②矩形：③菱形；④正方形中，“筝形”是______（填序号）；
(2)如图①，连接，，请判断并证明对角线与的位置关系；
(3)如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形中找一点，连接、，使折线将筝形的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）．
33．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）；
(2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”；
(
题型0
6
)存在性问题
34．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点是的中点，动点以2个单位长度／秒的速度由点出发，沿运动至点，设动点的运动时间为秒．
(1)则_______，四边形为平行四边形；
(2)若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
35．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
36．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．
(1)当E运动到B点时，求出t的值；
(2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
37．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，的对应点分别为点．
(1)如图1，当点落在边上时，求的长；
(2)当点，，在一条直线上时，设与的交点为，求的长；
(3)如图2，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
38．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
(1)_______．______（用含t的代数式表示）；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由．
39．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示的长．
(2)求当t为何值时，分别满足下面的条件：
①；
②．
(3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
40．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)________．（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时，？
(3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．始终为等腰直角三角形
2．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系，矩形的顶点在A、B分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，C、D在第一象限内，若，则的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（ ）个．
（1）；（2）；（3）；（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论：
①；
②；
③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；
④当时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
7．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在矩形中，，点为边上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为 ．
8．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为 ．
9．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是 ．
10．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接．
（1）的度数为 ；
（2）线段长度的最大值为 ．
11．（2023-24八年级下·山东威海·期末）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和谐三角形，例如：某三角形三边长分别是，3，2，因为，所以这个三角形是和谐三角形．在平行四边形中，于点O，，且是和谐三角形，则该平行四边形的面积为 ．（温馨提示：，，）
三、解答题
12．（2023-24八年级下·山东德州·期末）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果．
(1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求：
(2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长；
(3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长．
13．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）正方形中，，绕点A旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点N、点M，连接．
(1)当绕点A旋转到如图1的位置时，求证：．
(2)当绕点A旋转到如图2的位置时，若，，求 的面积．
14．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形，，（，），于E，并且．
(1)如图1所示在平面直角坐标系中，求出点C、D的坐标．（请写出过程）
(2)如图2所示直线是第二、四象限的角平分线，是直线上一个动点，为轴上一点，问平面内是否存在点，使得以、、、为顶点构成正方形，若没有请说明理由；若有，直接写成点的坐标．
15．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足．
(1)矩形的顶点的坐标是_________；
(2)若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形；
(3)若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
16．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线、交于点，点的坐标为．
(1)E点的坐标是 ；
(2)直线过点，交于点，交于点；
①把矩形沿直线对折，使点落在点处，求的长；
②若直线绕点旋转，连接，线段上是否存在点，使得平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2 / 13
学科网（北京）股份有限公司
$$
专题06 特殊平行四边形的折叠、旋转、最值、多结论问题及新定义
题型概览
题型01折叠问题
题型02旋转问题
题型03最值问题
题型04多结论问题
题型05新定义问题
题型06存在性问题
(
题型01
)折叠问题
1．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______．
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：∵矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
则，
解得，
故选：A．
2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（ ）
A． B．2.5 C．3 D．
【答案】D
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，，
∴，
设，则，
∵点为上一点，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，符合题意，
∴，
故选：D．
3．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：过点作于点，
在边长为6的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，
，
∵折叠，
∴，
．
故答案为：．
4．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，一张长方形纸片的长，宽．点E在边上，点F在边上，将四边形沿直线翻折后，点B落在边的三等分点G处，则的长为 ．
【答案】或
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，
∵点为的三等分点，
∴或4，
当时，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
当时，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
故答案为：或．
5．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ．
【答案】5或20/20或5
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，，
∵，，
，，
，
∴四边形是矩形，
同理四边形是矩形，
，，
∵将沿所在直线翻折得到，
，，
当点在边上时，点恰好落在直线上，如图所示：
在中，
，
，
，
，
在中，，
即，
；
当点在边延长线上时，点恰好落在直线上，如图所示：
同理可求，
，
在中，，
即，
；
故答案为5或20．
6．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形的边长为3，M为边上一点，，与交于点N，将沿翻折得到，延长与交于点D，与的延长线交于点E．
(1)求证∶ ；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：设于点G，
则，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
由（1）知，，
∵正方形的边长为3，
∴，
由折叠知，，,
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了正方形翻折．熟练掌握正方形性质，翻折性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键．
(
题型0
2
)旋转问题
7．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C． D．14
【答案】A
【详解】解：如图，取的中点E，连接，
∵，，，
∴，，
∴；
∵，
∴当三点共线时，最大，最大值为；
∵，
∴的最大值为7；
故选：A．
8．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，两张正方形的纸片，的一个顶点重合，正方形纸片绕点旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上，与边相交于点．
（1）若，则 （用含的式子表示）；
（2）若，，则的长为 ．
【答案】 / /
【详解】解：（1）∵正方形，，
∴，，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）连接交于，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，，，中心为，在矩形外有一点，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形的距离的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：设的中点为E，点O与边上所有点连线中，最小，最大，此时最大，最小；
如图①，连接；
，中心为点O，
，，
，
；
如图②，连接，
，中心为点O，
，，
；
，
；
则d的取值范围为；
故答案为：．
10．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，．O是的中点，过点A、C的直线l绕点O按逆时针方向旋转，交边于点D，作，交直线l于点E．当时，判断四边形是否是菱形，并说明理由．
【答案】当时，四边形是菱形
【详解】解：当时，四边形是菱形，
，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵在中，，．O是的中点，
∴，，
设，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
11．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，点是的中点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，点是的中点，
∴．
∵，
∴．
∵将绕点顺时针方向旋转得到，
∴，．
∴是等边三角形．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，正方形的边在坐标轴上，点B坐标为，将正方形绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形交线段与点G，的延长线交线段于点H，连接．
(1)求证：；
(2)认真探究，直接写出 ，之间的数量关系为 ．
(3)连接得到四边形，在旋转过程中四边形能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)能，H的坐标是
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵旋转正方形到正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：时，，
理由是：∵，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
（3）解：在旋转过程中四边形能为矩形，
∵四边形是正方形，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴H的坐标是．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
13．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．
(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，连接，求的长；
(3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）解：直角三角形绕点逆时针方向旋转度，点、的对应点分别为点、，
当时，与重合，最短，，
当落在的延长线上时，，最长，
，
线段长度的取值范围为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
(
题型0
3
)最值问题
14．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
【答案】B
【详解】解：如图，取中点，连接，
四边形是矩形，
，
点是中点，点是的中点，
，
，
点是的斜边的中点，
，
根据三角形三边关系可得：，
当点，点，点共线时，最大，最大值为．
故选：B．
15．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，将两张长为的矩形纸条交叉放置，重叠部分四边形是一个菱形，当两张纸条互相垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当两张纸条互相垂直时，重叠部分四边形是一个正方形，
重叠部分的面积有最小值，
∴两张纸条的宽为，
如图，此时菱形的面积最大．
设，则，，
在中，
由勾股定理得到：，
即，
解得，
∴，
故选：C．
16．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
，，
四边形是矩形，
，
的最小值即为的最小值，
当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，
四边形是矩形，
，
的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质．
17．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知，点为所在平面内的一个动点，满足，则面积的最大值为 ．
【答案】1
【详解】解：如图，取的中点T，连接，过点C作于点H．
∵，
∴，
∴，
∴的面积的最大值为1；
故答案为：1．
18．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为 ．
【答案】9
【详解】解：如图，取中点O，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点F是中点，点O是的中点，
∴，，
∴，
∵点O是的斜边的中点，
∴，
∵根据三角形三边关系可得：，
∴当点O，点E，点F共线时，最大值为．
故答案为：9．
19．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，F为平面内一点，，连接．以为腰作等腰，则底边的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∵中，，
∴，即，
当、、三点共线时取等号，即，
∵以为腰作等腰，
∴，，
∴，
∴底边的最大值为，
故答案为：．
20．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，菱形的周长为，，是的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：连接，，，
四边形是菱形，
点，点关于直线对称，
，
，
的最小值是的长，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
是的中点，
，，
菱形的周长为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题，菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
21．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接．
(1)若，则的长为 ．
(2)若，则的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
根据勾股定理，，
故答案为：；
（2）解：由（）得是等腰直角三角形，若要最小，则最小即可，
∴当时，最小，
∴，
∴，
故答案为：．
(
题型0
4
)多结论问题
22．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．③
【答案】D
【详解】解：根据题意，可得，
，
，
当四边形为矩形时，，
即，
解得：，故①不正确；
当四边形为平行四边形时，则，
即，
解得：，故②不正确；
当时，四边形是平行四边形，；
或四边形是等腰梯形，此时，
过点作于点，过点作于点，如图所示，
则，
，
，
，
，
又，
，
又，
解得：，
综上可得，当时，或，故③正确；
∵，
当时，，
此时，无解，
故，④错误，
故选：D．
23．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵沿对折至，四边形是正方形，
∴，
∴，∴①正确；
∵，，
∴，
设，则，
根据勾股定理，
得到，，得到，∴②正确；
∵，，
∴即，
∴；∴③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，∴④正确；
由折叠和三角形全等，
∴，
∴，
∴⑤错误．
故选：A．
24．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【详解】解：正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
M是的中点；故① 正确；
，
，
，
，
平分；故②正确；
设，则，
在中，，
，故③正确；
综上可知，正确的有① ② ③，
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质等，能够综合应用上述知识是解题的关键．
25．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：
①；②；③当时，四边形是菱形．④若，，则线段
其中，正确结论的个数有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故结论①正确；
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故结论②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故结论③正确；
设，，，
∵，，，，
∴，
又∵，即，
解得：，
∴，，
∴，
∵，即，
又∵，即，
∴，，
∴，故结论④错误；
综上所述，正确结论的个数有个．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理及三角形的面积等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
26．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，故①正确；
连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴，四边形为菱形，故④正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②错误；
∵是的中位线，
∴，，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
27．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵正方形，
∴,
∴,
∵交于，
∴，
∴,
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴,
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即②正确；
∵，
∴，即，
∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴，即③正确；
当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误．
综上，正确的有3个．
故选：C．
(
题型0
5
)新定义问题
28．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n．
（1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形．
【答案】 1
【详解】解：（1）若菱形的一个内角为，
该菱形的相邻的另一内角的度数，
“接近度”等于；
（2）当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，
则菱形是正方形；
故答案为：；1．
29．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ．
【答案】4或16
【详解】解：∵是的中点，
，
若点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图，
∵为的中点，，
，
，
，
；
若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图，
∵为的中点，
，
，
综上所述，的长为4或16．
故答案为：4或16．
30．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点．
(1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由．
(2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）．
(3)当时，求证：点是的中点．
【答案】(1)四边形是“等补四边形”，理由见解析；
(2)的周长为；
(3)证明见解析．
【详解】（1）解：四边形是“等补四边形”，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是“等补四边形”；
（2）解：过作，交延长线于点，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长；
（3）解：如图，过作，交延长线于点，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴点是的中点．
31．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________．
(2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
【答案】(1)135
(2)成立，见解析
【详解】（1）解：根据新定义，得，
∵，，
∴，
故答案为：135．
（2）连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
32．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）定义：两组邻边对应相等的四边形为“筝形”．如图①．在四边形中，，，那么四边形就是筝形．
(1)在①平行四边形：②矩形：③菱形；④正方形中，“筝形”是______（填序号）；
(2)如图①，连接，，请判断并证明对角线与的位置关系；
(3)如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形中找一点，连接、，使折线将筝形的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)③④
(2)垂直平分；
(3)见解析
【详解】（1）解：根据“筝形”的定义可得：平行四边形和矩形不一定是筝形，菱形和正方形一定是筝形，
故答案为：③④；
（2）解：垂直平分，理由如下：
如图，设与交于点，
，，
点、均在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（3）解：如图所示，点即为所求．
作出的中点，连接、，折线将筝形面积等分．
理由：在中，
为边中点，
，
，
同理：，
，
，
即四边形的面积四边形的面积，
折线将筝形面积等分．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了“筝形”的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、作图基本作图，三角形的面积等知识；熟练掌握“筝形”的定义，正确地作出图形是解题的关键．
33．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）；
(2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”；
【答案】(1)④
(2)见解析
【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“宁美四边形”，
故答案为：④．
（2）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是“宁美四边形”；
【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
(
题型0
6
)存在性问题
34．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点是的中点，动点以2个单位长度／秒的速度由点出发，沿运动至点，设动点的运动时间为秒．
(1)则_______，四边形为平行四边形；
(2)若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)矩形，见解析
(3)或
【详解】（1）解：四边形为矩形，，，
，，
点是的中点，
，
根据题意，可得：，
，
四边形为平行四边形，
，
，解得：．
故答案为：．
（2）解：四边形为矩形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形．
（3）解：存在，分两种情况：
①如图，当点在点的右侧时，
四边形为菱形，
，
在中，，
，解得：；
②如图，当点N在点P左侧时，
四边形为菱形，
，
在中，，
，
，解得：．
综上所述，当的值为或时，以、、、为顶点的四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元一次方程，根据题意、注意分类讨论是解题关键．
35．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)存在，
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
，
，
，
∵为正方形的外角平分线，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：存在点使得四边形是平行四边形，，
理由如下：
过点作，交于点，交于点，连接，
，
，
，
，
在和中，
，
，
由（2）可知，，
，
∴四边形是平行四边形，
此时．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
36．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．
(1)当E运动到B点时，求出t的值；
(2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t的值是秒
(2)存在，t的值是秒
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
即当E运动到B点时，t的值是秒；
（2）解：当时，如图1，过E作于，则，
由勾股定理得：，
解得：；
当时，如图2，
由勾股定理得：，
此方程无解；
即在点E、点F的运动过程中，存在某一时刻，使得，此时t的值是秒．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，能得出关于t的方程是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的每一个角都是直角．
37．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，的对应点分别为点．
(1)如图1，当点落在边上时，求的长；
(2)当点，，在一条直线上时，设与的交点为，求的长；
(3)如图2，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵矩形中，，，
∴，
∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点落在边上，
∴
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，在一条直线上，
∴，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
（3）解：如图：连接，作于点M，
∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
∴，，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
当与共线且时，面积最大，
，
，
∴的最大值为．
38．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
(1)_______．______（用含t的代数式表示）；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴
故答案为：，
（2）解：存在，
在四边形中：，，
当时，四边形是矩形，
解得：，
当时，四边形是矩形；
（3）解：不存在，
如图，过点D作，垂足为E，
则四边形为矩形，
，，
由题意得： ，，
，，，
，
当时，，，
，
，
∴当时，四边形为平行四边形，
，
，
四边形不可能为菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
39．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示的长．
(2)求当t为何值时，分别满足下面的条件：
①；
②．
(3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)存在，t的值为6或
【详解】（1）解：由题意可得，，，
∴；
（2）连接，如图所示，
若，
∵
∴四边形为平行四边形，
，
设动点的运动时间为秒，则，，
，
解得：，符合题意，
当，满足；
②∵，
∴与之间的距离为，
当时，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
解得
（3）解：t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形．
理由如下：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，，如图，
设动点的运动时间为秒，则，
，要使得四边形是菱形，则需要，
，，
，
在中，，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
此时，，
当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形．
第二中情况如图，
，要使得四边形是菱形，则需要，
，，
，
在中，，
∴，
∴，（不合题意，舍去），
综上可知，t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是能正确建立方程．
40．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)________．（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时，？
(3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，
(3)或
【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，，
则，
故答案为；
（2）结论：当时，，
理由：∵当时，，
，
∵在和中，
；
（3）①当时，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：；
②当时，，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：．
综上所述：当或时与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等．
一、单选题
1．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．始终为等腰直角三角形
【答案】B
【详解】解：连接，
∵是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴．
故A选项中的结论正确．
∵，
∴，
即．
∴，
又∵，
而与不一定相等，
∴不一定等于．
故B选项中的结论错误．
在中，
∴．
故C选项中的结论正确．
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
故D选项中的结论正确．
故选：B．
2．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】解：正方形，
，
，
，
，
，
，
故要使有最小值，即求的最小值，
当时，有最小值，，
，
，
线段的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系，矩形的顶点在A、B分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，C、D在第一象限内，若，则的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【详解】解：取的中点，连接，如图：
∵，
∴当三点共线时，点到点的距离最大，
∵，是的中点
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：A．
4．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（ ）个．
（1）；（2）；（3）；（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，
∴，
，
，
在和中，
，
；
同理：；
，
；故（1）符合题意；
∵，
∴，故（2）不符合题意；
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故（3）符合题意；
∵，，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为4．故（4）不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，以及勾股定理等．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
互相平分，
为中点，
也过O点，
，
，，
是等边三角形，
，
在与中
,
，
与关于直线BF对称，
，故①正确；
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，故③正确；
，
错误，故②错误；
易知，
，
，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．
6．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论：
①；
②；
③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；
④当时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：①∵四边形是正方形
∴，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴，
故结论①正确；
②设与相交于点T，如图1所示：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故结论②正确；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故结论③正确；
④过点O作于点H，如图2所示：
∵是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：
∵，，，
∴，
∴
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
即，
故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题
7．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在矩形中，，点为边上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，∵将沿折叠，得到，
∴，，
∵在矩形中，，
∴，，，，
∵，
∴在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为 ．
【答案】
【详解】解：记与相交于一点，如图所示：
∵
∴，
∵是的中点，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
在中，，
在中，，
则，
∵，
∴，
解得
在中，，
∴（负值已舍去）
∴，
故答案为：．
9．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是 ．
【答案】
【详解】解：如图①，连接，
∵四边形和四边形均是正方形，
∴，
∴，
∴，
当最大时，最大，此时B、P、N三点共线，
如图②，过作于，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
10．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接．
（1）的度数为 ；
（2）线段长度的最大值为 ．
【答案】 /120度 /
【详解】解：连接，由题意得，
∴和是等边三角形，
∴，
∴；
如图，取的中点E，连接，，
∵边长为4的菱形，的中点E，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴当三点共线时最大，最大值为，
故答案为：，．
11．（2023-24八年级下·山东威海·期末）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和谐三角形，例如：某三角形三边长分别是，3，2，因为，所以这个三角形是和谐三角形．在平行四边形中，于点O，，且是和谐三角形，则该平行四边形的面积为 ．（温馨提示：，，）
【答案】或3
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
；
①如图，为第三边时，
是和谐三角形，
，
解得：；
，
；
，
；
②如图，（或）为第三边时，
是和谐三角形，
，
解得：；
，
；
，
；
综上所述：该平行四边形的面积为或3．
故答案：或3．
三、解答题
12．（2023-24八年级下·山东德州·期末）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果．
(1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求：
(2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长；
(3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，
由得，，
∴，
∴；
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
由折叠得：，，，
∴，
设，则，
在中，由得，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作于点，
则，
∴四边形是矩形，
∵点D与点B重合，
∴垂直平分，
∴，
由（1）知：，又点O是长方形中心，
∴，
同（1），
∴，，
∴．
13．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）正方形中，，绕点A旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点N、点M，连接．
(1)当绕点A旋转到如图1的位置时，求证：．
(2)当绕点A旋转到如图2的位置时，若，，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，在的延长线上，截取，连接，
在正方形中，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
14．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形，，（，），于E，并且．
(1)如图1所示在平面直角坐标系中，求出点C、D的坐标．（请写出过程）
(2)如图2所示直线是第二、四象限的角平分线，是直线上一个动点，为轴上一点，问平面内是否存在点，使得以、、、为顶点构成正方形，若没有请说明理由；若有，直接写成点的坐标．
【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，过程见解析；
(2)点的坐标为或或
【详解】（1）解：，，
，
，于E，
，
点C的坐标为，
，，
点D的坐标为；
（2）解：存在，
直线是第二、四象限的角平分线，是直线上一个动点，为轴上一点，以、、、为顶点四边形为正方形，
有以下几种情况，
①作轴交直线于点，轴于点，此时与重合，如图所示：
有，，
，
即四边形为正方形，
点的坐标为，
②、点在左侧时，构成为正方形，如图所示：
，
，
此时点的坐标为，
③作于点，
，
，此时与重合，如图所示：
四边形为正方形，
连接交于点，
，
，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，平行四边形性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，以及正方形性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
15．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足．
(1)矩形的顶点的坐标是_________；
(2)若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形；
(3)若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)点的坐标为，，，．
【详解】（1）解：且，
，
，
点，点，
点，
故答案为：；
（2）证明：是中点，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
，且
四边形是平行四边形；
（3）解：、、、为顶点的四边形是菱形，
分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示：
，，
，
，
∴，，，，
∴点的坐标为，，，．
【点睛】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
16．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线、交于点，点的坐标为．
(1)E点的坐标是 ；
(2)直线过点，交于点，交于点；
①把矩形沿直线对折，使点落在点处，求的长；
②若直线绕点旋转，连接，线段上是否存在点，使得平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或．
【详解】（1）解：在矩形中，点为对角线的交点，
点为的中点，
，
；
故答案为：；
（2）解：由折叠可知，垂直平分，连接，则，
设，则，，
在中，，
由勾股定理可知，，
，
解得，
；
②如图，连接，
平分，
，
，
，
，
为等腰三角形，
；
点是的中点，
，
，
，，
，
，
设，则，，
如图，过点作于点，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
由勾股定理可知，，
，
解得或，
即或．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查矩形的性质与判定，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
2 / 13
学科网（北京）股份有限公司
$$
资源预览图
